Los números coprimos son números enteros que no tienen divisores comunes distintos de ±1. Definición equivalente [1] : los números enteros son coprimos si su máximo común divisor (mcd) es 1 .
Por ejemplo, los números 14 y 25 son coprimos porque no tienen divisores comunes; pero los números 15 y 25 no son coprimos ya que tienen un divisor común de 5.
Para indicar la relativa simplicidad de los números y , a veces se usa la notación (una analogía con las líneas perpendiculares que no tienen direcciones comunes: los números primos relativamente no tienen factores comunes [2] ).
Este concepto fue introducido en el Libro VII de los Elementos de Euclides . El algoritmo de Euclides se puede utilizar para determinar si dos números son coprimos .
La noción de cosimplicidad se generaliza naturalmente a cualquier anillo euclidiano .
Si en un conjunto de enteros dos números cualquiera son coprimos, entonces dichos números se denominan coprimos por pares (o simplemente primos por pares [3] ). Para dos números, los conceptos de "coprimos" y "primos por pares" son los mismos, para más de dos números, la propiedad de simplicidad por pares es más fuerte que la propiedad previamente definida de simplicidad mutua (en conjunto): los números primos por pares serán también ser coprimos, pero lo contrario no es cierto [3 ] . Ejemplos:
Si los números son números primos por pares, entonces:
Se supone que todos los números mencionados en esta sección son enteros a menos que se indique lo contrario.
Cada celda contiene el máximo común divisor de sus coordenadas, y las unidades correspondientes a los pares de coordenadas coprimos están resaltadas en oscuro. De la propiedad descrita anteriormente, se deduce que la densidad promedio de celdas oscuras cuando la tabla se expande al infinito se vuelve igual a .
una | 2 | 3 | cuatro | 5 | 6 | 7 | ocho | 9 | diez | once | 12 | 13 | catorce | quince | dieciséis | 17 | Dieciocho | 19 | veinte | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | treinta | |
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una | una | una | una | una | una | una | una | una | una | una | una | una | una | una | una | una | una | una | una | una | una | una | una | una | una | una | una | una | una | una |
2 | una | 2 | una | 2 | una | 2 | una | 2 | una | 2 | una | 2 | una | 2 | una | 2 | una | 2 | una | 2 | una | 2 | una | 2 | una | 2 | una | 2 | una | 2 |
3 | una | una | 3 | una | una | 3 | una | una | 3 | una | una | 3 | una | una | 3 | una | una | 3 | una | una | 3 | una | una | 3 | una | una | 3 | una | una | 3 |
cuatro | una | 2 | una | cuatro | una | 2 | una | cuatro | una | 2 | una | cuatro | una | 2 | una | cuatro | una | 2 | una | cuatro | una | 2 | una | cuatro | una | 2 | una | cuatro | una | 2 |
5 | una | una | una | una | 5 | una | una | una | una | 5 | una | una | una | una | 5 | una | una | una | una | 5 | una | una | una | una | 5 | una | una | una | una | 5 |
6 | una | 2 | 3 | 2 | una | 6 | una | 2 | 3 | 2 | una | 6 | una | 2 | 3 | 2 | una | 6 | una | 2 | 3 | 2 | una | 6 | una | 2 | 3 | 2 | una | 6 |
7 | una | una | una | una | una | una | 7 | una | una | una | una | una | una | 7 | una | una | una | una | una | una | 7 | una | una | una | una | una | una | 7 | una | una |
ocho | una | 2 | una | cuatro | una | 2 | una | ocho | una | 2 | una | cuatro | una | 2 | una | ocho | una | 2 | una | cuatro | una | 2 | una | ocho | una | 2 | una | cuatro | una | 2 |
9 | una | una | 3 | una | una | 3 | una | una | 9 | una | una | 3 | una | una | 3 | una | una | 9 | una | una | 3 | una | una | 3 | una | una | 9 | una | una | 3 |
diez | una | 2 | una | 2 | 5 | 2 | una | 2 | una | diez | una | 2 | una | 2 | 5 | 2 | una | 2 | una | diez | una | 2 | una | 2 | 5 | 2 | una | 2 | una | diez |
once | una | una | una | una | una | una | una | una | una | una | once | una | una | una | una | una | una | una | una | una | una | once | una | una | una | una | una | una | una | una |
12 | una | 2 | 3 | cuatro | una | 6 | una | cuatro | 3 | 2 | una | 12 | una | 2 | 3 | cuatro | una | 6 | una | cuatro | 3 | 2 | una | 12 | una | 2 | 3 | cuatro | una | 6 |
13 | una | una | una | una | una | una | una | una | una | una | una | una | 13 | una | una | una | una | una | una | una | una | una | una | una | una | 13 | una | una | una | una |
