Flujo de ricci

El flujo de Ricci es un sistema de ecuaciones diferenciales parciales que describen la deformación de una métrica riemanniana en una variedad .

Este sistema es un análogo no lineal de la ecuación del calor .

Nombrada por analogía con la curvatura de Ricci , en honor al matemático italiano Ricci-Curbastro .

Ecuación

La ecuación de flujo de Ricci tiene la forma:

\parcial _{t}g_{t}=-2\cdot \mathrm {Rc} _{t}.

donde denota una familia de un parámetro de métricas riemannianas en una variedad completa (dependiendo de un parámetro real ), y es su tensor de Ricci . ${\ Displaystyle g_ {t}}$ $t$ ${\ estilo de visualización \ mathrm {Rc} _ {t}}$

Propiedades

Formalmente hablando, el sistema de ecuaciones dado por el flujo de Ricci no es una ecuación parabólica . Sin embargo, existe un sistema parabólico de ecuaciones propuesto por Deturk , tal que si una métrica de Riemann en una variedad compacta y son soluciones de los sistemas y , entonces es isométrico para todo . $R$ $R'$ $g_{0}$ $METRO$ ${\ Displaystyle g_ {t}}$ ${\ Displaystyle g'_ {t}}$ $R$ $R'$ ${\ estilo de visualización (M, \; g_ {t})}$ ${\ estilo de visualización (M, \; g_{t}')}$ $t$
- Esta construcción simplificó significativamente la prueba de la existencia de una solución, se llama el "truco de Deturk".
De manera similar a la ecuación del calor (y otras ecuaciones parabólicas ), al establecer condiciones iniciales arbitrarias en , se pueden obtener soluciones solo en una dirección en , a saber . $t=0$ $t$ ${\ Displaystyle t \ geqslant 0}$
En contraste con las soluciones de la ecuación del calor, el flujo de Ricci, como regla, no continúa indefinidamente en . La solución continúa hasta el intervalo máximo . Si , por supuesto, al acercarse a la curvatura de la variedad va al infinito, y se forma una singularidad en la solución . La demostración de la conjetura de Thurston se basó en el estudio de las singularidades contra las que descansan los flujos de Ricci. $t\a\infty$ ${\ estilo de visualización [0, \; T)}$ $T$ $T$
Pseudolocalidad : si alguna vecindad de un punto en el momento inicial parece casi una pieza de espacio euclidiano, entonces esta propiedad permanecerá durante un cierto tiempo en el flujo de Ricci en una vecindad más pequeña.

Cambiar las características geométricas

Para el volumen de la métrica , la relación es verdadera ${\ Displaystyle \ mathrm {vol} _ {t}}$ ${\ Displaystyle g_ {t}}$ ${\tfrac {\parcial }{\parcial t))(\mathrm {d} \,\mathrm {vol} _{t})=-\mathrm {R} _{t}\cdot (\mathrm {d} \,\mathrm {vol} _{t}).$
Para la curvatura escalar de la métrica , la relación ${\ Displaystyle \ mathrm {R} _ {t}}$ ${\ Displaystyle g_ {t}}$ ${\tfrac {\parcial }{\parcial t))\mathrm {R} _{t}=\triangle _{t}\mathrm {R} _{t}+|\mathrm {Rc}_{ t}|^{2}$

donde se define como un marco ortonormal en un punto.

{\ estilo de visualización | \ matemáticas {Rc} _ {t} | ^ {2}}

\sum_{i,j}(\mathrm {Rc} (e_{i},e_{j))^{2}

\{e_{i}\}

En particular, según el principio del máximo , el flujo de Ricci conserva la positividad de la curvatura escalar.
Además, el mínimo de la curvatura escalar no disminuye.

Para cada marco -ortonormal en un punto hay un llamado marco -ortonormal acompañante . Para el tensor de curvatura escrito en esta base, la relación es verdadera $g_{0}$ ${\ estilo de visualización \ {e ^ {i} \}}$ $x\en M$ ${\ Displaystyle g_ {t}}$ $\{e_{t}^{i}\}$ ${\ estilo de visualización \ mathrm {Rm} _ {t}}$ ${\tfrac {\parcial }{\parcial t))\mathrm {Rm} _{t}=\triangle _{t}\mathrm {Rm} _{t}+Q(\mathrm {Rm} _ {t},\mathrm {Rm} _{t}),$

donde es una forma cuadrática bilineal definida sobre el espacio de tensores de curvatura y con valores en ellos.

q

La forma cuadrática bilineal define un campo vectorial en el espacio vectorial de los tensores de curvatura: a cada tensor de curvatura se le asigna un tensor de curvatura diferente . soluciones ODE $q$ $X$ $v_{x}=Q(x,x)$

{\ estilo de visualización {\ punto {x}} = v_ {x}}

juegan un papel importante en la teoría del flujo de Ricci.

