Función periódica

Una función periódica es una función que repite sus valores en algún intervalo regular del argumento, es decir, no cambia su valor cuando se agrega al argumento algún número fijo distinto de cero ( el período de la función) sobre el todo el dominio de definición.

Más formalmente, una función se llama periódica con un período si para cada punto de su dominio de definición, los puntos y también pertenecen a su dominio de definición, y la igualdad es verdadera para ellos . $T\neq 0$ $X$ ${\ estilo de visualización x + T}$ ${\ estilo de visualización xT}$ ${\ estilo de visualización f (x) = f (x + T) = f (xT)}$

Según la definición, la igualdad también es cierta para una función periódica , donde es cualquier número entero. ${\ estilo de visualización f (x) = f (x + nT)}$ $norte$

Todas las funciones trigonométricas son periódicas.

Formal definición

Sea un grupo abeliano (generalmente se supone - números reales con la operación de suma o - números complejos ). Una función (donde es un conjunto arbitrario de sus valores) se llama periódica con un período si $METRO$ $M=(\mathbb {R} ,+)$ ${\ estilo de visualización (\ matemáticas {C}, +)}$ ${\ estilo de visualización f: M \ a N}$ $norte$ $T\no=0$

f(x+T)=f(x),\quad \forall x\in M

Si esta igualdad no se cumple para ninguna , entonces la función se llama aperiódica . $T\en M,\,T\no =0$ $F$

Si para una función hay dos periodos , la razón de los cuales no es igual a un número real , es decir , entonces se llama función doblemente periódica . En este caso, los valores en todo el plano están determinados por los valores en el paralelogramo atravesado por . $f:\mathbb {C} \a N$ $T_{1},T_{2}\not =0$ ${\frac {T_{1}}{T_{2}}}\no \en \mathbb {R}$ $F$ $F$ ${\ estilo de visualización T_{1},T_{2}}$

Nota

El período de la función se define de forma ambigua. En particular, si es un período, entonces cualquier elemento de la forma (o , si la operación de multiplicación está definida en el dominio de la función), donde es un número natural arbitrario , también es un período. $T$ $T'$ $T'=\soporte {T+\cdots +T} _{n}$ $T'=nT$ $n\en \mathbb {N}$

El conjunto de todos los periodos de una función forma un grupo aditivo .

Sin embargo, si el conjunto de períodos tiene el valor más pequeño, entonces se le llama el período principal (o principal) de la función. ${\displaystyle \{T,T>0,T\en \mathbb {R} \))$

Ejemplos

Las funciones reales seno y coseno son periódicas con un período principal desde $2\pi$

\sin(x+2\pi )=\sin x,\;\cos(x+2\pi )=\cos x,\quad \forall x\in \mathbb {R} .

Las funciones tangente y cotangente son periódicas con un período principal . $\Pi$

La función definida en números enteros es periódica con el período principal . ${\ estilo de visualización f (x) = (-1) ^ {x}}$ $2$

Una función igual a una constante es periódica, y cualquier número distinto de cero es su período. La función no tiene punto principal. $f(x)=\mathrm {const}$

La función de Dirichlet es periódica; su período es cualquier número racional distinto de cero. Tampoco tiene un período principal.

La función es aperiódica. $f(x)=x^{2},\;x\en \mathbb {R}$

Algunas características de las funciones periódicas

La suma de dos funciones con períodos comparables y no siempre es una función con un período principal igual al mínimo común múltiplo y (sin embargo, este número será simplemente un período). Por ejemplo, el período principal de la función es , el período de la función es y su suma obviamente tiene el período principal . $T_{1}$ $T_{2}$ $T_{1}$ $T_{2}$ $f(x)=\sin(2x)-\sin(3x)$ $2\pi$ $g(x)=\sin(3x)$ $2\pi /3$ ${\ estilo de visualización f (x) + g (x) = \ pecado (2x)}$ $\Pi$

La suma de dos funciones con periodos inconmensurables no siempre es una función no periódica.

Hay funciones periódicas que no son iguales a una constante cuyos periodos son números inconmensurables. Por ejemplo, para una función que toma los valores 1 para la x algebraica y 0 en los demás casos, cualquier número algebraico es un período, y entre los números algebraicos también los hay inconmensurables. $f(x)$

Véase también

Función cuasi-periódica

Enlaces

Función periódica (Gran Enciclopedia Soviética)