Nilradical

El nilradical de un anillo conmutativo  es el ideal formado por todos sus elementos nilpotentes .

El radical nil es de hecho un ideal, ya que la suma de dos elementos nilpotentes es nilpotente (por la fórmula binomial de Newton ), como lo es el producto de un elemento nilpotente y arbitrario. El radical nulo también se puede caracterizar como la intersección de todos los ideales primos del anillo.

Si  es un anillo conmutativo arbitrario, entonces el anillo cociente , por su radical nil, no contiene elementos nilpotentes.

Todo ideal maximal es simple, por lo que el radical de Jacobson  , la intersección de todos los ideales maximales, contiene un radical nulo. En el caso de un anillo artiniano, simplemente coinciden, describiéndose el nilradical como un ideal máximo nilpotente . En general, si un radical nil se genera finitamente , entonces es nilpotente.

Generalizaciones no conmutativas

En el caso no conmutativo, hay tres formas de generalizar el concepto de nirradical. El radical nil inferior de un anillo no conmutativo se define como la intersección de todos los ideales primos. Un nilradical superior  es como un ideal generado por todos los ideales nilpotentes. El radical de Levitsky está entre ellos en tamaño y se define como el ideal máximo localmente nilpotente . Si el anillo es noetheriano , las tres definiciones son las mismas.

Literatura

• Atiyah M., McDonald I. Introducción al álgebra conmutativa. - Prensa Factorial, 2003 - ISBN 5-88688-067-4 .
• Eisenbud, David , "Álgebra conmutativa con miras a la geometría algebraica", Textos de posgrado en matemáticas, 150, Springer-Verlag, 1995, ISBN 0-387-94268-8 .
• Lam, Tsit-Yuen (2001), Un primer curso sobre anillos no conmutativos (2.ª ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag, MR : 1838439 , ISBN 978-0-387-95325-0