Poliedro sesgado regular

Un politopo sesgado regular es una generalización del conjunto de politopos regulares que incluye la posibilidad de caras no planas o figuras de vértice . Coxeter consideró figuras de vértices oblicuas, que crearon nuevos poliedros regulares de cuatro dimensiones, y mucho más tarde Branko Grünbaum consideró caras oblicuas regulares. [una]

Descripción de politopos sesgados regulares

Los poliedros oblicuos regulares no son poliedros en el sentido habitual. Como escribe Coxeter en THE REGULAR SPONGES, OR SKEW POLYHEDRA (Esponjas regulares o poliedros sesgados), “El relleno facial difiere de los poliedros finitos en que para ellos los conceptos de interior y exterior son los mismos. Tales rellenos ayudan a pensar en el poliedro como una superficie más que como un cuerpo. Para obtener nuevos poliedros, debe idear que se puedan colocar más polígonos en el vértice de lo que permiten las restricciones cristalográficas (la suma de los ángulos en el vértice es menor que )”. Para lograr este efecto, Petrie permitió que las aristas fueran al revés del plano, lo que da lugar a esponjas , es decir, superficies con agujeros abiertos (el agujero de un poliedro está cerrado por el agujero de otro, de modo que todos forman una esponja infinita ) [2] .

Historia

Según Coxeter en 1926 John Flinders Petrie generalizó el concepto de polígonos espaciales (polígonos no planos) [3] en poliedros oblicuos regulares .

Coxeter propuso un símbolo de Schläfli modificado {l,m|n} para estas figuras, donde {l,m} denota una figura de vértice , m l-ágonos alrededor del vértice, y n son n - agujeros gonales. Sus figuras de vértice son polígonos espaciales en zigzag entre dos planos.

Los politopos sesgados regulares, representados por el símbolo {l,m|n}, satisfacen la igualdad:

2*cos(π/l)*cos(π/m)=cos(π/n)

El primer conjunto {l, m | n} representa cinco sólidos platónicos convexos y un sólido de Kepler-Poinsot no convexo :

{l, m | norte} caras costillas picos pags Poliedro orden
de simetria
{3,3| 3} = {3,3} cuatro 6 cuatro 0 tetraedro 12
{3,4| 4} = {3,4} ocho 12 6 0 Octaedro 24
{4,3| 4} = {4,3} 6 12 ocho 0 Cubo 24
{3,5| 5} = {3,5} veinte treinta 12 0 icosaedro 60
{5,3| 5} = {5,3} 12 treinta veinte 0 Dodecaedro 60
{5,5| 3} = {5,5/2} 12 treinta 12 cuatro gran dodecaedro 60

Politopos sesgados regulares finitos en un espacio de 4 dimensiones

Proyecciones A4 del plano de Coxeter
{4, 6| 3} {6, 4| 3}
Clasificación de 5 celdas
(60 aristas, 20 vértices) 		Profundo truncado de 5 celdas
(60 bordes, 30 vértices)
Proyecciones F4 del plano de Coxeter
{4, 8 | 3} {8, 4| 3}
Clasificación de 24 celdas
(576 aristas, 144 vértices) 		Profundamente truncado de 24 celdas
(576 bordes, 288 vértices)
Algunos de los poliedros oblicuos regulares de 4 dimensiones encajan en poliedros uniformes, como se muestra en las proyecciones.

Coxeter también enumeró una gran cantidad de poliedros regulares finitos en su artículo "poliedros oblicuos regulares en tres y cuatro dimensiones, y sus análogos topológicos".

Así como los politopos sesgados infinitos representan la superficie de una variedad entre las celdas de un panal uniforme convexo , las vistas finitas representan las superficies de una variedad en las celdas de un politopo homogéneo de 4 dimensiones .

Poliedros de la forma {2p, 2q | r} están relacionados con el grupo de simetría de Coxeter [(p,r,q,r)], que se reduce a la lineal [r,p,r] para q igual a 2. Coxeter le da a esta simetría la notación [[( p , r , q , r )] + ], que, según él, es isomorfo a su grupo abstracto (2 p ,2 q |2, r ). Los panales conectados tienen simetría extendida [[( p , r , q , r ) ]] [4] .

{2p,4|r} está representado por {2p} caras de un poliedro homogéneo de 4 dimensiones [en] profundamente truncado , y {4,2p|r} está representado por caras cuadradas de un planeado {r, p,r} (clasificado).

{4,4|n} forma un duoprisma n - n y, en particular, {4,4|4} encaja en un teseracto {4}x{4 } .

