Espacio noetheriano

Un espacio noetheriano (llamado así por Emmy Noether ) es un espacio topológico X que satisface la condición de terminación de cadenas descendentes de subconjuntos cerrados [1] [2] . Es decir, para toda sucesión de subconjuntos cerrados del espacio X tal que: $y_i$

Y_1 \supseteq Y_2 \supseteq Y_3 \supseteq \cdots

hay un entero r tal que $Y_s = Y_r ~ \forall s>r.$

Esta condición es equivalente a que cada subconjunto sea compacto . $X$

Definiciones equivalentes

Un espacio topológico se llama noetheriano si se cumple una de las siguientes declaraciones equivalentes: $X$

$X$ satisface la condición de terminación para cadenas descendentes de subconjuntos cerrados [1] [2] ;
$X$ satisface la condición de romper cadenas crecientes de subconjuntos abiertos [3] ;
cada familia no vacía de subconjuntos cerrados en , ordenados por inclusión, tiene un elemento mínimo [1] [3] ; $X$
cada familia no vacía de subconjuntos abiertos en , ordenados por inclusión, tiene un elemento máximo [3] ; $X$
cada subconjunto es compacto (con la topología del subespacio ); $X$
cada subconjunto abierto es compacto [1] . $X$

Propiedades

Un espacio de Hausdorff es noetheriano si y sólo si es finito (y al mismo tiempo discreto ) [3] .
Cada subespacio de un espacio de Noether es nuevamente un espacio de Noether [1] [3] .
Si un espacio puede ser cubierto por un número finito de subespacios noetherianos, entonces es en sí mismo noetheriano [1] . $X$ $X$
Un espacio noetheriano puede representarse como la unión de un número finito de sus componentes irreducibles [1] [2] . $X$

Ejemplos

Los espacios de Noether aparecen a menudo en la geometría algebraica .

Un espacio ( un espacio n-dimensional afín sobre un campo k ) con la topología de Zariski es un espacio topológico de Noether [2] . Según la definición de la topología de Zariski en si: $\mathbb {A} ^ n_k$ $\mathbb {A} ^ n_k$

Y_1 \supseteq Y_2 \supseteq Y_3 \supseteq \cdots

es una sucesión decreciente de conjuntos cerrados, entonces:

I (Y_1) \subseteq I (Y_2) \subseteq I (Y_3) \subseteq \cdots

es una secuencia creciente de ideales ( denota el ideal de funciones polinómicas que se desvanece en cada punto ). Dado que es un anillo de Noether, existe un número entero tal que: $k[x_1, \ldots, x_n]$ $yo (y_i)$ $(Y_i)$ $k[x_1, \ldots, x_n]$ $metro$

I (Y_m) = I (Y_ {m + 1}) = I (Y_ {m + 2}) \cdots.

Dada la correspondencia uno a uno entre los ideales radicales y los conjuntos cerrados (en la topología de Zariski) , se cumple para todo i . Es por eso: $k[x_1, \ldots, x_n]$ $\mathbb {A} ^ n_k$ $V(I(Y_i)) = Y_i$ $Y_m = Y_{m +1} = Y_{m + 2} = \cdots$

Ejemplos de espacios Noetherianos son los espectros de anillos conmutativos. Si es un anillo Noether , entonces el espacio (espectro ) es Noetheriano [1] . $R$ $\operatorname{Especificación}(R)$ $R$

Véase también

noetherianidad

Notas

↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 Kuzmin, 1982 .
↑ 1 2 3 4 Hartshorne, 1981 , pág. 21
↑ 1 2 3 4 5 Hartshorne, 1981 , pág. 25

Literatura

Kuzmin L.V. Serie Möbius // Enciclopedia Matemática. Vol. 3 / Cap. edición I. M. Vinogradov . - M . : Sov. enciclopedia , 1982. - 1184 stb. - Stb. 1028.
Hartshorne R. geometría algebraica. — M .: Mir , 1981. — 597 p.

Enlaces

Drozd, Yuri. Introducción a la Geometría Algebraica (enlace no disponible)