Conjuntos convexos en el espacio de tensores de curvatura que son invariantes bajo rotaciones y tales que si en la EDO reducida , entonces para , se les llama invariantes para el flujo de Ricci. Si la curvatura de una métrica riemanniana en una variedad cerrada en cada punto pertenece a tal , entonces también es cierto para las métricas obtenidas de ella por el flujo de Ricci. El razonamiento de este tipo se denomina "principio máximo" para el flujo de Ricci. $k$ ${\ estilo de visualización x (0) \ en K}$ ${\ estilo de visualización x (t) \ en K}$ $t\geq 0$ $k$

Los conjuntos invariantes son

Tensores de curvatura con curvatura escalar positiva
Tensores de curvatura con operador de curvatura positivo
En el caso tridimensional, los tensores de curvatura con curvatura de Ricci positiva

Dimensión 3

En el caso de que la dimensión del espacio sea igual a 3, para cada y se puede elegir un marco , en el que se diagonaliza en la base , , , digamos, $X$ $t$ $\{e_{t}^{i}\}$ ${\ estilo de visualización \ mathrm {Rm} _ {t}}$ ${\displaystyle e_{1}\cuña e_{2))$ ${\displaystyle e_{2}\cuña e_{3))$ ${\displaystyle e_{3}\cuña e_{1))$

\mathrm {Rm} ={\begin{pmatrix}\lambda &0&0\\0&\mu &0\\0&0&\nu \end{pmatrix)).

Después

Q(\mathrm {Rm} ,\mathrm {Rm} )={\begin{pmatrix}\lambda ^{2}+\mu \cdot \nu &0&0\\0&\mu ^{2}+\nu \cdot \lambda &0\\0&0&\nu ^{2}+\lambda \cdot \mu \end{pmatrix}}.

Historia

Hamilton inició la investigación del flujo de Ricci a principios de la década de 1980. Se han demostrado varios teoremas de la esfera lisa usando flujos de Ricci .

Utilizando los flujos de Ricci en sus artículos [1] , publicados entre 2002 y 2003 , Perelman logró demostrar la conjetura de Thurston , realizando así una clasificación completa de variedades tridimensionales compactas , y probar la conjetura de Poincaré . [2]

Notas

↑ Ver artículos de Grigory Perelman en la bibliografía.
↑ http://arxiv.org/pdf/math/0607607.pdf Archivado el 21 de enero de 2021 en Wayback Machine "Esta conjetura fue formulada por Henri Poincaré [58] en 1904 y ha permanecido abierta hasta el trabajo reciente de Perelman. … Los argumentos de Perelman descansan sobre una base construida por Richard Hamilton con su estudio de la ecuación de flujo de Ricci para métricas de Riemann”.

Literatura

Hamilton, RS Tres colectores con curvatura de Ricci positiva // J. Diff. Geom. 17, 255-306, 1982.
Hamilton, RS Cuatro colectores con operador de curvatura positiva // J. Diff. Geom. 24, 153-179, 1986.
Perelman, Grisha (11 de noviembre de 2002), La fórmula de entropía para el flujo de Ricci y sus aplicaciones geométricas, archivo iv : math.DG /0211159 [math.DG].
Perelman, Grisha (10 de marzo de 2003), Flujo de Ricci con cirugía en tres colectores, arΧiv : math.DG/0303109 [math.DG].
Perelman, Grisha (17 de julio de 2003), Tiempo de extinción finito para las soluciones del flujo de Ricci en ciertas tres variedades, arΧiv : math.DG/0307245 [math.DG].
Bruce Kleiner, John Lott: Notas y comentarios sobre los documentos de flujo de Ricci de Perelman (PDF; 1,5 MB), 2008.
J. Rubinstein, R. Sinclair: Visualización del flujo de Ricci en variedades de revolución (PDF; 2,7 MB), 2004.
Chow, Bennett, Peng Lu y Lei Ni. Flujo de Ricci de Hamilton. — Sociedad Matemática Estadounidense, 2006.