Un polígono espacial [1] es un polígono cuyos vértices no son coplanares . Los polígonos espaciales deben tener al menos 4 vértices . La superficie interna de dichos polígonos no está definida de manera única.
Los infinitos espaciales (apeirogons) tienen vértices, no todos los cuales son colineales.
Un polígono en zigzag , o polígono antiprismático [2] , tiene vértices que se encuentran alternativamente en dos planos paralelos y, por lo tanto, debe tener un número par de lados.
Un polígono de espacio regular en el espacio 3D (y el espacio regular infinito en el espacio 2D) son siempre polígonos en zigzag.
Un polígono espacial regular es una figura isogonal con lados de igual longitud. En el espacio tridimensional, los polígonos espaciales regulares son polígonos en zigzag (polígonos antirpismáticos ) cuyos vértices pertenecen alternativamente a dos planos paralelos. Los lados de un n - antiprisma pueden definir un 2n - gon espacial regular.
A un n-ágono espacial regular se le puede dar la designación {p}#{ } como una mezcla de las designaciones de un polígono regular {p} y un segmento ortogonal { } [3] . La simetría entre vértices sucesivos es deslizante .
Los siguientes ejemplos muestran antiprismas cuadrados y pentagonales uniformes. Los antiprismas estelares también forman polígonos espaciales regulares con diferentes formas de conectar los vértices estelares superior e inferior.
cuadrado espacial |
hexágono espacial |
octágono espacial |
| {2}#{ } | {3}#{ } | {cuatro}#{ } |
| señor{2,2} | señor{2,3} | señor{2,4} |
| decágono espacial | ||
| {5}#{ } | {5/2}#{ } | {5/3}#{ } |
| señor{2,5} | Sr{2,5/2 | Sr{2,5/3 |
Se puede construir un 2 n -gon espacial complejo regular agregando un segundo 2 n -gon espacial obtenido al rotar el primero. En este caso, los vértices de cada uno de los 2 n -gons constituyentes se encuentran en los vértices de la combinación prismática de antiprismas .
Cuadrados espaciales |
Hexágonos espaciales |
decágonos espaciales | |
| Dos {2}#{ } | Tres {3}#{ } | Dos {3}#{ } | Dos {5/3}#{ } |
Los polígonos de Petrie son polígonos espaciales regulares definidos dentro de poliedros y politopos regulares . Por ejemplo, los 5 sólidos platónicos contienen polígonos de espacio regular de 4, 6 y 10 lados, como se ve desde estas proyecciones ortogonales (el sobre proyectivo se muestra en líneas rojas ). El tetraedro y el octaedro incluyen todos los vértices en un polígono en zigzag y pueden considerarse como antiprismas de segmentos de línea y triángulos, respectivamente.
Un polígono oblicuo tiene caras regulares o figuras de vértice en forma de polígonos espaciales regulares. Hay una cantidad infinita de polígonos oblicuos regulares que llenan el espacio en 3 espacios, y hay polígonos oblicuos en 4 espacios, algunos en forma de un politopo uniforme de 4 .
| {4,6|4} | {6,4|4} | {6,6|3} |
|---|---|---|
Hexágono oblicuo regular {3}#{ } |
Cuadrado oblicuo regular {2}#{ } |
Hexágono oblicuo regular {3}#{ } |
Un polígono 3D isogonal es un polígono 3D con un tipo de vértice conectado por dos tipos de lados. Los polígonos espaciales isogonales con lados de igual longitud pueden considerarse semirregulares. Son similares a los polígonos en zigzag en dos planos, excepto que los lados pueden moverse a otro plano y permanecer en el mismo plano.
Los polígonos espaciales isogonales se pueden obtener sobre prismas n-gonales con un número par de lados, moviéndose alternativamente a lo largo de los lados del polígono y entre los polígonos. Por ejemplo, a lo largo de los vértices de un cubo: pasamos los vértices verticalmente a lo largo de los bordes rojos y a lo largo de los bordes azules a lo largo de los lados de los cuadrados base.
Cubo , cuadrado-diagonal |
Prisma torcido |
Cubo |
cubo cruzado |
Prisma hexagonal |
Prisma hexagonal |
Prisma hexagonal |
En el espacio de 4 dimensiones, los polígonos de espacio regulares pueden tener vértices en el toro de Clifford y están conectados por el desplazamiento de Clifford . A diferencia de los polígonos en zigzag, los polígonos 3D de doble rotación pueden tener un número impar de lados.
Los polígonos de Petrie de un politopo regular de 4 definen polígonos espaciales regulares. El número de Coxeter para cada grupo de simetría de Coxeter expresa cuántos lados tiene el polígono de Petri. Entonces, será un polígono de 5 lados para un teseracto de 5 celdas , de 8 lados para un teseracto y de 16 celdas , de 12 lados para uno de 24 celdas y de 30 lados para uno de 120 celdas y uno de 600 celdas .
Si proyectamos ortogonalmente estos polígonos espaciales regulares en el plano de Coxeter , se convierten en polígonos envolventes regulares en el plano.
| Un 4 , [3,3,3] | segundo 4 , [ 4,3,3 ] | F 4 , [3,4,3] | H4 , [ 5,3,3 ] | ||
|---|---|---|---|---|---|
| Pentágono , Pentagrama | Octágono | Dodecágono | Tridecágono | ||
cinco celdas {3,3,3} |
teseracto { 4,3,3 } |
celda hexadecimal {3,3,4} |
veinticuatro celdas {3,4,3} |
120 celdas { 5,3,3 } |
seiscientos celda {3,3,5} |
El duoprisma n - n y la duopirámide dual también tienen polígonos de Petri de 2n lados. ( El teseracto es un duoprisma 4-4 y la celda de dieciséis es una duopirámide 4-4).
| Hexágono | Decágono | Dodecágono | |||
|---|---|---|---|---|---|
3-3 duoprisma |
3-3 duopirámides |
5,5-duoprismo |
5-5 duopirámide |
6-6 duoprisma |
6-6 duopirámide |