Operador adjunto

El operador adjunto es una generalización del concepto de matriz conjugada hermitiana para espacios de dimensión infinita.

Álgebra lineal

Una transformación se llama conjugada a una transformación lineal si para cualquier vector y la igualdad se cumple . Cada transformación tiene una única transformación conjugada. Su matriz en la base se determina a partir de la matriz de transformación por la fórmula si el espacio es euclidiano , y por la fórmula en el espacio unitario . aquí denota la matriz de Gram de la base elegida. Si es ortonormal , estas fórmulas toman la forma y respectivamente. ${\ estilo de visualización \ varphi ^ {*}}$ $\varphi$ $X$ $y$ $\left(\varphi \left(x\right),y\right)=\left(x,\varphi ^{*}\left(y\right)\right)$ $A^{*}=\Gamma ^{-1}A^{T}\Gamma$ $A^{*}={\overline {\Gamma ^{-1}A^{T}\Gamma }}$ $\Gama$ ${\ estilo de visualización A^{*}=A^{T}}$ $A^{*}={\bar {A}}^{T}$

Espacio lineal general

Sean espacios lineales y espacios lineales conjugados (espacios de funcionales lineales definidos en ). Entonces, para cualquier operador lineal y cualquier funcional lineal, se define un funcional lineal : una superposición de y : . El mapeo se llama operador lineal adjunto y se denota por . $E,\,L$ $E^{*},\,L^{*}$ $E,\,L$ $A\dos puntos E\a L$ $g\en L^{*}$ $f\en E^{*}$ $gramo$ $A$ $f(x)=g(A(x))$ $g\mapsto f$ $A^{*}\dos puntos L^{*}\a E^{*}$

En resumen, , donde es la acción del funcional sobre el vector . $(A^{*}g,x)=(g,Ax)$ $(B, x)$ $B$ $X$

Espacio lineal topológico

Sean espacios lineales topológicos y espacios lineales topológicos conjugados (espacios de funcionales lineales continuos definidos en ). Para cualquier operador lineal continuo y cualquier funcional lineal continuo, se define un funcional lineal continuo : la superposición y : . Es fácil comprobar que el mapeo es lineal y continuo. Se llama el operador adjunto y también se denota . $E,\,L$ $E^{*},\,L^{*}$ $E,\,L$ $A\dos puntos E\a L$ $g\en L^{*}$ $f\en E^{*}$ $gramo$ $A$ $f(x)=g(A(x))$ $g\mapsto f$ $A^{*}\dos puntos L^{*}\a E^{*}$

Espacio de Banach

Sea un operador lineal continuo actuando desde un espacio de Banach en un espacio de Banach [1] y sean los espacios duales . Denotemos . Si es fijo, entonces es un funcional continuo lineal en . Así, se define un funcional continuo lineal desde para , por lo tanto, se define un operador tal que . $A\dos puntos X\a Y$ $X$ $Y$ $X^{*},Y^{*}$ $\forall x\in X,f\in Y^{*}[Ax,f]=f(Ax)$ $F$ $[Hacha, f]$ $X,[Ax,f]\en X^{*}$ $\forall f\in Y^{*}$ $X^{*}$ $A^{*}\dos puntos Y^{*}\a X^{*}$ $[Ax,f]=[x,A^{*}f]$

$un^{*}$ se llama operador adjunto . De manera similar, se puede definir un operador adjunto a un operador lineal ilimitado, pero no se definirá en todo el espacio.

Para las siguientes propiedades son verdaderas: $un^{*}$

El operador es lineal. $un^{*}$
Si es un operador continuo lineal , entonces también un operador continuo lineal. $A$ $un^{*}$
Sea el operador cero y sea el operador unitario . entonces _ $O$ $mi$ $O^{*}=O,E^{*}=E$
$(A+B)^{*}=A^{*}+B^{*}$ .
$\forall \alpha \in \mathbb {C} ,(\alpha A)^{*}={\bar {\alpha }}A^{*}$ .
$(AB)^{*}=B^{*}A^{*}$ .
$(A^{-1})^{*}=(A^{*})^{-1}$ .

Espacio de Hilbert

En un espacio de Hilbert, el teorema de Riesz da una identificación del espacio con su adjunto, por lo tanto, para un operador, la igualdad determina el operador adjunto . Aquí está el producto escalar en el espacio . $H$ $A\dos puntos H\a H$ $(Ax,y)=(x,A^{*}y)$ $A^{*}\dos puntos H\a H$ $(x,y)$ $H$

Véase también

operador hermitiano

Notas

↑ Se supone que los espacios son complejos $X,Y$

Literatura

Shefer H. Espacios vectoriales topológicos. — M .: Mir, 1971.
Vorovich II , Lebedev L. P. Análisis funcional y sus aplicaciones en mecánica continua. - M . : libro Vuzovskaya, 2000 . — 320 s.
Trenogin V. A. Análisis funcional. — M .: Nauka , 1980 . — 495 pág.
Análisis funcional / editor S. G. Kerin . — 2º, revisado y complementado. — M .: Nauka , 1972 . — 544 pág. — (Biblioteca matemática de referencia).
Halmos P. Espacios vectoriales de dimensión finita = Espacios vectoriales de dimensión finita. — M .: Fizmatgiz , 1963 . — 264 págs.
Shilov G. E. Análisis matemático (funciones de una variable), parte 3. - M .: Nauka , 1970 . — 352 págs.
Weinberg M. M. Análisis funcional. - M .: Educación, 1979. - 128 p.