Un paso potencial es un perfil de la energía potencial de una partícula caracterizado por una transición brusca de un valor (tomado como cero, por conveniencia) a otro ( ). Tales perfiles se analizan en mecánica cuántica , y el coeficiente de transmisión de una partícula con energía total resulta diferente de la unidad .
El perfil potencial más simple de este tipo es un salto:
en y en .Para tener en cuenta cierta borrosidad de la transición, se utiliza la expresión
,simulando un aumento monótono de 0 por a por .
Se puede formar un escalón potencial, por ejemplo, por la dependencia coordinada de la energía del fondo de la banda de conducción de una heteroestructura semiconductora cuando, debido a la diferencia en la afinidad electrónica de dos materiales, se produce un salto bastante brusco en su unión .
La ecuación de Schrödinger estacionaria para un paso de potencial de salto tiene la forma:
para ,y lo mismo sin el término con para . Aquí , es la masa de la partícula, es la constante de Planck reducida y es la función de onda de la partícula. Se supone que la partícula se mueve hacia positivo . Además, todos los caracteres con el número 1 se refieren al área y con el número 2 a .
Suponiendo que , escribimos la función de onda para las regiones 1 ( ) y 2 ( ) como
,dónde
.Del requisito de continuidad de la función de onda y su derivada en un punto, obtenemos
,lo que da
.Como resultado, tenemos los coeficientes de reflexión (reflexión sobre barrera ) y transmisión:
.Este resultado es fundamentalmente diferente del clásico : en la mecánica clásica no hay reflexión en este caso, pero independientemente de .
La ecuación de Schrödinger estacionaria para un paso de potencial borroso (el grado de borrosidad se establece por el parámetro : cuanto más pequeño es, más cerca está el potencial de un salto) se escribe:
Si denotamos y , entonces tomará la forma
Si hacemos un cambio de variable
luego, teniendo en cuenta la notación , se reducirá a la forma:
Dado que los puntos y son puntos singulares de esta ecuación, es natural buscar una solución en la forma:
Si elegimos y , entonces la ecuación se reducirá a la ecuación hipergeométrica gaussiana:
Eligiendo soluciones con las asintóticas correctas, obtenemos
Entonces puedes obtener los coeficientes de reflexión y transmisión. en caso :
Así, se observa la reflexión total. En el caso de tener en cuenta la designación :
en el limite
,que es lo mismo que el resultado del apartado anterior si volvemos a las variables originales.
de mecánica cuántica | Modelos|
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Unidimensional sin espín | partícula libre Pozo con paredes interminables Pozo cuántico rectangular potencial delta Pozo cuántico triangular Oscilador armónico Posible trampolín Pozo de potencial Pöschl-Teller Pozo de potencial Pöschl-Teller modificado Partícula en un potencial periódico Peine potencial de Dirac Partícula en el anillo |
Multidimensional sin giro | oscilador circular Ion de molécula de hidrógeno Parte superior simétrica Potenciales esféricamente simétricos Potencial de Woods-Saxon problema de kepler Potencial Yukawa potencial de Morse Hulthen potencial Potencial Molecular de Kratzer Potencial exponencial |
Incluye giro | átomo de hidrógeno ion hidruro átomo de helio |