Desigualdad de Cauchy-Bunyakovsky

La desigualdad de Cauchy-Bunyakovsky conecta la norma y el producto escalar de vectores en el espacio euclidiano o de Hilbert . Esta desigualdad es equivalente a la desigualdad triangular de la norma. Un caso especial de desigualdad de Hölder y desigualdad de Jensen [1] .

La desigualdad de Cauchy-Bunyakovsky a veces, especialmente en la literatura extranjera, se denomina desigualdad de Schwartz y desigualdad de Cauchy-Bunyakovsky-Schwartz , aunque los trabajos de Schwartz sobre este tema aparecieron solo 25 años después de los trabajos de Bunyakovsky [2] . El caso de dimensión finita de esta desigualdad se llama desigualdad de Cauchy y fue demostrado por Cauchy en 1821 .

Redacción

Sea dado un espacio lineal con producto escalar . Sea la norma generada por el producto escalar, es decir . Entonces para cualquiera tenemos: $L$ $\langle x,\;y\rangle$ $\|x\|$ $\|x\|\equiv\sqrt{\langle x,\;x\rangle},\;\forall x\in L$ $x,\;y\en L$

|\ángulo x,\;y\rángulo| \leqslant\|x\|\cdot\|y\|,

además, la igualdad se logra si y solo si los vectores y son linealmente dependientes ( colineales , o hay cero entre ellos). $X$ $y$

Ejemplos

Un caso especial importante, a menudo utilizado en la teoría de números, es el caso cuando uno de los vectores consiste enteramente en unos:

\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{x_{i}}}\right)^{2}\leq \left({\sum \limits _{i=1 }^{n}{1}}\right)\sum \limits _{i=1}^{n}{{x_{i}}^{2}}=n\sum \limits _{i=1} ^{n}{{x_{i}}^{2}}

En el espacio de sucesiones sumables al cuadrado de valor complejo , la desigualdad de Cauchy-Bunyakovsky tiene la forma: $l ^ 2$

\left|\sum\limits_{k=1}^\infty x_k\bar{y}_k\right|^2\leqslant\left(\sum_{k=1}^\infty|x_k|^2\right) \cdot\left(\sum_{k=1}^\infty|y_k|^2\right),

donde denota conjugación compleja . $\bar{y}_k$ $y_{k}$

En el espacio de funciones complejas integrables en cuadrados , la desigualdad de Cauchy-Bunyakovsky tiene la forma: $L^2(X,\;\mathcal{F},\;\mu)$

\left|\int\limits_X f(x)\overline{g(x)}\,\mu(dx)\right|^2\leqslant\left(\int\limits_X\left|f(x)\right| ^2\,\mu(dx)\right)\cdot\left(\int\limits_X\left|g(x)\right|^2\,\mu(dx)\right).

En el espacio de variables aleatorias con segundo momento finito , la desigualdad de Cauchy-Bunyakovsky tiene la forma: $L^2(\Omega,\;\mathcal{F},\;\mathbb{P})$ $\mathrm{cov}^2(X,\;Y)\leqslant\mathrm{D}[X]\cdot\mathrm{D}[Y],$

donde es la covarianza y es la varianza .

\mathrm{cov}

\mathrm{D}

Para dos variables aleatorias independientes y la desigualdad de Cauchy-Bunyakovsky tiene la forma: $\xi$ $\eta$ $\left[\mathbf {M} (\eta \cdot \xi )\right]^{2}\leqslant \mathbf {M} \left[\eta ^{2}\cdot \xi ^{2} \right]=\mathbf {M} \eta ^{2}\cdot \mathbf {M} \xi ^{2}.$

Métodos de prueba

Solo hay unos pocos enfoques esencialmente diferentes para probar la desigualdad. Sin embargo, debido a su universalidad, las mismas operaciones formales que conducen a él pueden describirse en diferentes términos. Debido a esto, algunos autores presentan la desigualdad con una cantidad de evidencia extremadamente alta. [3]

Por conveniencia de presentación, en esta sección, a menos que se indique lo contrario, las demostraciones se describen solo para un espacio de dimensión finita sobre , es decir, para sucesiones finitas , . $\matemáticas {R}$ ${\ estilo de visualización (x_ {1}, \ puntos, x_ {n})}$ ${\ estilo de visualización (y_ {1}, \ puntos, y_ {n})}$

Combinatoria (a través de la desigualdad de permutación )

El caso de un vector

deja _ Expandiendo el cuadrado y haciendo la sustitución , el cuadrado de la suma se puede dividir en bloques de la siguiente manera: $y_{1}=\puntos =y_{n}=1$ ${\ estilo de visualización t = ij}$

