Funciones trigonométricas

Las funciones trigonométricas  son funciones elementales [1] , que históricamente surgieron al considerar triángulos rectángulos y expresaron la dependencia de las longitudes de los lados de estos triángulos de los ángulos agudos en la hipotenusa (o, de manera equivalente, la dependencia de las cuerdas y las alturas del ángulo central del arco en un círculo ). Estas funciones han encontrado una amplia aplicación en varios campos de la ciencia. A medida que se desarrollaron las matemáticas, se amplió la definición de funciones trigonométricas, en el sentido moderno, su argumento puede ser un número real o complejo arbitrario .

La rama de las matemáticas que estudia las propiedades de las funciones trigonométricas se llama trigonometría .

Las funciones trigonométricas se conocen tradicionalmente como:

funciones trigonométricas directas: funciones trigonométricas derivadas: funciones trigonométricas inversas :

En la tipografía de la literatura en diferentes idiomas, la abreviatura de las funciones trigonométricas es diferente, por ejemplo, en la literatura inglesa, la tangente, la cotangente y la cosecante se denotan por , , . Antes de la Segunda Guerra Mundial, en Alemania y Francia, estas funciones se denotaban de la misma manera que es habitual en los textos en idioma ruso [2] , pero luego en la literatura en los idiomas de estos países, la versión en inglés de Se adoptó el registro de funciones trigonométricas.

Además de estas seis funciones trigonométricas bien conocidas, algunas funciones trigonométricas raramente usadas ( versinus , etc.) a veces se usan en la literatura.

El seno y el coseno de un argumento real son funciones de valor real periódicas, continuas e infinitamente diferenciables . Las cuatro funciones restantes sobre el eje real también son de valor real, periódicas e infinitamente diferenciables, con la excepción de un número contable de discontinuidades del segundo tipo : para la tangente y la secante en los puntos , y para la cotangente y la cosecante, en los puntos . Los gráficos de funciones trigonométricas se muestran en la fig. 1 .

Maneras de determinar

Definición de esquinas afiladas

En geometría, las funciones trigonométricas de un ángulo agudo están determinadas por las proporciones de los lados de un triángulo rectángulo [3] . Sea  - rectangular, con un ángulo agudo y una hipotenusa . Después:

Esta definición tiene alguna ventaja metodológica, ya que no requiere la introducción del concepto de sistema de coordenadas, pero también un inconveniente tan importante que es imposible determinar funciones trigonométricas incluso para ángulos obtusos, que deben conocerse al resolver problemas elementales sobre triángulos obtusos. (Ver: teorema del seno , teorema del coseno ).

Definición para cualquier ángulo

Por lo general, las funciones trigonométricas se definen geométricamente [4] . En el sistema de coordenadas cartesianas sobre el plano, construimos una circunferencia de radio unidad ( ) con centro en el origen de coordenadas . Consideraremos cualquier ángulo como una rotación desde la dirección positiva del eje de abscisas a un rayo determinado (elegimos un punto en el círculo), mientras que la dirección de rotación se considera positiva en el sentido contrario a las agujas del reloj y negativa en el sentido de las agujas del reloj. Denotamos la abscisa del punto y la ordenada - (ver figura 2 ).

Definimos las funciones de la siguiente manera:

Es fácil ver que tal definición también se basa en las relaciones de un triángulo rectángulo, con la diferencia de que se tiene en cuenta el signo ( ). Por lo tanto, las funciones trigonométricas también se pueden definir en un círculo de radio arbitrario , pero las fórmulas deberán normalizarse. La figura 3 muestra los valores de las funciones trigonométricas para el círculo unitario .

En trigonometría resulta conveniente contar los ángulos no en grados, sino en radianes . Entonces, el ángulo en se escribirá como la longitud de un círculo unitario . El ángulo en es igual, respectivamente, y así sucesivamente. Tenga en cuenta que el ángulo que difiere de en la figura es equivalente a , por lo que concluimos que las funciones trigonométricas son periódicas.

Finalmente, definimos las funciones trigonométricas de un número real como funciones trigonométricas de un ángulo cuya medida en radianes es .

