Matriz simétrica

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Symmetric (Symmetric) se llama matriz cuadrada , cuyos elementos son simétricos con respecto a la diagonal principal . Más formalmente, una matriz se llama simétrica si . $A$ $\forall i,j:a_{{ij}}=a_{{ji}}$

Esto significa que es igual a su matriz transpuesta :

A=A^{T}

Ejemplos

{\begin{pmatrix}a&b&c\\b&d&e\\c&e&f\end{pmatrix)),{\begin{pmatrix}1&3&0\\3&2&6\\0&6&5\end{pmatrix)),{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0 \\0&0&1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1&5\\5&7\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2\end{pmatrix}}

Propiedades

Una matriz simétrica es siempre cuadrada .

Para cualquier matriz A simétrica con elementos reales , se cumple lo siguiente:

tiene valores propios reales
sus vectores propios correspondientes a diferentes valores propios son ortogonales entre sí:

Av=\lambda_{1}v,\ Aw=\lambda_{2}w,\ \lambda_{1}\neq \lambda_{2}\implica v^{T}w=0

sus vectores propios siempre pueden formar una base ortonormal
la matriz A se puede reducir a una forma diagonal: , donde es una matriz ortogonal , cuyas columnas contienen una base ortonormal de vectores propios, y D es una matriz diagonal con valores propios de la matriz A en la diagonal. $A=QDQ^{{T}}$ $q$
Si una matriz simétrica A tiene un solo valor propio , entonces tiene una forma diagonal: , donde es la matriz identidad , en cualquier base. $\lambda$ $A = \ lambda E$ $mi$
Para una matriz simétrica, toda matriz congruente también es simétrica, es decir

${\textstyle A=A^{\mathrm {T} }\quad \Longrightarrow \quad X^{\mathrm {T} }AX=(X^{\mathrm {T} }AX)^{\mathrm {T} }.}$

Matrices definidas positivas (negativas)

Se dice que una matriz simétrica de dimensión es definida positiva si la condición para una matriz definida negativa, no positiva y no negativa se formula de manera similar con un cambio correspondiente en el signo de desigualdad. Para aclarar la naturaleza de la certeza de la matriz, se puede utilizar el criterio de Sylvester . $A$ $k\veces k$ ${\displaystyle \forall z\in \mathbb {R} ^{k}\setminus \{\mathbf {0} \))$ $z^{T}Az>0.$

Véase también

Literatura

Bellman R. Introducción a la teoría de matrices . — M .: Mir, 1969 (djvu).
Gantmakher F. R. Teoría de la matriz. - 5ª ed. - M. : Fizmatlit, 2004. - 560 p. - ISBN 5-9221-0524-8 .; (2ª ed.). — M. : Nauka, 1966 (djvu) .
Golub J. (Gene H. Golub), Van Lone Ch. (Charles F. Van Loan) Cálculos matriciales. — M .: Mir, 1999. — 548 p. — ISBN 5-03-002406-9
Kurosh A. G. Curso de álgebra superior. - 9ª ed. - M. : Nauka, 1968. - 432 p.

Vectores y matrices

Vectores

Conceptos básicos	Vector en geometría Base base ortogonal Coordenadas vectoriales colinealidad ortogonalidad Dependencia lineal Espacio de columna
Tipos de vectores	Vector unitario vector axial vector isotrópico Normal colinealidad vector cero Vector de radio Vector propio
Operaciones sobre vectores	producto escalar producto vectorial producto mixto Producto pseudoescalar Producto cruzado doble
Tipos de espacio	espacio vectorial espacio afín espacio euclidiano Espacio pseudo-euclidiano espacio normado espacio minkowski

matrices

Conceptos básicos	Multiplicación de matrices matriz transpuesta Matriz conjugada hermítica Matriz simétrica matriz inversa valor propio Polinomio característico de una matriz
Matrices especiales	Matriz de identidad Matriz cero Matriz diagonal matriz lambda
Descomposiciones de matrices	descomposición LU Descomposición de Cholesky descomposición QR descomposición LUP valor singular de descomposición Descomposición espectral de una matriz

Otro