{\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{x_{i))}\right)}^{2}=\sum \limits _{i=1}^{ n}\sum \limits _{j=1}^{n}{x_{i}x_{j}}=\sum \limits _{t=0}^{n-1}{\left({\sum \limits _{j=1}^{n}{x_{j}x_{j+t}}}\right)}\ ,

donde las notaciones corresponden a . De la desigualdad de permutaciones para dos copias de una secuencia y permutaciones $x_{n+1},x_{n+2},\puntos$ ${\ estilo de visualización x_ {1}, x_ {2}, \ puntos}$ ${\ estilo de visualización (x_ {1}, \ puntos, x_ {n})}$

\sigma _{t}(j):=((t+j-1)\mod {n})+1,\ \ \ t=0,\dots,n-1

se sigue que cada una de las sumas internas no excede de . $\sum \limits _{i=1}^{n}{x_{i}^{2))$

Caso general

Si todos son enteros, entonces, desarrollando los productos y aplicando el caso especial ya probado para los términos resultantes, obtenemos $y_{yo}$ $x_{i}y_{i}=\soporte {x_{i}+\puntos +x_{i}} _{y_{i}}$ $\sum \limits _{i=1}^{n}{y_{i))$

\left(\sum \limits _{i=1}^{n}{x_{i}y_{i}}\right)^{2}=\left(\sum \limits _{i=1 }^{n}{\underbrace {x_{i}+\dots +x_{i}} _{y_{i}}}\right)^{2}\leq \left({\sum \limits_{i =1}^{n}{y_{i))}\right)\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{\underbrace {x_{i}^{2}+\dots +x_{i}^{2}} _{y_{i}}}}\right)=\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{y_{i}}}\right )\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{x_{i}^{2}y_{i}}}\right)\ ,

Al dividir ambas partes entre números enteros, se puede obtener la misma desigualdad para los racionales , y la generalización para los reales arbitrarios se sigue de la continuidad de la suma y la multiplicación . Este enunciado corresponde exactamente a la desigualdad de Cauchy-Bunyakovsky para las sucesiones $y_{yo}$ $y_{yo}$

{\displaystyle {x'}_{i}:=x_{i}{\sqrt {y_{i))))

{\displaystyle {y'}_{i}:={\sqrt {y_{i))))

Por lo tanto, la desigualdad para arbitraria se sigue de la posibilidad de la sustitución inversa ${\displaystyle ({x'}_{i})_{i=1}^{n))$ ${\displaystyle ({y'}_{i})_{i=1}^{n))$

x_{i}:={\frac {{x'}_{i}}{{y'}_{i}}}

{\displaystyle y_{i}:={y'}_{i}^{2))

Probabilístico (vía suma de cuadrados)

Idea (sobre el ejemplo de la varianza)

La implementación más famosa de este método es la consideración de la varianza de una variable aleatoria . Obviamente, si el valor toma valores no negativos, entonces su expectativa matemática también será no negativa, por lo tanto

\mathbb {E} \left[{({X-\mathbb {E} [X]})^{2}}\right]\geq 0

para cualquier variable aleatoria . Debido a la linealidad de la expectativa matemática, se sigue que $X$

0\leq \mathbb {E} \left[{(X-\mathbb {E} [X])^{2}}\right]=\mathbb {E} \left[{X^{2} -2X\mathbb {E} [X]+\mathbb {E} [X]^{2}}\right]=\mathbb {E} [X^{2}]-2\mathbb {E} [X] \mathbb {E} [X]+\mathbb {E} [X]^{2}=\mathbb {E} [X^{2}]-\mathbb {E} [X]^{2}

Deja todo y . Para una variable aleatoria que toma un valor con probabilidad , esta desigualdad significa que $y_{i}>0$ $B:=\sum \limits _{i=1}^{n}{y_{i}}$ $X$ $x_{yo}$ ${\frac{y_{i}}{B}}$

\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{x_{i}{\frac {y_{i}}{B}}}}\right)^{2}=\ mathbb {E} [X]^{2}\leq \mathbb {E} [X^{2}]=\sum \limits _{i=1}^{n}{x_{i}^{2}{ \frac{y_{i}}{B}}}\ ,

eso es

\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{x_{i}y_{i))}\right)\leq B\sum \limits _{i=1}^{ n}{x_{i}^{2}y_{i}}=\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{y_{i}}}\right)\left({\ suma \limits _{i=1}^{n}{x_{i}^{2}y_{i}}}\right)\ .

Por tanto, la desigualdad de Cauchy-Bunyakovsky puede obtenerse mediante el mismo cambio de variables que en el caso de utilizar la desigualdad de permutación.

