Operación (matemáticas)

Una operación es un mapeo que asocia uno o más elementos del conjunto (argumentos) con otro elemento (valor). El término "operación" generalmente se aplica a operaciones aritméticas o lógicas , en contraste con el término " operador ", que se aplica más a menudo a ciertos mapeos de conjunto sobre sí mismo que tienen propiedades de interés para la investigación.

Definición

Una operación es una aplicación cuyo dominio de definición es el producto directo de varios conjuntos. Matemáticamente, la operación se puede escribir como una aplicación ( y puede coincidir), donde se llama la aridad de la operación [1] . $F$ $f\colon D\subseteq \underbrace {A\times A\times \cdots \times A}_{{n}}\to B$ $B$ $A$ $norte$

Definiciones relacionadas

Las operaciones difieren en el número de conjuntos cuyo producto cartesiano es su dominio de definición. Por ejemplo, una operación puede ser única si asigna un elemento de un conjunto a un elemento de un conjunto, o binaria si asigna dos elementos de un conjunto a un elemento.

Una operación algebraica es una operación cuyo dominio de definición es igual a la potencia cartesiana de un determinado conjunto donde es la aridad de , y el dominio de valores es igual a este conjunto , es decir, [2] . $F$ $norte$ $A,$ $n\in {\matemáticas {N}}_{0}$ $A,$ $f\dos puntos A^{n}\a A$

Propiedades

Las operaciones pueden o no tener diferentes propiedades. Por ejemplo:

la conmutatividad (propiedad de desplazamiento) es una propiedad de la operación " ", cuando $\circ$ $a\circ b=b\circ a;$
anticonmutatividad - por ejemplo, la operación de resta , porque $ab=-(ba);$
asociatividad (propiedad asociativa) es una propiedad de la operación " ", cuando $\circ$ $(a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c);$
distributividad (propiedad distributiva) - por ejemplo, la operación de multiplicación con respecto a la suma , ya que $(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c;$
idempotencia : si la operación repetida aún no cambia el objeto, por ejemplo, tomando módulo : $|x|={\grande |}|x|{\grande |}={\Grande |}{\grande |}|x|{\grande |}{\Grande |}=\ldots$

En conjunto, la conmutatividad y la anticonmutatividad no agotan las propiedades de todas las operaciones posibles: por ejemplo, la exponenciación no es una operación conmutativa, ya que, por ejemplo, pero al mismo tiempo no es anticonmutativa: por ejemplo, ${\ estilo de visualización 2 ^ {3} \ neq 3 ^ {2},}$ $2^{4}\neq {\color {Rojo}-}4^{2}.$

Operaciones

Aritmética

Operaciones aritmeticas

suma (+)

1er término + 2do término =

suma

Resta (−)

Reducido − Restado =

diferencia

Multiplicación (×)

1er multiplicador × 2do multiplicador =

trabajar

División (:)

Dividendo : divisor =

privado

División con resto (mod)

divisor mod divisible =

resto de la división

Exponenciación (^)

{\text{base}}^{\text{exponente}}

la licenciatura

Extracción de raíces (√)

{\sqrt[{\text{valor}}]{\text{número}}}

raíz

Logaritmo (registro)

\log _{\text{base}}

(número) =

logaritmo

La suma es una operación binaria, como . ${\ estilo de visualización 2 + 7 = 9}$
La resta es la inversa de la suma , p. ${\ estilo de visualización 9-7 = 2}$
La multiplicación es una hiperoperación de la suma, por ejemplo . $2\cdot 3=6$
La división es lo inverso de la multiplicación, p. $6:3=2$
La exponenciación es una hiperoperación de multiplicación , por ejemplo . $2^{3}=8$
Extraer una raíz es el inverso de la exponenciación, por ejemplo . ${\raíz cuadrada[{3}]{8}}=2$
El logaritmo es el segundo inverso de la exponenciación, por ejemplo . $\ log _ {2} 8 = 3$
La tetración es una hiperoperación de exponenciación, por ejemplo . $^{3}2=2^{{2^{2}}}=16$
La superraíz y el superlogaritmo son las operaciones inversas de la tetración.

La suma y la resta son operaciones aritméticas elementales. Todas las demás operaciones más complejas se obtienen como resultado de hiperoperaciones. Así, la suma y la resta se clasifican como operaciones de primera etapa; multiplicación y división - a operaciones de la segunda etapa; exponenciación, extracción de raíz y logaritmo - a las operaciones de la tercera etapa; La tetración y sus operaciones inversas rara vez se utilizan operaciones de la cuarta etapa, sin embargo, tal hiperoperación puede continuarse indefinidamente, hasta operaciones de la 5ª, 6ª y etapas superiores.

Cálculo

Diferenciación : encontrar la derivada de una función, por ejemplo . $(x^{2})'=2x$
La integración es lo opuesto a la diferenciación; encontrar la función antiderivada , por ejemplo . $\int 2xdx=x^{2}+C$

Operaciones lógicas

Las operaciones lógicas son operaciones sobre elementos de un conjunto de dos elementos: "verdadero" y "falso", o "1" y "0".

La negación ( ) es una operación unaria; convierte "1" en "0" y "0" en "1". $\neg A$
La conjunción ( ) es una operación binaria; devuelve "1" solo si ambos argumentos son "1". $A y B$
La disyunción ( ) es una operación binaria; devuelve "0" solo si ambos argumentos son "0". $A \ o B$

Notas

↑ Álgebra general. V.1 / O. V. Melnikov, V. N. Remeslennikov, V. A. Romankov y otros Bajo el mando del general. edición L. A. Skornyakova. M.: Ciencia. cap. edición Phys.-Math. lit., 1990. - 592 p. - (Referencia mat. b-ka). ISBN 5-02-014426-6 (vol. 1)
↑ Enciclopedia de Matemáticas . — M.: Enciclopedia soviética . I. M. Vinogradov . 1977-1985.