Transformación ortogonal

Una transformación ortogonal es una transformación lineal del espacio euclidiano que conserva longitudes o (equivalentemente) el producto escalar de vectores. Esto significa que para dos vectores cualesquiera la igualdad $A$ $L$ $x,y\en L$

\langle A(x),\,A(y)\rangle =\langle x,\,y\rangle ,

donde los corchetes triangulares indican el producto escalar en el espacio . $\ángulo x,\,y\ángulo$ $L$

Propiedades

Las transformaciones ortogonales (y sólo ellas) transforman una base ortonormal del espacio euclidiano en otra ortonormal.
Una condición necesaria y suficiente para la ortogonalidad de una transformación lineal es la igualdad $A$ $A^{*}=A^{-1},\qquad (*)$

donde es el conjugado y es la transformación inversa.

un^{*}

A^{{-1}}

En una base ortonormal, las transformaciones ortogonales (y solo ellas) corresponden a matrices ortogonales . Así, el criterio para la ortogonalidad de una matriz es la igualdad (*), donde es la traspuesta y es la inversa de la matriz. $A$ $un^{*}$ $A^{{-1}}$
Los valores propios de las transformaciones ortogonales son módulo , y los vectores propios (generalmente complejos ) correspondientes a diferentes valores propios son ortogonales. Por ejemplo, los valores propios de la matriz son y los vectores propios son . $una$ ${\begin{pmatrix}\cos \varphi &-\sin \varphi \\\sin \varphi &\cos \varphi \end{pmatrix))$ ${\ Displaystyle \ cos \ varphi \ pm i \ cdot \ sin \ varphi}$ ${\begin{pmatrix}1\\\mp i\end{pmatrix}}$
El determinante de una transformada ortogonal es ( transformada ortogonal propia ) o ( transformada ortogonal impropia ). $una$ $-una$
En un espacio euclidiano de dimensión arbitraria , una transformación ortogonal es una composición de un número finito de reflexiones . $norte$
El conjunto de todas las transformaciones ortogonales de un espacio euclidiano forma un grupo con respecto a la operación de composición , el grupo ortogonal del espacio euclidiano dado. Las transformaciones ortogonales propias forman un subgrupo normal en este grupo (el grupo ortogonal especial ).

Dimensión 2

En el caso del plano euclidiano, cualquier transformación ortogonal propia es una rotación a través de algún ángulo , y su matriz en cualquier base ortonormal tiene la forma $\varphi$

{\begin{pmatrix}\ \ \ \cos \varphi &\sin \varphi \\-\sin \varphi &\cos \varphi \end{pmatrix}}.

La matriz de transformación ortogonal impropia tiene la forma

{\begin{pmatrix}\ \cos \varphi &\ \ \sin \varphi \\\sin \varphi &-\cos \varphi \end{pmatrix}}.

Es simétrico, tiene valores propios 1 y −1, y por lo tanto es una involución. En una base ortonormal apropiada, la matriz de transformación ortogonal impropia tiene la forma

{\begin{pmatrix}1&\ \ 0\\0&-1\end{pmatrix}},

es decir, es una reflexión sobre alguna línea. La transformación ortogonal propia es el producto de dos reflexiones:

{\begin{pmatrix}\ \ \ \cos \varphi &\sin \varphi \\-\sin \varphi &\cos \varphi \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&\ \ 0\\0& -1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\ \cos \varphi &\ \ \sin \varphi \\\sin \varphi &-\cos \varphi \end{pmatrix}}.

Dimensión 3

En el espacio tridimensional, cualquier transformación ortogonal propia es una rotación alrededor de algún eje, y cualquier impropia es una composición de rotación alrededor de un eje y reflexión en un plano perpendicular.

Dimensión n

Se cumple el siguiente teorema general:

Para cada transformación ortogonal de un espacio euclidiano- dimensional , la siguiente expansión es válida ${\ estilo de visualización A \ dos puntos L \ a L}$ $norte$ $L$

L=L_{1}\oplus L_{{-1}}\oplus M_{{\varphi _{1}}}\oplus \ldots \oplus M_{{\varphi _{k}}},

donde todos los subespacios y son ortogonales por pares y son subespacios invariantes de la transformación , y: ${\ estilo de visualización L_ {1},}$ ${\ estilo de visualización L_ {-1}}$ $M_{{\varphi _{i}}}$ $A$

restricción en is (transformación de identidad), $A$ $L_{1}$ $mi$
límite en equipado , $A$ ${\ estilo de visualización L_ {-1}}$ ${\ estilo de visualización -E}$
todos los espacios son bidimensionales (planos), y la restricción es la rotación del plano a través del ángulo . $M_{{\varphi _{i}}}$ $A$ $M_{{\varphi _{i}}}$ $M_{{\varphi _{i}}}$ $\varphi _{i}$

En términos de la matriz de transformación, este teorema se puede formular de la siguiente manera:

Para cualquier transformación ortogonal, existe una base ortonormal en la que su matriz tiene una forma de bloque diagonal: $A$

A=\left({\begin{matriz}\,1&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}\\\,{}&\ddots &{}& {}&{}&{}&0&{}&{}\\\,{}&{}&1&{}&{}&{}&{}&{}&{}\\\,{}&{} &{}&-1&{}&{}&{}&{}&{}\\\,{}&{}&{}&{}&\dpuntos &{}&{}&{}&{} \\\,{}&{}&{}&{}&{}&-una&{}&{}&{}\\\,{}&{}&{}&{}&{}&{} &A_{{\varphi _{1}}}&{}&{}\\\,{}&{}&0&{}&{}&{}&{}&\ddots &{}\\\,{} &{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&A_({\varphi _{k}}}\\\end{matriz}}\right),

donde es la matriz de rotación (ver fórmula anterior), el número de unos es igual a la dimensión del subespacio y el número de menos unos es igual a la dimensión del subespacio . $A_{{\varphi _{i}}}$ ${\ varphi _{i))$ $L_{{1}}$ ${\ estilo de visualización L_ {-1}}$

Esta notación de la matriz de transformación ortogonal a veces se denomina canonicalización. $A$

Véase también

matriz ortogonal
Transformación ortogonal discreta

Literatura

Maltsev AI Fundamentos de álgebra lineal. Moscú: Nauka, 1975.
Gelfand I. M. Conferencias sobre álgebra lineal, Moscú: Nauka, 1971.
Faddeev D. K. Conferencias sobre álgebra. Moscú: Nauka, 1984.
V. A. Ilyin, E. G. Poznyak Álgebra lineal. - Fizmatlit, Moscú, 1999.
Gantmakher F. R. Teoría de Matrices, - M.: Nauka, 1966.
Gel'fand I. M. , Álgebra lineal . Curso de conferencias.
Kostrikin A. I., Manin Yu. I. Álgebra lineal y geometría, - M .: Nauka, 1986.
Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Álgebra lineal y geometría, Fizmatlit, Moscú, 2009.