Interpretación y formas alternativas

Después del cambio de variables, la esperanza matemática de la cantidad descrita anteriormente tendrá la forma

\mathbb {E} [X]=\sum \limits _{i=1}^{n}({\frac {x_{i}}{y_{i}}}\cdot {\frac {y_ {i}^{2}}{\sum \limits _{j=1}^{n}{y_{j}^{2}}}}}\ .

Por lo tanto, la prueba probabilística, en esencia, considera la suma

\sum \limits _{i=1}^{n}{\left(({\frac {x_{i}}{y_{i}}}-\sum \limits _{j=1}^ {n}{\left({{\frac {x_{j}}{y_{j}}}\cdot {\frac {y_{j}^{2}}{\sum \limits _{k=1} ^{n}{y_{k}^{2}}}}\right)}}\right)^{2}{\frac {y_{i}^{2}}{\sum \limits _{j =1}^{n}{y_{j}^{2}}}}}\ .

De la no negatividad obvia (debido al cuadrado del paréntesis) de esta suma, se deriva la relación entre los términos obtenidos al abrir el paréntesis: dos de los tres términos se reducen a uno (se diferencian solo por una constante) debido a la estructura de la fórmula. Al cambiar la normalización (dividir por sumas) al introducir factores entre paréntesis y multiplicar una constante, es fácil ver que este enfoque es similar al uso de una suma más visual

\sum \limits _{i=1}^{n}{{\left(({\frac {x_{i}}{\sum \limits _{j=1}^{n}{x_{ j}y_{j))))-{\frac {y_{i}}{\sum \limits _{j=1}^{n}{y_{j}^{2}}}}}\right) }^{2}}\ .

Las desigualdades con tales sumas, escritas sin referencia a definiciones probabilísticas, siguen siendo correctas sin la condición de la sección anterior. En particular, para un espacio de Hilbert arbitrario como podemos considerar la desigualdad $y_{i}>0$ $\langle {x,y}\rangle \in \mathbb {R}$

0\leq \left\vert \left\vert {y-{\frac {\langle {x,y}\rangle }{||x||^{2))}x}\right\vert \ derecha\vert ^{2}\leq \izquierda\langle {y-{\frac {\langle {x,y}\rangle }{\langle {x,x}\rangle }}x,y-{\frac { \langle {x,y}\rangle }{\langle {x,x}\rangle }}x}\right\rangle =\langle {y,y}\rangle -2{\frac {\langle {x,y }\rangle }{\langle {x,x}\rangle }}\langle {x,y}\rangle +{\frac {\langle {x,y}\rangle ^{2}}{\langle {x, x}\rangle ^{2))}\langle {x,x}\rangle =\langle {y,y}\rangle -{\frac {\langle {x,y}\rangle ^{2)){\ langle {x,x}\rangle }}\ ,

y cuando basta multiplicar por un número complejo de la forma para reducir todo al primer caso. $\langle {x,y}\rangle \in \mathbb {C} \setminus \mathbb {R}$ $X$ $e^{\varphi i},\varphi \in \mathbb {R}$

De forma similar, se puede utilizar otra suma, simétrica, donde tras abrir los paréntesis se anulan los dos términos extremos (obtenidos al elevar al cuadrado), y no el extremo con el central:

\sum \limits _{i=1}^{n}{{\left(({\frac {x_{i}}{\sqrt {\sum \limits _{j=1}^{n} {x_{j}^{2}}}}}-{\frac {y_{i}}{\sqrt {\sum \limits _{j=1}^{n}{y_{j}^{2} }}}}}}\derecho)}^{2}}\ .

o, lo que es lo mismo,

\left\vert \left\vert {{\frac {x}{||x||}}-{\frac {y}{||y||}}}\right\vert \right\vert ^{2}\ .

Además de la interpretación probabilística, el uso de tales sumas se puede describir mediante una estimación del discriminante de una ecuación cuadrática o una desigualdad entre la media geométrica y la media aritmética . [cuatro]

Directo (mediante factores de agrupación)

Otra idea (sin embargo, que requiere las herramientas de las dos anteriores) es representar la desigualdad en la forma

\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{x_{i}y_{i}}}\right)\left({\sum \limits _{j=1}^ {n}{x_{j}y_{j}}}\right)=\sum \limits _{i=1}^{n}\sum \limits _{j=1}^{n}{(x_{ i}y_{j})(x_{j}y_{i})}\leq \sum \limits _{i=1}^{n}\sum \limits _{j=1}^{n}{( x_{i}y_{j})^{2}}=\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{x_{i}^{2}}}\right)\left( {\sum \limits _{j=1}^{n}{y_{j}^{2))}\right)\ .

