Polinomios de Bernoulli

Polinomios de Bernoulli : una secuencia de polinomios que surge en el estudio de muchas funciones especiales , en particular, la función ζ de Riemann y la función ζ de Hurwitz ; un caso especial de la secuencia de Appel . A diferencia de los polinomios ortogonales, los polinomios de Bernoulli se destacan porque el número de raíces en un intervalo no aumenta con el grado del polinomio. Con un aumento de grado ilimitado, los polinomios de Bernoulli se aproximan a las funciones trigonométricas . ${\ estilo de visualización \ [0,1]}$

El nombre de Jacob Bernoulli .

Definiciones

Los polinomios de Bernoulli se pueden definir de varias maneras según la conveniencia. ${\ estilo de visualización \ B_ {n} (x)}$

Asignación explícita:

{\displaystyle B_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}C_{n}^{k}B_{nk}x^{k))

,

donde son coeficientes binomiales , son números de Bernoulli , o: $C_{n}^{k}$ ${\ estilo de visualización \ B_ {k}}$

B_{n}(x)=\sum_{m=0}^{n}{\frac {1}{m+1}}\sum_{k=0}^{m}(-1 )^{k}C_{m}^{k}(x+k)^{n}.

La función generadora de los polinomios de Bernoulli es:

{\frac {te^{xt}}{e^{t}-1}}=\sum _{n=0}^{\infty}B_{n}(x){\frac {t^ {n}}{n!}}.

Uno puede representar los polinomios de Bernoulli por un operador diferencial:

B_{n}(x)={D \sobre e^{D}-1}x^{n}

, donde es el operador de diferenciación formal .

D

Los primeros polinomios de Bernoulli son:

B_{0}(x)=1,

B_{1}(x)=x-{\frac{1}{2)),

B_{2}(x)=x^{2}-x+{\frac {1}{6)),

B_{3}(x)=x^{3}-{\frac {3}{2}}x^{2}+{\frac {1}{2}}x,

B_{4}(x)=x^{4}-2x^{3}+x^{2}-{\frac {1}{30)),

B_{5}(x)=x^{5}-{\frac {5}{2}}x^{4}+{\frac {5}{3}}x^{3}-{ \frac{1}{6}}x,

B_{6}(x)=x^{6}-3x^{5}+{\frac {5}{2}}x^{4}-{\frac {1}{2}}x ^{2}+{\frac{1}{42}}.

Propiedades

Los valores iniciales de los polinomios de Bernoulli en son iguales a los números de Bernoulli correspondientes : $\x=0$

{\ estilo de visualización \ B_ {n} (0) = B_ {n))

.

La derivada de la función generadora:

te^{tx}{\frac {1}{e^{t}-1}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B'_{n}(x )}{n!}}t^{n}

.

El lado izquierdo difiere de la función generadora solo por el factor , por lo tanto: $\t$

\sum_{n=0}^{\infty} {\frac {B'_{n}(x)}{n!)}}t^{n}=\sum_{n=0} ^ {\infty }{\frac {B_{n}(x)}{n!}}t^{n+1}

.

Comparando los coeficientes a las mismas potencias : $\t$

{\frac {B'_{n}(x)}{n!}}={\frac {B_{n-1}(x)}{(n-1)!)}}

,

dónde:

{\ estilo de visualización \ B'_ {n} (x) = nB_ {n-1} (x)}

.

(Las funciones que satisfacen esta propiedad se denominan secuencia de Appel ).

De la última igualdad se sigue la regla de integración de los polinomios de Bernoulli:

{\ estilo de visualización \ B_ {n} (x) = B_ {n} + n \ int _ {0}^ {x} B_ {n-1} (t) \, dt}

.

La propiedad balance también es útil:

{\ estilo de visualización \ int _ {0}^ {1} B_ {n} (x) dx = 0}

(en )

n>0

Teorema de la multiplicación del argumento: si es un número natural arbitrario , entonces: $metro$

\sum_{n=0}^{\infty}B_{n}(mx){\frac {t^{n}}{n!)}}={\frac {te^{mxt}} { e^{t}-1))={\frac {1}{m}}e^{mxt}{\frac {mt(1+e^{t}+\cdots +e^{(m-1 ) t})}{e^{mt}-1}}={\frac {1}{m}}\sum _{s=0}^{m-1}{\frac {e^{\left( x+ {\frac {s}{m}}\right)mt}mt}{e^{mt}-1}}={\frac {1}{m}}\sum _{s=0}^{m - 1}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{n}\left(x+{\frac {s}{m}}\right)m^{n}}{n! } }t^{n}.

Las expansiones construidas implican el teorema de la multiplicación de argumentos:

B_{n}(mx)=m^{n-1}\sum _{s=0}^{m-1}B_{n}\left(x+{\frac {s}{m)) \Correcto)

.

Simetría:

{\ estilo de visualización \ B_ {n} (1-x) = (-1) ^ {n} B_ {n} (x),}

{\ estilo de visualización \ (-1)^{n}B_{n}(-x)=B_{n}(x)+nx^{n-1}.}

Enlaces

Milton Abramowitz e Irene A. Stegun, eds. Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficos y tablas matemáticas , (1972) Dover, Nueva York.