Definición como soluciones de ecuaciones diferenciales

El seno y el coseno se pueden definir como las únicas funciones cuyas segundas derivadas son iguales a las propias funciones, tomadas con signo menos:

Es decir, configúrelos como soluciones pares (coseno) e impares (seno) de la ecuación diferencial

con condiciones adicionales: para coseno y para seno.

Definición como soluciones de ecuaciones funcionales

Las funciones coseno y seno se pueden definir [5] como soluciones ( y, respectivamente) del sistema de ecuaciones funcionales :

bajo condiciones adicionales:

y en .

Definición en términos de serie

Usando la geometría y las propiedades de los límites, se puede demostrar que la derivada del seno es igual al coseno y que la derivada del coseno es igual a menos el seno. Luego puedes usar la teoría de las series de Taylor y representar el seno y el coseno como series de potencias:

Usando estas fórmulas, así como igualdades y uno puede encontrar desarrollos en serie de otras funciones trigonométricas:

dónde

 son los números de Bernoulli ,  son los números de Euler .

Valores de funciones trigonométricas para algunos ángulos

Los valores de seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante para algunos ángulos se dan en la tabla. (" " significa que la función en el punto especificado no está definida y tiende a infinito en su vecindad ).

radianes
grados

Valores de funciones trigonométricas de ángulos no estándar

radianes
grados


radianes
grados


Valores de funciones trigonométricas para algunos otros ángulos

Propiedades de las funciones trigonométricas

Las identidades más simples

Dado que el seno y el coseno son, respectivamente, la ordenada y la abscisa del punto correspondiente al ángulo α en el círculo unitario , entonces, según la ecuación del círculo unitario ( ) o el teorema de Pitágoras , tenemos:

Esta relación se llama identidad trigonométrica básica .

Dividiendo esta ecuación por el cuadrado del coseno y el seno, respectivamente, obtenemos:

De la definición de tangente y cotangente se sigue que

Cualquier función trigonométrica se puede expresar en términos de cualquier otra función trigonométrica con el mismo argumento (hasta un signo debido a la ambigüedad de la expansión de la raíz cuadrada). Las siguientes fórmulas son correctas para :

  pecado porque tg ctg segundo causa

Continuidad

Paridad

El coseno y la secante son pares . Las cuatro funciones restantes son impares , es decir:

Periodicidad

Las funciones  son periódicas con periodo , las funciones y  son con periodo .

Fórmulas de fundición

Las fórmulas de reducción se denominan fórmulas de la siguiente forma:

Aquí  - cualquier función trigonométrica,  - su cofunción correspondiente (es decir, coseno por seno, seno por coseno, tangente por cotangente, cotangente por tangente, secante por cosecante y cosecante por secante),  - un número entero . La función resultante va precedida del signo que tiene la función original en un determinado cuarto de coordenadas, siempre que el ángulo sea agudo, por ejemplo:

o lo que es lo mismo:

Algunas fórmulas de fundición:

Las fórmulas de reducción de interés también se pueden obtener fácilmente considerando funciones en el círculo unitario.

Fórmulas de suma y resta

Los valores de las funciones trigonométricas de la suma y diferencia de dos ángulos:

Fórmulas similares para la suma de tres ángulos:

Fórmulas para múltiples ángulos

Fórmulas de doble ángulo:

Fórmulas de triple ángulo:

Otras fórmulas para múltiples ángulos:

se sigue de la fórmula del complemento y de la fórmula de Gauss para la función gamma .

A partir de la fórmula de De Moivre , se pueden obtener las siguientes expresiones generales para múltiples ángulos:

donde  es la parte entera del número ,  es el coeficiente binomial .

Fórmulas de medio ángulo:

Obras

Fórmulas para productos de funciones de dos ángulos:

Fórmulas similares para los productos de senos y cosenos de tres ángulos:

Las fórmulas para los productos de tangentes y cotangentes de tres ángulos se pueden obtener dividiendo las partes derecha e izquierda de las igualdades correspondientes presentadas anteriormente.

Grados

Cantidades

Hay una vista:

donde el ángulo se encuentra a partir de las relaciones:

Sustitución trigonométrica universal

Todas las funciones trigonométricas se pueden expresar en términos de la tangente de un medio ángulo:


Investigación de funciones en análisis matemático

Descomposición en infinitos productos

Las funciones trigonométricas se pueden representar como un producto infinito de polinomios:

Estas relaciones se mantienen para cualquier valor de .

