Ideal (álgebra)

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El ideal es uno de los conceptos básicos del álgebra general . Los ideales son más importantes en la teoría de anillos , pero también se definen para semigrupos , álgebras y algunas otras estructuras algebraicas . El nombre "ideal" proviene de los " números ideales ", que fueron introducidos en 1847 por el matemático alemán E. E. Kummer [1] . El ejemplo más simple de un ideal es el subanillo de números pares en el anillo de los enteros . Los ideales proporcionan un lenguaje conveniente para generalizar los resultados de la teoría de números a anillos generales.

Por ejemplo, en los anillos , en lugar de los números primos, se estudian los ideales primos; como generalización de los números coprimos, se introducen los ideales coprimos; se puede probar un análogo del teorema chino del resto para los ideales.

En alguna clase importante de anillos (los llamados anillos de Dedekind ), incluso se puede obtener un análogo del teorema fundamental de la aritmética : en estos anillos, cada ideal distinto de cero puede representarse de forma única como un producto de ideales primos.

Un ejemplo de un ideal es el conjunto de números enteros que son divisibles por 6: cuando se consideran en el anillo . Este conjunto es ideal porque tanto la suma de cualquiera de estos dos números como el producto de cualquiera de ellos por cualquier número entero están incluidos en este conjunto. En este caso, el mismo conjunto no será un ideal en el anillo de los números reales, ya que el resultado de multiplicar cualquiera de estos números por un número real arbitrario no está incluido en este conjunto en el caso general. ${\ estilo de visualización \ {\ puntos, -12, -6,0,6,12,18,24 \ puntos \))$ $\matemáticas {Z}$ $\matemáticas {R}$

Definición

Para un anillo, un ideal es un subanillo que se cierra bajo la multiplicación por elementos de . Además, un ideal se llama izquierda (respectivamente , derecha ) si se cierra bajo la multiplicación a la izquierda (respectivamente, a la derecha) por elementos de . Un ideal que es a la vez izquierdo y derecho se llama de dos lados . Un ideal de dos caras a menudo se denomina simplemente ideal . En el caso conmutativo , estos tres conceptos coinciden y siempre se utiliza el término ideal . $R$ $R$ $R$

Más precisamente: un ideal de un anillo es un subanillo del anillo tal que $R$ $yo$ $R$

$\forall i\in I\;\forall r\in R$ producto (condición en ideales correctos); $ir \ en yo$
$\forall i\in I\;\forall r\in R$ producto (condición en los ideales de la izquierda). $ri\en yo$

De manera similar, para un semigrupo, su ideal es un subsemigrupo para el cual una de estas condiciones es verdadera (o ambas para un ideal de dos lados), lo mismo es cierto para el álgebra.

Nota

Para un -álgebra ( un álgebra sobre un anillo ), el ideal del anillo puede, en términos generales, no ser un ideal del álgebra , ya que este subanillo no será necesariamente una subálgebra de , es decir, también será un submódulo terminado _ Por ejemplo, si hay un -álgebra con multiplicación cero, entonces el conjunto de todos los ideales del anillo coincide con el conjunto de todos los subgrupos del grupo aditivo , y el conjunto de todos los ideales del álgebra coincide con el conjunto de todos los subespacios del espacio vectorial . Sin embargo, en el caso de que se trate de un álgebra con una unidad, ambos conceptos coinciden. $R$ $A$ $R$ $A$ $A$ $R$ $A$ $k$ $A$ $A$ $A$ $k$ $A$ $A$

Definiciones relacionadas

Para cualquier anillo , él mismo y el ideal cero son ideales (de dos lados). Tales ideales se llaman triviales . Los ideales propios son ideales que forman un subconjunto propio , es decir, no coinciden con todo [2] [3] . $R$ $R$ ${\ estilo de visualización 0}$ $R$
Muchas clases de anillos y álgebras se definen por condiciones en su red ideal o ideal. Por ejemplo:
- Un anillo que no tiene ideales de dos lados no triviales se llama simple .
- Un anillo sin ideales no triviales (no necesariamente de dos caras) es un anillo . Ver también: anillo ideal principal , anillo artiniano , anillo noetheriano .

