Paradoja de cantor
La paradoja de Cantor es una paradoja de la teoría de conjuntos , que demuestra que la suposición de la existencia de un conjunto de todos los conjuntos conduce a contradicciones y, por lo tanto, una teoría en la que es posible la construcción de tal conjunto es inconsistente.
Redacción
Suponga que existe el conjunto de todos los conjuntos . En este caso, es cierto que todo conjunto es un subconjunto de . Pero de esto se sigue que la cardinalidad de cualquier conjunto no excede la cardinalidad de .
Pero en virtud del axioma del conjunto de todos los subconjuntos, pues , así como todo conjunto, existe un conjunto de todos los subconjuntos , y por el teorema de Cantor , que contradice el enunciado anterior. Por lo tanto, no puede existir, lo que entra en conflicto con la hipótesis "ingenua" de que cualquier condición lógica sintácticamente correcta define un conjunto, es decir, para cualquier fórmula que no contenga libre.
Otra redacción
No hay número cardinal máximo . En efecto: que exista y sea igual a . Luego por el teorema de Cantor .
Conclusiones
Esta paradoja, descubierta por Cantor alrededor de 1899 , reveló la necesidad de revisar la "teoría de conjuntos ingenua" ( la paradoja de Russell se descubrió algo más tarde, alrededor de 1901 ) y estimuló el desarrollo de una axiomática rigurosa de la teoría de conjuntos . El esquema de axiomas fue rechazado por contradictorio; en su lugar, se desarrolló un sistema de restricciones sobre el tipo de condición dada por la fórmula .