Esta forma se puede probar de dos maneras:

comparar todos los términos en un solo paso, aplicando la desigualdad de permutación para dos copias del conjunto y permutación [5] ; ${\ estilo de visualización (x_ {i} y_ {j}) _ {(i, j) \ en [1; n] ^ {2))}$ ${\ estilo de visualización \ sigma (i, j): = (j, i)}$

comparar cada término por separado, aplicando la desigualdad entre la media geométrica y la media aritmética para dos variables , lo que esencialmente corresponde a considerar la suma de cuadrados de la forma o norma del vector correspondiente en el producto tensorial de espacios arbitrarios de Hilbert. [6] ${\displaystyle a=x_{i}y_{j},\ b=x_{j}y_{i))$ $\sum \limits _{i=1}^{n}\sum \limits _{j=1}^{n}{(x_{i}y_{j}-x_{j}y_{i} )^{2}}$

Aplicación del caso n=2 a las sumas

La desigualdad se puede obtener por inducción, cuyo paso para pasar al -ésimo término es aplicar la misma desigualdad para dos términos. La suposición inductiva para secuencias da la desigualdad $norte$ $(n+1)$ ${\ estilo de visualización (x_{i})_{i=1}^{n))$ ${\ estilo de visualización (y_{i})_{i=1}^{n))$

\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{\color {red}{x_{i}}\color {blue}{y_{i}}}}\right)+ x_{n+1}y_{n+1}\leq \left({\sum \limits _{i=1}^{n}{\color {rojo}{x_{i}}^{2}}} \right)^{\frac {1}{2}}\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{\color {azul}{y_{i}}^{2}}} \right)^{\frac{1}{2}}+x_{n+1}y_{n+1}

Y del caso de las sucesiones , es fácil ver que $n=2$ $\left({\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{{x_{i}}^{2}}}\right)^{\frac {1}{2 }},x_{n+1}}\derecha)$ $\left({\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{{y_{i}}^{2}}}\right)^{\frac {1}{2 }},y_{n+1}}\derecho)$

{\color {rojo}{\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{{x_{i}}^{2}}}\right)^{\frac {1 {2)))){\color {azul}{\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{{y_{i}}^{2}}}\right)^{ \frac {1}{2))))+{\color {rojo}{x_{n+1}}\color {azul}{y_{n+1}}}\leq \left({{\color { rojo}{\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{{x_{i}}^{2}}}\right)^{{\frac {1}{2}}\ color {negro}{\cdot 2}}}}+{\color {rojo}{x_{n+1}}^{2}}}\derecha)\izquierda(({\color {azul}{\izquierda( {\sum \limits _{i=1}^{n}{{y_{i}}^{2}}}\right)^{{\frac {1}{2}}\color {black}{\ cdot 2))))+{\color {azul}{y_{n+1}}^{2}}}\right)=\left({\sum \limits _{i=1}^{n+1 }{x_{i}^{2}}}\right)\left({\sum \limits _{i=1}^{n+1}{y_{i}^{2}}}\right)

Así, la desigualdad se prueba para arbitraria por inducción con base . La base se puede probar de cualquiera de las otras formas (por ejemplo, a través de una desigualdad ). [7] También hay pruebas geométricas visuales para. [8] [9] $norte$ $n=2$ ${\ estilo de visualización (x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})^{2}\geq 0}$ $n=2$

Literatura

Hui-Hua Wu, Shanhe Wu. Varias demostraciones de la desigualdad de Cauchy-Schwarz // Revista matemática Octogon. - 2009. - Vol. 17 , edición. 1 . — págs. 221–229 .

Notas

↑ Ver prueba 11 en Wu, 2009
↑ Bounjakowsky W. "Mémoires de l'Académie des sciences de St-Petersbourg. Serie 7", 1859, t. 1, nº 9.
↑ Wu, 2009 .
↑ Ver pruebas 2 (para ), 5 en Wu, 2009 para la primera suma y pruebas 3, 4, 8 ibíd. para la segunda. $x={\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}{a_{i}b_{i))}{\sum \limits _{i=1}^{n}{ a_{i}^{2}}}}}$
↑ Ver prueba 7 en Wu, 2009 .
↑ Ver las pruebas 1, 6 (para el caso ) y 12 (después de expandir la inducción, es decir, sumando diferentes ) en Wu, 2009 . $n=2$ $S_{n+1}-S_{n}$
↑ Ver prueba 6 en Wu, 2009 .
↑ Descripción general de las pruebas de la desigualdad de Cauchy-Bunyakovsky Archivado el 25 de agosto de 2021 en Wayback Machine (ver pruebas geométricas en las páginas 15-18) $n=2$
↑ Demostración interactiva de la demostración geométrica . Consultado el 25 de agosto de 2021. Archivado desde el original el 25 de agosto de 2021. (indefinido)