Cualquier anillo conmutativo con una unidad está asociado con un espacio topológico : el espectro del anillo cuyos puntos son todos ideales primos del anillo distintos de , y los conjuntos cerrados se definen como conjuntos de ideales primos que contienen algún conjunto de elementos del anillo (o , que es lo mismo, el ideal generado por este conjunto). Esta topología se denomina topología de Zariski . $\operatorname{Especificación} A$ $A$ $A$ $mi$ $A$ $yo$

El concepto de ideal está estrechamente relacionado con el concepto de módulo . Un ideal (derecho o izquierdo) se puede definir como un submódulo de un anillo considerado como un módulo derecho o izquierdo sobre sí mismo.

Propiedades

Los ideales de izquierda en R son ideales de derecha en el llamado. anillo opuesto : un anillo con los mismos elementos y la misma suma que el dado, pero con una cierta multiplicación , y viceversa. $R^{0}$ $a*b=b*a$
Los ideales bilaterales en anillos y álgebras juegan el mismo papel que los subgrupos normales en grupos :
- Para todo homomorfismo , el núcleo es un ideal y viceversa, todo ideal es el núcleo de algún homomorfismo. $f\dos puntos A\a B$ $\operatorname {Ker}f$
- Además, un ideal únicamente (hasta un isomorfismo ) determina la imagen del homomorfismo del que es el núcleo: es isomorfo a un anillo cociente ( álgebra cociente ) . $fa)$ $AI$
En el anillo de los números enteros, todos los ideales son principales y tienen la forma , donde . $\matemáticas {Z}$ ${\displaystyle n\mathbb {Z} =\{nz\mid z\in \mathbb {Z} \))$ $n\en \mathbb{N} _{0}$
La intersección de ideales también es un ideal (a menudo, especialmente en álgebra conmutativa, la intersección se llama mínimo común múltiplo ).

Tipos de ideales

El ideal principal es un ideal generado por un elemento.
Ideal finitamente generado
Ideal maximal : Se dice que un ideal propio I es maximal si no existe un ideal propio J tal que I sea un subconjunto propio de J. Un anillo de cociente por un ideal maximal es un campo .
ideal modular
Ideal nilpotente
ideal primario
ideal sencillo
Un ideal radical es un ideal que coincide con su radical .

Diseños básicos

ideales principales . Si p pertenece a R , y k es cualquier número entero, entonces - será el ideal mínimo derecho que contiene a p , y - el ideal mínimo izquierdo en R . Se denominan, respectivamente, ideales principales de derecha e izquierda generados por p . En el caso conmutativo, estos ideales coinciden y también se denotan por (p) . Si el anillo R contiene el elemento identidad, entonces como, los ideales principales generados por p pueden escribirseyrespectivamente. Cualquier ideal que contenga un elemento p también contiene el ideal principal generado por él. $\{pr+kp:\,r\in R\ ,k\in {\mathbb {Z}}\}$ $\{rp+kp:\,r\in R\ ,k\in {\mathbb {Z}}\}$ $kp=(k*1)p=p(k*1)$ $pR=\{pr:\,r\en R\}$ $Rp=\{rp:\,r\en R\}$

