Objeto de inicio

(redireccionado de " Objetos iniciales y terminales ")

Un objeto inicial ( objeto repulsivo , objeto inicial ) es un objeto de categoría tal que para cualquier objeto hay un único morfismo . $yo$ ${\ matemática C}$ $X\in \mathrm {Ob} _{\mathcal {C))$ ${\ estilo de visualización I \ a X}$

El concepto dual es un objeto terminal ( objeto atractivo ): un objeto es terminal si para cualquier objeto existe un único morfismo . $T$ $X\in \mathrm {Ob} _{\mathcal {C))$ ${\ estilo de visualización X \ a T}$

Si un objeto es tanto inicial como terminal, se denomina objeto nulo .

El conjunto vacío es el único objeto inicial en la categoría de conjuntos , los conjuntos singleton ( singletons ) son objetos terminales, no existen objetos nulos. En la categoría de conjuntos de puntos marcados, los singletons son objetos nulos, al igual que en la categoría de espacios topológicos de puntos marcados.

Los objetos inicial y terminal no existen en ninguna categoría, pero si existen, entonces están definidos unívocamente: si y son objetos iniciales, existe un isomorfismo entre ellos y el único. $yo_1$ $yo_{2}$

Los objetos terminales son los límites del diagrama vacío , es decir, los productos vacíos . De manera similar, los objetos iniciales son colímites y coproductos vacíos. De esto se deduce que un funtor que conserva límites (colimits) conserva objetos terminales (iniciales), respectivamente. $\varnada \to {\mathcal {C))$

Ejemplos

En la categoría de grupos, así como en las categorías de grupos abelianos, módulos sobre un anillo y espacios vectoriales, hay un objeto nulo (en relación con el cual apareció el término "objeto nulo").

En la categoría de anillos, el anillo de enteros es el objeto inicial y el anillo nulo c es el objeto terminal. No hay elementos de inicio y finalización en la categoría de campo . Sin embargo, en la subcategoría completa de campos de la característica hay un objeto inicial: un campo de elementos. $\matemáticas {Z}$ $0=1$ $pags$ $pags$

En la categoría de todas las categorías pequeñas (con funtores como morfismos), el objeto inicial es la categoría vacía y el objeto terminal es la categoría con el único objeto y morfismo. ${\matemáticas 1}$

Cualquier espacio topológico se puede considerar como una categoría cuyos objetos son conjuntos abiertos y entre dos conjuntos abiertos tales que , hay un único morfismo. El conjunto vacío es el objeto inicial de esta categoría, el terminal. Para tal categoría de un espacio topológico y una categoría pequeña arbitraria , todos los funtores contravariantes de a con transformaciones naturales forman una categoría llamada categoría de pregavillas con coeficientes en . Si tiene un objeto inicial , entonces el mapeo del funtor constante es el objeto inicial de la categoría de pregavillas, la afirmación dual también es cierta. $X$ ${\ estilo de visualización U \ subconjunto V}$ $X$ $X$ ${\ matemática C}$ $X$ ${\ matemática C}$ $X$ ${\ matemática C}$ ${\ matemática C}$ $C$ $X$ $C$

En la categoría de circuitos , el espectro es el objeto terminal y el circuito vacío es el objeto inicial. $\mathbf {Especificación} (Z)$

Los objetos iniciales y terminales también se pueden caracterizar mediante flechas universales y funtores adjuntos . Para una categoría con un único objeto y un (único) funtor, el objeto inicial de la categoría es la flecha universal de a . El funtor que envía a es el adjunto izquierdo de . En consecuencia, el objeto terminal de la categoría es la flecha universal de a , y el funtor que envía a es el adjunto derecho de . Por el contrario, una flecha genérica de a un funtor se puede definir como un objeto inicial en la categoría de coma . Dualmente, un morfismo universal de a es un objeto terminal en . ${\matemáticas 1}$ $\bala$ $U\colon {\mathcal {C}}\to \mathbf {1}$ $yo$ ${\ matemática C}$ $\bala$ $tu$ $\bala$ $yo$ $tu$ $T$ ${\ matemática C}$ $tu$ $\bala$ $\bala$ $yo$ $tu$ $X$ $tu$ ${\ estilo de visualización (X \ flecha abajo U)}$ $tu$ $X$ ${\ estilo de visualización (U \ flecha abajo X)}$

Literatura

McLane S. Capítulo 1. Categorías, funtores y transformaciones naturales // Categorías para el matemático en activo / Per. De inglés. edición V. A. Artamonova. - M. : Fizmatlit, 2004. - S. 17-42. — 352 págs. — ISBN 5-9221-0400-4 .