catorce | una | 2 | una | 2 | una | 2 | 7 | 2 | una | 2 | una | 2 | una | catorce | una | 2 | una | 2 | una | 2 | 7 | 2 | una | 2 | una | 2 | una | catorce | una | 2 |
quince | una | una | 3 | una | 5 | 3 | una | una | 3 | 5 | una | 3 | una | una | quince | una | una | 3 | una | 5 | 3 | una | una | 3 | 5 | una | 3 | una | una | quince |
dieciséis | una | 2 | una | cuatro | una | 2 | una | ocho | una | 2 | una | cuatro | una | 2 | una | dieciséis | una | 2 | una | cuatro | una | 2 | una | ocho | una | 2 | una | cuatro | una | 2 |
17 | una | una | una | una | una | una | una | una | una | una | una | una | una | una | una | una | 17 | una | una | una | una | una | una | una | una | una | una | una | una | una |
Dieciocho | una | 2 | 3 | 2 | una | 6 | una | 2 | 9 | 2 | una | 6 | una | 2 | 3 | 2 | una | Dieciocho | una | 2 | 3 | 2 | una | 6 | una | 2 | 9 | 2 | una | 6 |
19 | una | una | una | una | una | una | una | una | una | una | una | una | una | una | una | una | una | una | 19 | una | una | una | una | una | una | una | una | una | una | una |
veinte | una | 2 | una | cuatro | 5 | 2 | una | cuatro | una | diez | una | cuatro | una | 2 | 5 | cuatro | una | 2 | una | veinte | una | 2 | una | cuatro | 5 | 2 | una | cuatro | una | diez |
21 | una | una | 3 | una | una | 3 | 7 | una | 3 | una | una | 3 | una | 7 | 3 | una | una | 3 | una | una | 21 | una | una | 3 | una | una | 3 | 7 | una | 3 |
22 | una | 2 | una | 2 | una | 2 | una | 2 | una | 2 | once | 2 | una | 2 | una | 2 | una | 2 | una | 2 | una | 22 | una | 2 | una | 2 | una | 2 | una | 2 |
23 | una | una | una | una | una | una | una | una | una | una | una | una | una | una | una | una | una | una | una | una | una | una | 23 | una | una | una | una | una | una | una |
24 | una | 2 | 3 | cuatro | una | 6 | una | ocho | 3 | 2 | una | 12 | una | 2 | 3 | ocho | una | 6 | una | cuatro | 3 | 2 | una | 24 | una | 2 | 3 | cuatro | una | 6 |
25 | una | una | una | una | 5 | una | una | una | una | 5 | una | una | una | una | 5 | una | una | una | una | 5 | una | una | una | una | 25 | una | una | una | una | 5 |
26 | una | 2 | una | 2 | una | 2 | una | 2 | una | 2 | una | 2 | 13 | 2 | una | 2 | una | 2 | una | 2 | una | 2 | una | 2 | una | 26 | una | 2 | una | 2 |
27 | una | una | 3 | una | una | 3 | una | una | 9 | una | una | 3 | una | una | 3 | una | una | 9 | una | una | 3 | una | una | 3 | una | una | 27 | una | una | 3 |
28 | una | 2 | una | cuatro | una | 2 | 7 | cuatro | una | 2 | una | cuatro | una | catorce | una | cuatro | una | 2 | una | cuatro | 7 | 2 | una | cuatro | una | 2 | una | 28 | una | 2 |
29 | una | una | una | una | una | una | una | una | una | una | una | una | una | una | una | una | una | una | una | una | una | una | una | una | una | una | una | una | 29 | una |
treinta | una | 2 | 3 | 2 | 5 | 6 | una | 2 | 3 | diez | una | 6 | una | 2 | quince | 2 | una | 6 | una | diez | 3 | 2 | una | 6 | 5 | 2 | 3 | 2 | una | treinta |
Los conceptos de número primo , máximo común divisor y números coprimos se generalizan naturalmente a anillos euclidianos arbitrarios , como el anillo polinomial o los enteros gaussianos . Una generalización del concepto de número primo es el " elemento irreducible ". La definición anterior de números coprimos no es adecuada para un anillo euclidiano arbitrario, ya que puede haber divisores de unidades en el anillo ; en particular, GCD se define hasta la multiplicación por un divisor de la unidad. Por lo tanto, la definición de números primos relativos debe modificarse [6] .
Se dice que los elementos de un anillo euclidiano son coprimos si el conjunto de sus máximos comunes divisores contiene solo divisores unitarios. |
Formulaciones equivalentes [6] :
También se cumple el lema de Euclides .
La propiedad de simplicidad mutua no solo juega un papel importante en la teoría de números y el álgebra conmutativa , sino que también tiene una serie de aplicaciones prácticas importantes, en particular, la cantidad de dientes en las ruedas dentadas y la cantidad de eslabones de cadena en una transmisión por cadena tiende a ser relativamente prime, que asegura un desgaste uniforme: cada diente del piñón trabajará a su vez con todos los eslabones de la cadena.