Un ideal generado por multitud de elementos. La intersección de una familia arbitraria de ideales izquierdos del anillo R es un ideal izquierdo del anillo R . Por lo tanto, para cualquier subconjunto M del anillo R , existe un ideal izquierdo mínimo que lo contiene, a saber, la intersección de todos los ideales izquierdos que contienen el conjunto M. (Lo mismo es cierto para los ideales derechos y de dos lados). Para un anillo R con un elemento de identidad, el ideal mínimo izquierdo es un conjunto de sumas finitas de la forma , el ideal mínimo derecho es un conjunto de sumas finitas de la forma , y el ideal mínimo de dos lados es un conjunto de sumas finitas de los elementos de forma del conjunto M , y r i ,r' i son elementos arbitrarios del anillo R . Si el anillo no contiene uno, entonces el ideal mínimo izquierdo tendrá la forma , mínimo derecho , mínimo de dos lados , donde todos son números enteros. Estos ideales se denominan generados por el conjunto M. En el caso conmutativo, todas coinciden y se denotan como sigue: (M) . Los ideales generados por un conjunto finito se denominan generados finitamente . ${\displaystyle r_{1}m_{1}+\ldots +r_{n}m_{n))$ ${\displaystyle m_{1}r_{1}+\ldots +m_{n}r_{n))$ ${\displaystyle r_{1}m_{1}r'_{1}+\ldots +r_{n}m_{n}r'_{n))$ ${\displaystyle r_{1}m_{1}+\ldots +r_{n}m_{n}+k_{1}m'_{1}+\ldots +k_{s}m'_{s))$ $m_{1}r_{1}+\ldots +m_{n}r_{n}+k_{1}m'_{1}+k_{2}m'_{2}+\ldots +k_ {SMS}$ $r_{1}m_{1}r'_{1}+\ldots +r_{n}m_{n}r'_{n}+k_{1}r''_{1}m'_ {1}+\ldots +k_{s}r''_{s}m'_{s}+k'_{1}m''_{1}r'''_{1}+\ldots + k'_{t}m''_{t}r'''_{t}+k''_{1}m'''_{1}+\ldots +k''_{w}m' '''_{w}$ $k_{i}(k'_{i})$

suma de ideales. Si en el anillo R se da una familia arbitraria de ideales , su suma es el ideal mínimo que los contiene a todos. Es generado por la unión de estos ideales, y sus elementos son sumas finitas de elementos de su unión (la unión de ideales en sí misma no suele ser un ideal). Con respecto a la suma, todos los ideales (izquierdo, derecho o bilateral) de un anillo (o álgebra) forman una red . Cada ideal es la suma de los ideales principales. A menudo, especialmente en álgebra conmutativa, la suma se llama el máximo común divisor). $yo_{{\alfa ))$ $\suma I_{{\alfa ))$

La intersección de ideales (como la intersección de conjuntos ) es siempre un ideal. Por otro lado, la unión de dos ideales es un ideal solo si uno de ellos es un subconjunto del otro. De hecho, sean y dos ideales (izquierdos), ninguno de los cuales es un subconjunto del otro, y es un ideal izquierdo. En este caso, obviamente, es el ideal más pequeño que contiene y , es decir, . Hay un elemento . Entonces para cualquier , ya que en este caso , por lo tanto, y , por lo tanto, es una contradicción. ${\ matemáticas frak a}$ ${\mathfrak b}$ ${\mathfrak a}\cup {\mathfrak b}$ ${\mathfrak a}\cup {\mathfrak b}$ ${\ matemáticas frak a}$ ${\mathfrak b}$ ${\mathfrak a}\cup {\mathfrak b}={\mathfrak a}+{\mathfrak b}$ $a\in {\mathfrak a},a\notin {\mathfrak b}$ $b\in {\mathfrak b}\;a+b\notin {\mathfrak b}$ $a\in {\mathfrak b}$ $a+b\in {\mathfrak a}$ $b\in {\mathfrak a}$ ${\mathfrak b}\subconjunto {\mathfrak a}$

El producto de los ideales. El producto de los ideales I y J es el ideal IJ generado por todos los productos ab , donde a es un elemento del ideal I , b es un elemento del ideal J. El producto infinito de ideales no está definido.

Ideales privados. En un anillo conmutativo , para el ideal distinto de cero I y el ideal J , su cociente está definido, el ideal . Este ideal se llama el aniquilador del ideal I en el caso en que J=(0) , . $I^{{-1}}J=\{x\in R\colon \,\forall i\in I\,ix\in J\}$

