Secuencia de apelación

La sucesión de Appel es una sucesión de polinomios que satisfacen la identidad: ${\displaystyle \{p_{n}(x)\}_{n=0,1,2,\ldots))$

{\frac{d}{dx}}p_{n}(x)=np_{n-1}(x)

donde es una constante distinta de cero. $p_{0}(x)$

Nombrado por Paul Emil Appel . Entre las sucesiones de Appel más famosas, además del ejemplo trivial , se encuentran los polinomios de Hermite, los polinomios de Bernoulli y los polinomios de Euler . Cada secuencia de Appel es una secuencia de Schaeffer , pero en general, las secuencias de Schaeffer no son secuencias de Appel. Las sucesiones de Appel tienen una interpretación probabilística como sistemas de momentos . ${\ estilo de visualización \ {x^{n} \}}$

Definiciones equivalentes

Las siguientes condiciones sobre secuencias de polinomios son equivalentes a la definición de una secuencia de Appel:

para alguna secuencia de escalares con : ${\displaystyle \{c_{n}\}_{n=0}^{\infty))$ $c_{0}\neq 0$ $p_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}c_{k}x^{nk}$ ;
para la misma sucesión de escalares: $p_{n}(x)=\left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {c_{k}}{k!}}D^{k}\right)x ^{n}$ , donde ; $D={\frac{d}{dx))$
para : $n=0,1,2,\ldots$ $p_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}p_{k}(x)y^{nk}$ .

Asignación recursiva

Si un:

p_{n}(x)=\left(\sum _{k=0}^{\infty}{c_{k} \over k!}D^{k}\right)x^{n} =Sx^{n}

donde la última igualdad define un operador lineal en el espacio de polinomios en , y: $S$ $X$

T=S^{-1}=\left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {c_{k}}{k!}}D^{k}\right) ^{-1}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {a_{k}}{k!}}D^{k}

es el operador inverso, donde los coeficientes son los coeficientes de la serie de potencia formal inversa , de modo que: $Alaska}$

Tp_{n}(x)=x^{n}\,

(en la terminología del cálculo de sombras , a menudo se usa una serie de potencias formal en lugar de la propia secuencia de Appel ), entonces tenemos: $T$ $p_n$

\ln T=\ln \left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {a_{k}}{k!}}D^{k}\right)

utilizando la expansión habitual de la serie para el logaritmo y la definición habitual de la composición de la serie formal. De dónde viene: ${\ estilo de visualización \ ln (x)}$

p_{n+1}(x)=(x-(\ln T)')p_{n}(x)

(Esta diferenciación formal de una serie con respecto a un operador diferencial es un ejemplo de la derivada de Pinkerle ). $D$

En el caso de los polinomios de Hermite , esto se reduce a la fórmula recursiva habitual para esta secuencia.

Subgrupo de polinomios de Schaeffer

El conjunto de todas las sucesiones de Schaeffer se cierra bajo la composición de sombras de las sucesiones polinómicas, definida como sigue. Sean y sean secuencias polinómicas definidas como sigue: ${\displaystyle \{p_{n}(x)\colon n=0,1,2,\ldots\))$ ${\displaystyle \{q_{n}(x)\colon n=0,1,2,\ldots\))$

p_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{n,k}x^{k}{\text{ y }}q_{n}(x)=\ suma _{k=0}^{n}b_{n,k}x^{k}

Entonces la composición de la sombra es una sucesión de polinomios, cuyo enésimo término tiene la forma: $p\circ q$ $norte$

{\displaystyle (p_{n}\circ q)(x)=\sum_{k=0}^{n}a_{n,k}q_{k}(x)=\sum_{0\leqslant \ ell \leqslant k\leqslant n}a_{n,k}b_{k,\ell }x^{\ell ))

(el subíndice aparece en , ya que es el miembro th de esta secuencia, pero no en , ya que aquí se refiere a toda la secuencia, no a uno de sus miembros). $norte$ $p_n$ $norte$ $q$ $q$

Bajo tal operación, el conjunto de todas las secuencias de Schaeffer es un grupo no abeliano , pero el conjunto de todas las secuencias de Appel es un subgrupo abeliano . Su propiedad abeliana se deriva del hecho de que cada sucesión de Appel tiene la forma:

p_{n}(x)=\left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {c_{k}}{k!}}D^{k}\right)x ^{n}

y que el producto sombra de las sucesiones de Appel corresponde a la multiplicación de estas series de potencias formales por una variable operadora . $D$

Literatura

Apelar, Paul (1880). “Sobre una clase de polinomos” . Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure . Serie 2e. 9 :119-144.
Román, Steven; Rota, Gian-Carlo (1978). "El Cálculo Umbral". Avances en Matemáticas . 27 (2): 95-188. DOI : 10.1016/0001-8708(78)90087-7 ..
Rota, Gian-Carlo; Kahaner, D.; Odlyzko, Andrew (1973). Cálculo de operadores finitos. Revista de Análisis y Aplicaciones Matemáticas . 42 (3): 685-760. DOI : 10.1016/0022-247X(73)90172-8 .Reimpreso en el libro del mismo título, Academic Press, Nueva York, 1975.
Steve Román. El Cálculo Umbral. — Publicaciones de Dover .
Teodoro Seio Chihara. Una introducción a los polinomios ortogonales. - Gordon and Breach, Nueva York, 1978. - ISBN 978-0-677-04150-6 .

Enlaces

Secuencias de Appell - Artículo de la Enciclopedia de las Matemáticas . Yu. A. Kazmin
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