Posible trampolín

Un paso potencial es un perfil de la energía potencial de una partícula caracterizado por una transición brusca de un valor (tomado como cero, por conveniencia) a otro ( ). Tales perfiles se analizan en mecánica cuántica , y el coeficiente de transmisión de una partícula con energía total resulta diferente de la unidad . $tu$ $V_{0}$ $E>V_{0}$

El perfil potencial más simple de este tipo es un salto:

{\ estilo de visualización U (x) = 0}

en y en .

{\ estilo de visualización x <0 \ quad}

\quad U(x)=V_{0}

x>0

Para tener en cuenta cierta borrosidad de la transición, se utiliza la expresión

U(x)={\frac {1}{2}}V_{0}\left(1+\mathrm {th} {\frac {x}{2a}}\right),\,a= {\mbox{const.}}>0

simulando un aumento monótono de 0 por a por . $-\infty$ $V_{0}$ $+\infty$

Se puede formar un escalón potencial, por ejemplo, por la dependencia coordinada de la energía del fondo de la banda de conducción de una heteroestructura semiconductora cuando, debido a la diferencia en la afinidad electrónica de dos materiales, se produce un salto bastante brusco en su unión . $U(x)=E_{c}(x)$ $E_{c}$

Modelo de paso de salto

La ecuación de Schrödinger estacionaria para un paso de potencial de salto tiene la forma:

-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Psi ''(x)+V_{0}\Psi (x)=E\Psi (x)

para ,

x>0

y lo mismo sin el término con para . Aquí , es la masa de la partícula, es la constante de Planck reducida y es la función de onda de la partícula. Se supone que la partícula se mueve hacia positivo . Además, todos los caracteres con el número 1 se refieren al área y con el número 2 a . $V_{0}$ $x<0$ $metro$ $\hbar$ $\psi$ $X$ $x<0$ $x>0$

Suponiendo que , escribimos la función de onda para las regiones 1 ( ) y 2 ( ) como $E>V_{0}$ ${\ estilo de visualización \ Psi = \ psi _ {1}}$ ${\ estilo de visualización \ psi = \ psi _ {2}}$

\psi _{1}(x)=e^{ik_{1}x}+re^{-ik_{1}x}\,(x<0)

\psi _{2}(x)=te^{ik_{2}x}\,(x>0)

dónde

k_{1}={\sqrt {\frac {2mE}{\hbar ^{2)))),\qquad k_{2}={\sqrt {\frac {2m(E-V_{0} )}{\hbar^{2}}}}}

Del requisito de continuidad de la función de onda y su derivada en un punto, obtenemos $x=0$

{\ estilo de visualización 1 + r = t}

{\displaystyle i\hbar k_{1}-ir\hbar k_{1}=it\hbar k_{2))

lo que da

r={\frac {k_{1}-k_{2}}{k_{1}+k_{2}}},\qquad t={\frac {2k_{1}}{k_{1} +k_{2}}}

Como resultado, tenemos los coeficientes de reflexión (reflexión sobre barrera ) y transmisión:

R=|r|^{2}=\left({\frac {1-{\sqrt {1-V_{0}/E))}{1+{\sqrt {1-V_{0} /E))))\right)^{2},\qquad T={\frac {k_{2}}{k_{1}}}|t|^{2}={\frac {4{\sqrt {1-V_{0}/E}}}{\izquierda(1+{\sqrt {1-V_{0}/E}}\derecha)^{2}}}

Este resultado es fundamentalmente diferente del clásico : en la mecánica clásica no hay reflexión en este caso, pero independientemente de . ${\ estilo de visualización T = 1}$ $mi$

Modelo de paso borroso

La ecuación de Schrödinger estacionaria para un paso de potencial borroso (el grado de borrosidad se establece por el parámetro : cuanto más pequeño es, más cerca está el potencial de un salto) se escribe: $a$

-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Psi ''(x)+{\frac {1}{2}}V_{0}\left(1+\mathrm {th } {\frac{x}{2a}}\right)\Psi (x)=E\Psi (x)

Si denotamos y , entonces tomará la forma ${\displaystyle k={\sqrt {2mE/\hbar^{2))))$ ${\displaystyle \lambda ={\sqrt {2mV_{0}a^{2}/\hbar ^{2))))$

\Psi ''(x)+\left(k^{2}-{\frac {\lambda ^{2}}{2a^{2}}}\left(1+\mathrm {th} { \frac {x}{2a}}\derecha)\derecha)\Psi (x)=E\Psi (x).

Si hacemos un cambio de variable

y={\frac {1}{1+e^{\frac {x}{a)))),

luego, teniendo en cuenta la notación , se reducirá a la forma: ${\ estilo de visualización \ varkappa = ka}$

y(1-y)\Psi ''(y)+(1-2y)\Psi '(y)+\left({\frac {\varkappa ^{2}}{y(1-y) }}-{\frac {\lambda ^{2}}{y}}\right)\Psi (y)=0.

Dado que los puntos y son puntos singulares de esta ecuación, es natural buscar una solución en la forma: ${\ estilo de visualización y = 0}$ ${\ estilo de visualización y = 1}$

\Psi (y)=y^{\nu }(1-y)^{\mu }f(y).

Si elegimos y , entonces la ecuación se reducirá a la ecuación hipergeométrica gaussiana: ${\displaystyle \nu ={\sqrt {\lambda ^{2}-\varkappa ^{2))))$ $\mu =i\varkappa$

y(1-y)f''(y)+\left((2\nu +1)-(2\mu +2\nu +2)\right)f'(y)-(\mu +\nu )(\mu +\nu +1)f(y)=0.

Eligiendo soluciones con las asintóticas correctas, obtenemos

f(y)=C\;_{2}F_{1}(\mu +\nu ,\mu +\nu +1;2\nu +1;y)

Entonces puedes obtener los coeficientes de reflexión y transmisión. en caso : $E<V_{0}$

R=1,\qquad T=0.

Así, se observa la reflexión total. En el caso de tener en cuenta la designación : $E>V_{0}$ ${\ estilo de visualización \ sigma = i \ nu}$

R=\left({\frac {\mathrm {sh} \pi (\varkappa -\sigma)}{\mathrm {sh} \pi (\varkappa +\sigma)))\right)^{2 }

en el limite $a\flecha derecha 0$

R=\left({\frac {\varkappa -\sigma }{\varkappa +\sigma }}\right)^{2}

que es lo mismo que el resultado del apartado anterior si volvemos a las variables originales.

Literatura

Z. Flugge. Problemas de mecánica cuántica. - Editorial LKI, 2008. - T. 1.

Modelos de mecánica cuántica
Unidimensional sin espín	partícula libre Pozo con paredes interminables Pozo cuántico rectangular potencial delta Pozo cuántico triangular Oscilador armónico Posible trampolín Pozo de potencial Pöschl-Teller Pozo de potencial Pöschl-Teller modificado Partícula en un potencial periódico Peine potencial de Dirac Partícula en el anillo
Multidimensional sin giro	oscilador circular Ion de molécula de hidrógeno Parte superior simétrica Potenciales esféricamente simétricos Potencial de Woods-Saxon problema de kepler Potencial Yukawa potencial de Morse Hulthen potencial Potencial Molecular de Kratzer Potencial exponencial
Incluye giro	átomo de hidrógeno ion hidruro átomo de helio