El radical del yo ideal es el conjunto. También es un ideal del anillo A si solo el anillo A es conmutativo. En el caso en que I=(0) , este ideal se llama el radical nil del anillo A . Sus elementos son todos elementos nilpotentes del anillo. Si un anillo conmutativo no tiene elementos nilpotentes distintos de cero (tiene un radical nil cero), entonces se llama radical . Un I idealse llama radical si coincide con su radical. En este caso, el anillo cociente R/I no tiene elementos nilpotentes excepto cero. ${\sqrt {I}}=\{f\in A:\,\existe n\in {\mathbb {N}}\,\,f^{n}\in {I}\}$

límite inductivo . Si se da una familia (cadena) de ideales, numerada por un conjunto linealmente ordenado A , de modo que para cualquier índicede A el idealesté contenido en el ideal, entonces su unión es un ideal - el límite inductivo de esta cadena de ideales. Este ideal también coincide con la suma de todos los ideales de la cadena. El hecho de que el límite inductivo siempre exista significa que el conjunto de todos los ideales del anillo R está inductivamente ordenado, y se le aplica el lema de Zorn . A menudo se usa para construir ideales maximales con algunas propiedades adicionales (ver ideal maximal , ideal primo , anillo ideal principal ). $\{I_{{\alfa }}\}_{{\alfa \en A}}$ $\alfa <\beta$ $yo_{{\alfa ))$ $yo_{{\beta))$

La imagen de un ideal bajo un homomorfismo. Por lo general, la imagen de un ideal bajo un homomorfismo NO es un ideal, pero si el homomorfismo es sobreyectivo, entonces lo es. En particular, dado que el homomorfismo de factorización es siempre sobreyectivo, la factorización lleva todo ideal a un ideal.

La imagen inversa de un ideal bajo un homomorfismo . Si es un homomorfismo de anillos , su núcleo es un ideal de dos colas. Más generalmente, si I es un ideal arbitrario en el anillo B , su preimagen completa es un ideal (izquierdo, derecho o de dos lados, dependiendo de cuál sea el ideal de I ). $f:\,A\a B$ $\operatorname {Ker}f=\{a\in A:\,f(a)=0\}$ $f^{{-1}}I=\{a\en A:\,f(a)\en I\}$

El homomorfismo de factorización con respecto al ideal. Si I es un ideal de dos colas en el anillo R , se puede usar para definir una relación de equivalencia en R mediante la regla: x ~ y si y solo si la diferencia xy pertenece a I . Se comprueba que si se sustituye uno de los operandos de la suma o producto por otro equivalente, el nuevo resultado será equivalente al original. Así, las operaciones de suma y multiplicación quedan definidas sobre el conjunto R/I de clases de equivalencia, convirtiéndolo en un anillo (la conmutatividad y la presencia de la unidad se trasladan del anillo R , si lo hay). Simultáneamente a este anillo, se define un homomorfismo de factorización (homomorfismo canónico) , que asigna a cada elemento a de R la clase de equivalencia en la que está contenido. La clase de equivalencia de un elemento a es el conjunto de elementos de la forma a+i sobre todos los i del ideal I , por lo que se denota a + I , pero a veces también se usa la notación general para la clase de equivalencia [a] . Por lo tanto El anillo R/I es entonces llamado anillo factorial del anillo R por el ideal I . $\pi :\,R\a R/I$ $\pi (a)=[a]=a+yo$

Historia

Los ideales fueron introducidos por primera vez por Dedekind en 1876 en la tercera edición de sus Lectures on Number Theory. Esta fue una generalización del concepto de números ideales introducido por Kummer .

Posteriormente estas ideas fueron desarrolladas por Hilbert y especialmente por Noether .

Enlaces

Vinberg E. B. Curso de álgebra, - M. : Factorial Press Publishing House, 2002, ISBN 5-88688-060-7 .
Zarissky O., Samuel P. Álgebra conmutativa, V. 1-2, - M. : IL, 1963.
Leng S. Álgebra, - M. : Mir, 1968.

Notas

↑ Ideal // Kazajstán. Enciclopedia Nacional . - Almaty: Enciclopedias kazajas , 2005. - T. II. — ISBN 9965-9746-3-2 . (Ruso) (CC POR SA 3.0)
↑ ' Margherita Barile ' . Ideal propio en el sitio web de Wolfram MathWorld .
↑ Conferencia sobre álgebra en la Universidad Estatal de Moscú