Semejanza
La semejanza es una transformación del espacio euclidiano , en la que para dos puntos cualesquiera , y sus imágenes , existe una relación , para algunos fija , denominada coeficiente de semejanza .
El concepto de similitud se define de manera similar para espacios métricos, para espacios riemannianos (ver sección Generalizaciones ).
Historia
Se consideraron figuras similares en la antigua Grecia en los siglos V-IV a. C.; aparecen en los escritos de Hipócrates de Quíos , Arquitas de Tarento , Eudoxo de Cnido y en el Libro VI de los Elementos de Euclides .
Casos especiales
- Una homotecia es una similitud que tiene un punto fijo y conserva la orientación .
- Un movimiento es una transformación de semejanza con un coeficiente, es decir, una transformación del plano que conserva las distancias.
Definiciones relacionadas
- Una figura se llama similar a una figura si existe una transformación de similitud para la cual .
- La semejanza de figuras es una relación de equivalencia .
- Para indicar similitud, generalmente se usa un ícono , lo que significa que las figuras y son similares.
Método de similitud
La semejanza de figuras se aplica a la solución de muchos problemas de construcción .
El método de la similitud consiste en que, utilizando algunos datos del problema, primero construyen una figura similar a la deseada, y luego pasan a la deseada. Este método es especialmente conveniente cuando solo una cantidad dada es la longitud y todas las demás cantidades son ángulos o proporciones de líneas.
Un ejemplo clásico de un problema de semejanza es la construcción de un círculo tangente a dos lados de un ángulo dado y que pasa por un punto dado. [una]
Propiedades
- La similitud es un mapeo uno a uno de un espacio euclidiano sobre sí mismo.
- La semejanza es una transformación afín del plano.
- La similitud conserva el orden de los puntos en la línea, es decir, si un punto se encuentra entre los puntos , y , , - sus imágenes correspondientes con alguna similitud, entonces también se encuentra entre los puntos y .
- Los puntos que no se encuentran en una línea recta, con alguna similitud, van a los puntos que no se encuentran en una línea recta.
- La semejanza convierte una línea en una línea, un segmento de línea en un segmento de línea, un rayo en un rayo, un ángulo en un ángulo, un círculo en un círculo.
- La similitud conserva los ángulos entre las curvas.
- Una semejanza con coeficiente , que transforma cada recta en una recta paralela a ella, es una homotecia con coeficiente o .
- Cada similitud puede ser considerada como una composición de movimiento y alguna homotecia con coeficiente positivo.
- Una semejanza se llama propia ( impropia ) si el movimiento es propio (impropio). La similitud adecuada conserva la orientación de las figuras, mientras que la similitud impropia invierte la orientación.
- Dos triángulos en geometría euclidiana son semejantes si
- sus ángulos respectivos son iguales, o
- los lados son proporcionales. Ver también Signos de semejanza de triángulos .
- Las áreas de figuras similares son proporcionales a los cuadrados de sus líneas similares (por ejemplo, lados). Así, las áreas de los círculos son proporcionales a la razón de los cuadrados de sus radios.
Generalizaciones
La similitud se define de manera similar (manteniendo las propiedades anteriores) en el espacio euclidiano tridimensional, así como en los espacios euclidiano y pseudoeuclidiano de n dimensión .
En los espacios métricos , así como en los espacios indimensionales de Riemann , pseudo-Riemann y Finsler , la similitud se define como una transformación que toma la métrica de un espacio en sí misma hasta un factor constante.
El conjunto de todas las similitudes de un espacio n-dimensional euclidiano, pseudo-euclidiano, riemanniano, pseudo-riemanniano o de Finsler constituye el grupo de transformaciones de Lie de dos miembros , denominado grupo de transformaciones similares (homotéticas) del espacio correspondiente. En cada uno de los espacios de estos tipos, el grupo -término de transformaciones de Lie similares contiene un subgrupo de movimientos normales -término .
Véase también
Notas
- ↑ AP Kiselev . Geometría elemental / editado por N. A. Glagolev . — 1938.
Enlaces
- Igualdad y semejanza de figuras geométricas .
- Grave D. A. Figuras homotéticas // Diccionario enciclopédico de Brockhaus y Efron : en 86 volúmenes (82 volúmenes y 4 adicionales). - San Petersburgo. , 1890-1907.
- Similitud // Enciclopedia matemática : [en 5 volúmenes] / Cap. edición I. M. Vinogradov . - M. : Enciclopedia soviética, 1984. - T. 4: Ok - Slo. - S. 373. - 1216 stb. : enfermo. — 150.000 copias.
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