Fracciones continuas

Desarrollando la tangente en una fracción continua :

Derivadas y antiderivadas

Todas las funciones trigonométricas son continua e indefinidamente diferenciables en todo el dominio de definición:

Las integrales de funciones trigonométricas en el dominio de definición se expresan en términos de funciones elementales como sigue [6] :


Funciones trigonométricas de argumento complejo

Definición

Fórmula de Euler :

La fórmula de Euler permite definir funciones trigonométricas de argumentos complejos en términos del exponente , por analogía con funciones hiperbólicas , o (usando series ) como una continuación analítica de sus contrapartes reales:

dónde


En consecuencia, para x real :

El seno y el coseno complejos están estrechamente relacionados con las funciones hiperbólicas :

La mayoría de las propiedades anteriores de las funciones trigonométricas también se conservan en el caso complejo. Algunas propiedades adicionales:

Gráficos complejos

Los siguientes gráficos muestran el plano complejo y los valores de las características resaltados en color. El brillo refleja el valor absoluto (el negro es cero). El color cambia según el argumento y el ángulo según el mapa .

Funciones trigonométricas en el plano complejo

Historia de los nombres

La línea sinusoidal (línea en la Fig. 2 ) fue originalmente llamada por los matemáticos indios "arha-jiva" ("media cuerda", es decir, la mitad de la cuerda de este arco, ya que un arco con una cuerda se asemeja a un arco con un cuerda de arco ). Luego se eliminó la palabra "arha" y la línea sinusoidal se llamó simplemente "jiva". Los matemáticos árabes, al traducir libros indios del sánscrito , no tradujeron la palabra "jiva" con la palabra árabe "vatar", que denota cuerda de arco y cuerda, sino que la transcribieron en letras árabes y comenzaron a llamar a la línea sinusoidal "jiba" ( جيب ‎) . Dado que las vocales cortas no se indican en árabe , y la "y" larga en la palabra "jiba" se indica de la misma manera que la semivocal "y", los árabes comenzaron a pronunciar el nombre de la línea sinusal como "jib", que literalmente significa “depresión”, “seno”. Al traducir obras árabes al latín , los traductores europeos tradujeron la palabra "jaib" con la palabra latina sinus  - " sinus ", que tiene el mismo significado (es en este significado que se usa como término anatómico sinusal ). El término " coseno " ( lat. cosinus ) es una abreviatura de lat. seno complementario  - seno adicional .   

Abreviaturas modernas introducidas por William Oughtred y Bonaventura Cavalieri y consagradas en los escritos de Leonhard Euler .

Los términos " tangente " ( lat.  tangens  - tocar) y " sekans " ( lat.  secans  - secante) fueron introducidos por el matemático danés Thomas Fincke en su libro Geometry of the Round (Geometria rotundi, 1583).

El término funciones trigonométricas fue introducido por Klugel en 1770 .

Más tarde, también se introdujeron los términos para funciones trigonométricas inversas  : arcoseno , arcocoseno , arcotangente , arcocotangente , arcosecante , arcocosecante ,  agregando el prefijo " arco " (del latín  arcus  - arco), - J. Lagrange y otros.

Véase también

Literatura

Enlaces

Notas

  1. Manual: Korn G., Korn T. Manual de Matemáticas (para científicos e ingenieros) . - M. : Nauka, 1973. - 720 p. Una copia de archivo del 19 de enero de 2015 en Wayback Machine los enumera como características especiales .
  2. Signo matemático. // Gran enciclopedia soviética . 1ra ed. T. 27. - M., 1933.
  3. Manual de matemáticas elementales, 1978 , p. 271-272.
  4. Manual de matemáticas elementales, 1978 , p. 282-284.
  5. Ilyin V. A. , Poznyak E. G. Fundamentos del análisis matemático. Parte 1. - M. : Nauka , 1998. - ISBN 5-02-015231-5 .
  6. En fórmulas que contienen un logaritmo en el lado derecho de las igualdades, las constantes de integración son , en general, diferentes para diferentes intervalos de continuidad.