El grupo lineal completo (a veces se usa el término grupo lineal general ) se refiere a dos conceptos diferentes (aunque estrechamente relacionados).
El grupo lineal completo de un espacio vectorial V es el grupo de operadores lineales invertibles de la forma C : V → V [1] . El papel de la operación de grupo lo desempeña la composición habitual de operadores lineales.
Usualmente denotado GL ( V ) .
El grupo lineal completo de orden n es el grupo de matrices invertibles de orden n (es decir, matrices cuadradas con n filas y n columnas) [2] . El papel de la operación de grupo lo desempeña la multiplicación de matrices habitual.
Usualmente denotado GL( n ) [3] . Si se requiere indicar explícitamente a qué campo (o, en un caso más general, anillo conmutativo con unidad) K deben pertenecer los elementos de la matriz, entonces escriba: GL( n , K ) [4] o GL n ( K ) .
Entonces, si se consideran matrices sobre números reales , el grupo lineal completo de orden n se denota por GL( n , R ) , y si se trata de números complejos , entonces GL( n , C ) .
Ambos conceptos están, de hecho, estrechamente relacionados. En primer lugar, una matriz cuadrada de orden n puede verse como un operador lineal que actúa sobre un espacio vectorial aritmético K n (es decir, el espacio de columnas de n dimensiones con elementos de K ). Por lo tanto GL( n , R ) = GL( R n ) y GL( n , C ) = GL( C n ) .
En segundo lugar, la introducción de una base en un espacio vectorial V de n dimensiones sobre un campo de escalares K permite la correspondencia biunívoca de un operador lineal C : V → V con su matriz , una matriz cuadrada de orden n de las componentes del operador C en esta base. En este caso, el operador invertible corresponderá a una matriz no singular y obtenemos una correspondencia uno a uno entre los grupos GL( V ) y GL( n , K ) (esta correspondencia es en realidad un isomorfismo de estos grupos).
Si V es un espacio vectorial sobre un campo de escalares K , entonces el grupo lineal completo del espacio V es el grupo de todos los automorfismos del espacio V . El grupo GL( V ) y sus subgrupos se denominan grupos lineales .
En el grupo lineal general GL( n , K ) se puede destacar un subgrupo SL( n , K ) que consta de todas las matrices con determinante igual a 1. Este es un grupo lineal especial de orden n , denotado por SL( n , K ) .
Otros subgrupos importantes del grupo GL( n , K ) :
El grupo GL( n , K ) y sus subgrupos a menudo se denominan grupos matriciales (obsérvese que también pueden denominarse grupos lineales , pero el grupo GL( V ) es lineal, pero no matricial).
En particular, los subgrupos del grupo GL( n , R ) son el grupo lineal especial SL( n , R ) , el grupo ortogonal O( n ) , el grupo ortogonal especial SO( n ) , etc.
Los subgrupos del grupo GL( n , C ) son el grupo lineal especial SL( n , C ) , el grupo unitario U( n ) , el grupo unitario especial SU( n ) de orden n, etc.
Los grupos lineales completos GL( n , R ) y GL( n , C ) (así como sus subgrupos principales enumerados en los dos párrafos anteriores) son [5] grupos de mentira . Estos grupos son importantes en la teoría de la representación de grupos ; también surgen en el estudio de varios tipos de simetrías .
Nótese también que para n = 1 el grupo GL( n , K ) en realidad se reduce al grupo ( K * , •) de escalares distintos de cero del campo K (ambos grupos son canónicamente isomorfos) y por lo tanto es abeliano (conmutativo). Para n mayor que 1, los grupos GL( n , K ) no son abelianos.
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