Teorema de cantor

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El teorema de Cantor es un enunciado clásico en la teoría de conjuntos . Probado por Georg Cantor en 1891. Afirma que cualquier conjunto es menos poderoso que el conjunto de todos sus subconjuntos . $A$ $2^A$

Prueba

Supongamos que hay un conjunto igual al conjunto de todos sus subconjuntos , es decir, que existe tal biyección que asigna a cada elemento del conjunto algún subconjunto del conjunto . $A$ $2^A$ $F$ $A$ $A$

Considere el conjunto que consta de todos los elementos que no pertenecen a sus imágenes bajo el mapeo [1] : $B$ $A$ $F$

{\displaystyle B=\left\{\,x\in A:x\not \in f(x)\,\right\))

La aplicación es biyectiva y , por lo tanto, existe tal que . $F$ $B\subconjunto A$ ${\ estilo de visualización y \ en A}$ ${\ estilo de visualización f (y) = B}$

Ahora vamos a ver si . Si , entonces , y luego, por definición , . Y viceversa, si , entonces , y por lo tanto, . En cualquier caso, obtenemos una contradicción. $y$ $B$ ${\ estilo de visualización y \ en B}$ ${\ estilo de visualización y \ en f (y)}$ $B$ ${\ estilo de visualización y \ no \ en B}$ ${\ estilo de visualización y \ no \ en B}$ ${\ estilo de visualización y \ no \ en f (y)}$ ${\ estilo de visualización y \ en B}$

Por lo tanto, la suposición original es falsa y no equipotente . Por lo tanto, se prueba el rigor de la desigualdad. $A$ $2^A$

Para determinar el signo de la desigualdad, construimos una aplicación sobreyectiva g : → que asocia cada subconjunto formado por un solo elemento con este mismo elemento de . Los conjuntos (compuestos por más de un elemento) se dejan en B. De esto se puede concluir que . $2^A$ $A$ $2^A$ $A$ $2^A$ $|2^{A}|>|A|$

Notas

↑ Existe por el axioma de selección , el valor es un subconjunto de A.

Enlaces

R. Courant, G. Robbins ¿Qué son las matemáticas? Capítulo II, § 4, págs. 111-122.

Véase también

diccionarios y enciclopedias	Gran catalán gran ruso lituano universal Britannica (en línea)