Endomorfismo

El endomorfismo es un morfismo de un objeto de categoría en sí mismo; en el contexto del álgebra universal , es un homomorfismo que mapea un sistema algebraico en sí mismo.

En cualquier categoría , la composición de dos endomorfismos también es un endomorfismo, la composición es asociativa y hay un endomorfismo idéntico. De ello se deduce que todos los endomorfismos de un objeto forman un monoide , que se denota (o para enfatizar la categoría ). $X$ $X$ $\nombre del operador {Fin}(X)$ $\nombre del operador {Fin}_{C}(X)$ $C$

Un endomorfismo reversible (que tiene las propiedades de un isomorfismo ) se llama automorfismo . El conjunto de automorfismos es un subconjunto con una estructura de grupo natural y se denota por . $\nombre del operador {Fin}(X)$ $\nombre del operador {Aut}(X)$

Se pueden sumar dos endomorfismos cualesquiera de un grupo abeliano de acuerdo con la regla . Con la adición definida de esta manera, los endomorfismos de cualquier grupo abeliano forman un anillo llamado anillo de endomorfismos . Por ejemplo, los endomorfismos de un grupo abeliano libre son el anillo de todas las matrices con coeficientes enteros. Los endomorfismos de un espacio vectorial o módulo también forman un anillo, al igual que los endomorfismos de cualquier objeto de una categoría preaditiva . Los endomorfismos de un monoide conmutativo forman un semianillo , mientras que los endomorfismos de un grupo no conmutativo forman una estructura conocida como anillo cercano . $(f+g)(a)=f(a)+g(a)$ ${\matemáticas Z}^{n}$ $n\veces n$

Literatura

Nathan Jacobson . Álgebra básica (indefinida) . — 2do. - Dover, 2009. - Vol. 1. - ISBN 978-0-486-47189-1 .
McLane S. Categorías para el matemático que trabaja / Per. De inglés. edición V. A. Artamonova. - M. : Fizmatlit, 2004. - 352 p. — ISBN 5-9221-0400-4 .