Submódulo

Un submódulo es un subconjunto de un módulo que es un subgrupo de su grupo aditivo y se cierra bajo la multiplicación por elementos del anillo principal . En particular, el ideal izquierdo (derecho) de un anillo es un submódulo del módulo izquierdo (derecho ) .

Definiciones relacionadas

• Un submódulo que es diferente del módulo completo se denomina módulo nativo .
• Un submódulo se llama grande (o esencial ) si tiene una intersección distinta de cero con cualquier otro submódulo distinto de cero.
  • Por ejemplo, los números enteros forman un gran submódulo del grupo de los números racionales.
• Cada módulo es un gran submódulo de su shell inyectivo .
• Un submódulo de un módulo se llama pequeño (o coesencial ) si para cualquier submódulo la igualdad implica .
  • Por ejemplo, cada submódulo propio del módulo de la cadena resulta ser pequeño .

Propiedades

• El conjunto de submódulos de un módulo dado, ordenados por inclusión, es una red de Dedekind completa .
• La suma de todos los submódulos pequeños es igual a la intersección de todos los submódulos máximos.
• Un ideal izquierdo pertenece al radical de Jacobson si y sólo si es pequeño para cualquier módulo izquierdo generado finitamente .
• Los elementos de un submódulo pequeño no son generadores, es decir, cualquier sistema de generadores del módulo permanece como tal después de la eliminación de cualquiera de estos elementos (¡esto, por supuesto, no significa que se puedan eliminar todos a la vez!) .
• El radical de Jacobson del anillo de endomorfismos de un módulo coincide con el conjunto de endomorfismos que tienen una imagen pequeña.
• Si es un homomorfismo de un módulo en un módulo , entonces el conjunto resulta ser un submódulo del módulo y se llama núcleo del homomorfismo .
      
  
  • Cada submódulo sirve como núcleo de algún homomorfismo.

Literatura

• Kash F. Módulos y anillos, - per. del alemán, M. , 1981;
• Cara K. Álgebra: anillos, módulos y categorías, - per. del inglés, vol.1-2, Moscú , 1977-79.