Polinomios de Hermite | |
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información general | |
Fórmula | |
producto escalar | |
Dominio | |
características adicionales | |
Ecuación diferencial | |
Norma | |
Lleva el nombre de | Carlos Hermite |
Los polinomios de Hermite son un cierto tipo de secuencia de polinomios de una variable real. Los polinomios de Hermite surgen en la teoría de la probabilidad , en la combinatoria y en la física .
Nombrado en honor al matemático francés Charles Hermite .
En la teoría de la probabilidad, los polinomios de Hermite generalmente se definen por:
;en física se suele utilizar otra definición:
.Las dos definiciones anteriores no son exactamente equivalentes entre sí; cada uno es una versión "a escala" del otro
.Las expresiones explícitas para los primeros once (n = 0,1,…,10) polinomios de Hermite se dan a continuación (definición probabilística):
.Los primeros once (n = 0,1,…,10) polinomios de Hermite en la definición física se definen de manera similar:
La ecuación general para los polinomios de Hermite es:
Se cumple la siguiente fórmula de suma para los polinomios de Hermite:
Es fácil ver que las siguientes fórmulas son sus casos especiales:
La derivada de orden th de un polinomio de Hermite también es un polinomio de Hermite (para la definición física):
Esto da la relación para la primera derivada (para la definición física)
y la relación de recurrencia entre tres polinomios consecutivos:
Para la definición física, el La relación de recurrencia entre tres polinomios consecutivos es:
Los polinomios de Hermite forman un sistema ortogonal completo en un intervalo con peso o según la definición:
donde está el símbolo delta de Kronecker .
Una consecuencia importante de la ortogonalidad de los polinomios de Hermite es la posibilidad de expandir varias funciones en series en términos de polinomios de Hermite. Para cualquier entero no negativo , la notación
De aquí surge una conexión entre los coeficientes de expansión de una función en la serie de Maclaurin y los coeficientes de expansión de la misma función en términos de polinomios de Hermite, que se denominan relaciones de Niels Nielsen:
Por ejemplo, la expansión de la función Kummer se verá así:
donde es una función hipergeométrica generalizada de segundo orden, es la función gamma .
Descomposición de funciones en las que existe un exponente .
Para cualquier función que se escribe como una superposición del exponente
, se puede escribir la siguiente expansión en términos de polinomios de Hermite:
Las expansiones de funciones hiperbólicas y trigonométricas conocidas tienen la forma
Los polinomios de Hermite son soluciones a la ecuación diferencial lineal :
Si es un número entero, entonces la solución general de la ecuación anterior se escribe como
,
donde son constantes arbitrarias, y las funciones se denominan funciones de Hermite de segunda especie . Estas funciones no se reducen a polinomios y solo se pueden expresar mediante las funciones trascendentales y .
Los polinomios de Hermite asumen las siguientes representaciones:
donde es el contorno que encierra el origen.
Otra representación se parece a:
.
polinomios ortogonales | |
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