Fracción irreducible

En matemáticas , una fracción irreducible ( reducida ) es una fracción ordinaria de la forma que no se puede reducir . En otras palabras, una fracción es irreducible si su numerador y denominador son coprimos [1] , es decir, no tienen divisores comunes excepto . Por ejemplo, una fracción es irreducible, pero se puede reducir: $\pm {\frac {m}{n}}$ $\pm 1$ ${\frac{121}{90}}$ ${\frac{120}{90}}$ ${\frac {120}{90}}={\frac {12}{9}}={\frac {4}{3}}.$

Fracciones comunes

Cada número racional distinto de cero se puede representar de forma única como una fracción irreducible de la forma donde es un número entero y es un número natural. Esto se sigue del teorema fundamental de la aritmética . Si se permite que el denominador sea negativo , entonces es posible una segunda representación irreducible: ${\frac{m}{n)),$ $metro$ $norte$ $norte$

-{\frac {4}{5}}={\frac {-4}{5}}={\frac {4}{-5}}

Para reducir una fracción ordinaria a una forma irreducible, es necesario dividir su numerador y denominador por el máximo común divisor [2] MCD Para encontrar el máximo común divisor se suele utilizar el algoritmo de Euclides o descomposición en factores primos . ${\ estilo de visualización \ pm {\ frac {m} {n}}}$ ${\ estilo de visualización (m, n).}$

Para un número entero n , la representación de la fracción irreducible es

n={\frac{n}{1}}\

Variaciones y generalizaciones

Las propiedades de irreductibilidad que existen para las fracciones comunes se cumplen para un anillo factorial arbitrario , es decir, un anillo en el que se cumple un análogo del teorema fundamental de la aritmética . Cualquier fracción de los elementos de un anillo factorial (con denominador distinto de cero) se puede representar de forma irreducible, y de forma única hasta divisores de la unidad de este anillo.

El anillo de números gaussianos consta de números complejos de la forma donde son números enteros. Hay cuatro divisores de la unidad: Este anillo es factorial, y la teoría de las fracciones para él se construye de manera similar a los números enteros. Por ejemplo, es fácil comprobar [3] que una fracción se puede reducir a (ya irreducible) ${\ estilo de visualización a + bi,}$ $a, b$ $1;-1;i;-i.$ ${\frac{4+2i}{4+7i}}$ ${\frac{2}{3+2i}}.$

Los polinomios con coeficientes de algún anillo también forman un anillo factorial: el anillo de polinomios . funciones racionales , es decir, fracciones, cuyos numeradores y denominadores son polinomios . Los divisores de la unidad aquí serán números distintos de cero (como polinomios de grado cero). La ambigüedad de la representación se puede eliminar requiriendo que se reduzca el polinomio en el denominador .

Sin embargo, sobre un anillo arbitrario , un elemento del anillo de fracciones , en términos generales, no requiere tener una representación única, hasta divisores de la unidad, en forma de fracción irreducible, ya que el principal teorema de la aritmética no es válido en cada anillo [4] . Considere, por ejemplo, números complejos de la forma , donde , son números enteros. La suma y el producto de tales números serán números del mismo tipo, por lo que forman un anillo. Sin embargo, no es factorial, y la representación irreducible de las fracciones es ambigua, por ejemplo: $a=m+in{\sqrt {5}}$ $metro$ $norte$

{\frac {6}{3(1+i{\sqrt {5))))}}={\frac {2}{1+i{\sqrt {5}}}}={\frac { 1-i{\sqrt {5}}}{3}}

Las fracciones segunda y tercera tienen números primos tanto en el numerador como en el denominador para el anillo especificado, por lo que ambas fracciones son irreducibles.

Notas

↑ Gusev, Mordkovich, 2013 , pág. 29-30.
↑ Vygodsky, 2006 , pág. 81-82.
↑ Weisstein, Eric W. Fracción irreducible en el sitio web de Wolfram MathWorld .
↑ Zhikov V. V. Teorema fundamental de la aritmética // Soros Educational Journal . - 2000. - T. 6 , N º 3 . - S. 112-117 .

Literatura

Vygodsky M. Ya. Manual de matemáticas elementales. - M. : AST, 2006. - 509 p. — ISBN 5-17-009554-6 .
Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matemáticas: una guía de estudio. — M .: Astrel, 2013. — 671 p. - (Manual del estudiante). - ISBN 978-5-271-07165-2 .

Enlaces

Weisstein, Eric W. Fracción reducida en Wolfram MathWorld .