Circunferencias de Villarceau
La versión actual de la página aún no ha sido revisada por colaboradores experimentados y puede diferir significativamente de la versión revisada el 17 de marzo de 2022; las comprobaciones requieren 4 ediciones .Los círculos de Villarceau , llamados así por el astrónomo y matemático francés Yvon Villarceau (1813-1883), son un par de círculos obtenidos cortando un toro de revolución con un plano tangente "diagonal" que pasa por el centro del toro. Debido a la simetría del toro, este plano toca dos veces la superficie del toro, es decir, es bitangente.
Las familias de paralelos, meridianos y dos familias de círculos de Villarceau forman juntas cuatro familias de círculos transversales por pares en el toro. [1] Las imágenes conformes del toro de revolución, los cíclidos de Dupin , tienen la misma propiedad: tener cuatro familias de círculos transversales por parejas .
Fórmula y prueba de existencia
Sean dos círculos de radio que se cortan dados por las fórmulas
El producto de estas dos ecuaciones se puede reducir a la forma
Esta ecuación de cuarto orden define dos círculos que se cortan y es obviamente una fórmula de sección tórica . En los puntos de intersección de las circunferencias se intersecan curvas que pertenecen simultáneamente al plano de la sección ya la superficie del toro. Por lo tanto, en estos puntos, el plano de corte toca la superficie del toro.
Literatura
- Yvon Villarceau, Antoine Joseph François . Théorème sur le tore (francés) // Nouvelles Annales de Mathématiques :revista. - París: Gauthier-Villars, 1848. - Vol. 7 Serie 1 . - P. 345-347 .
- Coxeter, HSM Introducción a la Geometría (indefinido) . — 2/e. - Wiley, 1969. - S. 132-133 . — ISBN 978-0-471-50458-0 .
Véase también
Notas
- ↑ Comentario de la película matemática "Dimensions" sobre los capítulos 7 y 8. Archivado el 29 de septiembre de 2009 en Wayback Machine .