La paradoja de Galileo es un ejemplo que ilustra las propiedades de los conjuntos infinitos . En pocas palabras: hay tantos números naturales como cuadrados de números naturales , es decir, en el conjunto 1, 2, 3, 4... hay tantos elementos como en el conjunto 1, 4, 9, 16 ...
En su última obra, Las dos ciencias, Galileo emitió dos juicios contradictorios sobre los números naturales . Primero, algunos números son cuadrados exactos (es decir, los cuadrados de otros enteros); otros números no tienen esta propiedad. Por lo tanto, debe haber más cuadrados perfectos y números ordinarios juntos que solo cuadrados perfectos. Segundo juicio: para cada número natural existe su cuadrado exacto, y viceversa - para cada cuadrado exacto existe una raíz cuadrada entera , por lo tanto debe existir el mismo número de cuadrados exactos y de números naturales. Este es uno de los primeros ejemplos, aunque no el primero, del uso de la noción de mapeo uno a uno.en el contexto de conjuntos infinitos.
Galileo concluyó que es posible juzgar el mismo número de elementos solo para conjuntos finitos . En el siglo XIX , Georg Cantor , utilizando su teoría de conjuntos, demostró que era posible introducir un "número de elementos" para conjuntos infinitos: la llamada cardinalidad de un conjunto . Al mismo tiempo, coincidieron las cardinalidades del conjunto de los números naturales y el conjunto de los cuadrados exactos (el segundo razonamiento de Galileo resultó ser correcto). La paradoja de Galileo entró en conflicto con el axioma de Euclides , que establece que el todo es mayor que cualquiera de sus propias partes (por parte propia se entiende una parte que no coincide con el todo) [1] . Es notable hasta qué punto Galileo se anticipó al trabajo posterior en el campo de los números infinitos. Demostró que el número de puntos en un segmento corto de una línea recta es igual al número de puntos en un segmento más grande, pero, por supuesto, no conocía la prueba de Cantor de que su cardinalidad es mayor que la cardinalidad del conjunto de números enteros Galileo tenía tareas más urgentes. Se ocupó de las contradicciones en las paradojas de Zeno con el fin de despejar el camino para su teoría matemática del movimiento [2] .
| Galileo Galilei | ||
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