{4,4| n} representan caras cuadradas de duoprismas, con caras n-gonales como agujeros, y representan el toro de Clifford y la aproximación del doble cilindro {4,4|6} tiene 36 caras cuadradas y en proyección en perspectiva parece cuadrados seleccionados en un cilindro doble de 6,6 . Un anillo de 60 triángulos forma un poliedro sesgado regular en un subconjunto de las caras de un 600 celdas .
Incluso soluciones ordenadas
{l, m | norte} caras costillas picos pags Estructura simetría Ordenar Uniforme asociado de 4 politopos
{4,4| 3} 9 Dieciocho 9 una D3xD3 _ _ _ [[3,2,3] + ] 9 3-3 duoprisma
{4,4| cuatro} dieciséis 32 dieciséis una D4xD4 _ _ _ [[4,2,4] + ] dieciséis 4-4 duoprisma o tesseract
{4,4| 5} 25 cincuenta 25 una D5xD5 _ _ _ [[5,2,5] + ] 25 5-5 duoprisma
{4,4| 6} 36 72 36 una D6xD6 _ _ _ [[6,2,6] + ] 36 6-6 duoprisma
{4,4| norte} nº 2 2n 2 nº 2 una DnxDn _ _ _ [[n,2,n] + ] nº 2 nn duoprisma
{4,6| 3} treinta 60 veinte 6 S5 [[3,3,3] + ] 60 cepillado de 5 celdas
{6,4| 3} veinte 60 treinta 6 S5 [[3,3,3] + ] 60 5 celdas profundamente truncado
{4,8| 3} 288 576 144 73 [[3,4,3] + ] 576 cepillado de 24 celdas
{8,4| 3} 144 576 288 73 [[3,4,3] + ] 576 profundamente truncado de 24 celdas
Soluciones Pentagrama
{l, m | norte} caras costillas picos pags Estructura simetría Ordenar Uniforme asociado de 4 politopos
{4,5| 5} 90 180 72 diez A6 [[5/2,5,5/2] + ] 360 Gran estrella cepillada de 120 celdas
{5,4| 5} 72 180 90 diez A6 [[5/2,5,5/2] + ] 360 Gran estrellado de 120 celdas profundamente truncado
{l, m | norte} caras costillas picos pags Estructura Ordenar
{4,5| cuatro} 40 80 32 5 ? 160
{5,4| cuatro} 32 80 40 5 ? 160
{4,7| 3} 42 84 24 diez LF(2,7) 168
{7,4| 3} 24 84 42 diez LF(2,7) 168
{5,5| cuatro} 72 180 72 19 A6 360
{6,7| 3} 182 546 156 105 LF(2,13) 1092
{7,6| 3} 156 546 182 105 LF(2,13) 1092
{7,7| 3} 156 546 156 118 LF(2,13) 1092
{4,9| 3} 612 1224 272 171 LF(2,17) 2448
{9,4| 3} 272 1224 612 171 LF(2,17) 2448
{7,8| 3} 1536 5376 1344 1249 ? 10752
{8,7| 3} 1344 5376 1536 1249 ? 10752

El último conjunto se basa en otras formas extendidas de Coxeter {q1,m|q2,q3...} o con q2 sin especificar: {l, m |, q}.

{l, m|, q} caras costillas picos pags Estructura Ordenar
{3,6|,q} 2q2 _ 3q2 _ q2_ _ una ? 2q2 _
{3,2q|,3} 2q2 _ 3q2 _ 3q (q-1)*(q-2)/2 ? 2q2 _
{3,7|,4} 56 84 24 3 LF(2,7) 168
{3,8|,4} 112 168 42 ocho PGL(2,7) 336
{4,6|,3} 84 168 56 quince PGL(2,7) 336
{3,7|,6} 364 546 156 catorce LF(2,13) 1092
{3,7|,7} 364 546 156 catorce LF(2,13) 1092
{3,8|,5} 720 1080 270 46 ? 2160
{3,10|,4} 720 1080 216 73 ? 2160
{4,6|,2} 12 24 ocho 3 S4 ×S2 48
{5,6|,2} 24 60 veinte 9 A5 ×S2 120
{3,11|,4} 2024 3036 552 231 LF(2,23) 6072
{3,7|,8} 3584 5376 1536 129 ? 10752
{3,9|,5} 12180 18270 4060 1016 LF (2,29) × A3 36540

Véase también

Notas

  1. ↑ McMullen, Schulte, 2002 , pág. 7, 17.
  2. ↑ Coxeter, 1995 , pág. 20-22.
  3. ↑ En la literatura inglesa - polígono sesgado, literalmente - un polígono oblicuo . En la literatura rusa, el término polígono espacial ha echado raíces , y el término poliedro sesgado corresponde al término poliedro sesgado ( skew polyhedron ). En este artículo, los términos polígono sesgado y poliedro sesgado se usan indistintamente.
  4. ↑ Coxeter, 1985 .

Literatura