Descomposición polar

La descomposición polar es una representación de una matriz cuadrada como producto de matrices hermitianas y unitarias . Es un análogo de la descomposición de cualquier número complejo en la forma . $A$ $S$ $tu$ $A=SU$ ${\ Displaystyle z = | z | e ^ {i \ varphi}}$

Propiedades

Cualquier matriz cuadrada sobre (sobre ) se puede representar como , donde es una matriz definida no negativa simétrica (hermítica) , es una matriz ortogonal (unitaria). Si la matriz no es degenerada , entonces dicha representación es única [1] . $A$ $\matemáticas {R}$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {C}}$ $A=SU$ $S$ $tu$ $A$
Cualquier matriz se puede representar como , donde y son matrices unitarias, es una matriz diagonal [1] . $A$ $A=UDW$ $tu$ $W$ $D$
Si son expansiones polares de una matriz no degenerada , entonces [1] . $A=S_{{1}}U_{{1}}=S_{{2}}U_{{2}}$ $A$ $U_{{1}}=U_{{2}}$

Existencia

Probemos que cualquier matriz cuadrada sobre puede representarse como el producto de una matriz definida no negativa simétrica y una matriz ortogonal . $A$ $\matemáticas {R}$

Como , la matriz es simétrica. Hay [2] una base, que se puede denotar por , que consta de vectores propios ortonormales de la matriz , dispuestos en orden descendente de valores propios. ${\left(A^{T}A\right)}^{T}=A^{T}A$ $A^TA$ $\vec{e}$ $A^TA$

Dado que , entonces para cualquier vector y base , . Esto significa que la imagen de la base con respecto a la transformación es ortogonal (se conservan los ángulos entre los vectores de la base, pero no sus longitudes). Durante la transformación, los vectores base se transforman en vectores . $(A^T(x), y) = (x, A(y))$ $e_{yo}$ $e_j$ $mi$ $\lambda_i (\vec{e_i}, \vec{e_j})=(A^TA(\vec{e_i}), \vec{e_j})=(A(\vec{e_i}), A(\vec{ e_j}))$ $\vec{e}$ $A$ $A$ $\vec{e_i}$ $mi$ $\sqrt{\lambda_i} \vec{e_k}$

Los valores singulares de una matriz son las raíces cuadradas de los valores propios de la matriz . $A$ $\sqrt{\lambda_i}$ $A^TA$

Por lo tanto, es obvio que . Dado que en la base considerada los vectores están dispuestos en orden descendente de sus valores propios, existe un número tal que . $\lambda_i \ge 0$ $r$ $\forall i \le r \rightarrow \lambda_i > 0$

Sea un sistema de vectores en , suplementado a una base ortonormal arbitrariamente. Sea la matriz de transición de base a base . Como ambas bases son ortonormales, la matriz es ortogonal. Dado que existe una base ortonormal de vectores propios de la matriz . Esto significa que la matriz en la base tiene forma diagonal y, por lo tanto, es simétrica en una base ortonormal arbitraria. $F$ $\vec{f_i} = {{\vec{A(e_i)}} \over {\sqrt{\lambda_i}}}$ $yo < r$ $q$ $mi$ $F$ $q$ $Q^{-1} A(e_i) = Q^{-1} \left( \sqrt{\lambda_i} f_i\right)=\sqrt{\lambda_i} e_i$ $P^{-1} A$ $P^{-1} A$ $\vec{e}$

Entonces, donde la matriz es ortogonal y la matriz es simétrica. $A=QQ^{-1}A=Q(Q^{-1}A)$ $q$ $P^{-1} A$

Notas

↑ 1 2 3 Problemas y teoremas de álgebra lineal, 1996 , p. 224.
↑ valores propios de una matriz simétrica

Literatura

Prasolov VV Problemas y teoremas de álgebra lineal. — M .: Nauka, 1996. — 304 p. - ISBN 5-02-014727-3 .