Transformación de Mehler-Fock

La transformada de Mehler-Fock de la función tiene la forma: $f(x)$

F(\tau )=\int _{1}^{\infty }f(x)P_{-{\frac {1}{2}}+i\tau }(x)dx,\quad \ tau \geqslant 0,

donde es la función esférica de Legendre de primera especie . Si es una función real y $P_{\nu}(x)$ $f(x)$

f(x)f(x)P_{-{\frac {1}{2}}}(x)\in L(1,+\infty ),

entonces la integral , entendida en el sentido de Lebesgue , es una función real definida para cualquier . ${\ Displaystyle F (\ tau)}$ ${\ estilo de visualización \ tau \ geqslant 0}$

La transformación inversa se ve así:

f(x)=\int _{0}^{\infty }\tau \,\mathrm {th} \,(\pi \tau )F(\tau )P_{-{\frac {1} {2}}+i\tau}d\tau.

Esta transformación fue introducida por primera vez por G. F. Mehler en 1881, los principales teoremas relacionados con ella fueron demostrados por V. A. Fock .

La transformación de Mehler-Fock encuentra aplicación en la resolución de problemas de la teoría del potencial , la teoría de la conducción del calor , en la resolución de ecuaciones integrales lineales y otros problemas de física matemática .

Otras definiciones

A veces la definición se extiende a , asumiendo ${\ Displaystyle F (\ tau)}$ ${\ estilo de visualización \ tau <0}$

{\ estilo de visualización F (- \ tau) = F (\ tau).}

La teoría de la transformación de Mehler-Fock se basa en la expansión de una función arbitraria en una integral de tipo Fourier:

f(x)=\int_{0}^{\infty}\int_{1}^{\infty}\tau \,\mathrm {th} \,(\pi \tau)P_{- {\frac {1}{2}}+i\tau }f(\xi )P_{-{\frac {1}{2}}+i\tau }(\xi )d\xi d\tau .

Sobre esta base, se pueden obtener otras posibles definiciones de la transformada de Mehler-Fock.

Hay una definición en la literatura:

{\tilde {F}}(x)=\int _{0}^{\infty }P_{-{\frac {1}{2}}+i\tau }(x)f(\tau )d\tau ,\quad x\geqslant 1.

Entonces, si , es localmente integrable en y , entonces la fórmula de inversión es verdadera: $f(\tau )\in L[0,\infty )$ ${\ estilo de visualización | f' (\ tau) |}$ $[0, \infty)$ $f(0) = 0$

f(\tau )=\tau \,\mathrm {th} \,(\pi \tau )\int _{1}^{\infty }P_{-{\frac {1}{2)) +i\tau }(x){\tilde {F}}(x)dx.

Cálculo

El cálculo real de la transformada de Mehler-Fock se realiza mediante representaciones integrales de las funciones de Legendre y el posterior cambio en el orden de integración.

Ejemplos de tales representaciones integrales son:

P_{-{\frac {1}{2}}+i\tau }(\mathrm {ch} \,\alpha )={\frac {2}{\pi }}\int _{0} ^{\alpha }{\frac {\cos \tau s}{\sqrt {2(\mathrm {ch} \,\alpha -\mathrm {ch} \,s)))}ds,\quad \alpha \ geqslant 0,

(esta representación también se llama integral de Mehler)

P_{-{\frac {1}{2}}+i\tau }(\mathrm {ch} \,\alpha )={\frac {2}{\pi }}\mathrm {ch} \ ,\pi \tau \int _{0}^{\infty }{\frac {\cos \tau s}{\sqrt {2(\mathrm {ch} \,\alpha -\mathrm {ch} \,s )}}}ds,\quad\alpha\geqslant 0.

La igualdad de Parseval

Para la transformada de Mehler-Fock, se puede obtener un análogo de la igualdad de Parseval para la transformada de Fourier .

Sean dos funciones arbitrarias que satisfacen las condiciones: $g_{k}(x),\;i=1,2$

g_{k}(x)x^{-{\frac {1}{2}}}\ln(1+x)\in L(1,\infty ),\quad g_{k}(x )\in L_{2}(1,\infty ),

y la transformación de Mehler-Fock viene dada por las igualdades:

G_{k}(\tau )=\int _{1}^{\infty }{\sqrt {\tau \mathrm {th} \,\pi \tau }}P_{-{\frac {1 {2}}+i\tau }(x)g_{k}(x)dx,\quad i=1,2,

g_{k}(x)=\int _{0}^{\infty }{\sqrt {\tau \mathrm {th} \,\pi \tau }}P_{-{\frac {1} {2}}+i\tau}(x)G_{k}(\tau)dx,\quad i=1,2,

entonces la igualdad de Parseval se cumple para la transformada de Mehler-Fock:

\int _{0}^{\infty}G_{1}(\tau)G_{2}(\tau)d\tau =\int _{1}^{\infty}g_{1}( x)g_{2}(x)dx.

Ejemplo de uso

Considere un ejemplo de una solución usando la transformación de Mehler-Fock de la ecuación integral:

f(x)=g(x)+\lambda \int _{1}^{\infty }{\frac {f(s)}{x+s}}ds,\quad x\geqslant 1, \quad \pi \lambda<1.

Deje que las transformaciones de Mehler-Fock

F(\tau )=\int _{1}^{\infty }f(x)P_{-{\frac {1}{2}}+i\tau }(x)dx,

G(\tau )=\int _{1}^{\infty }g(x)P_{-{\frac {1}{2}}+i\tau }(x)dx,

existir.

Entonces la ecuación se puede transformar a la forma:

F(\tau )=G(\tau )+{\frac {\lambda \pi }{\mathrm {ch} \,(\pi \tau )))F(\tau ),

dónde:

F(\tau )={\frac {G(\tau )}{1-{\frac {\lambda \pi }{\mathrm {ch} \,(\pi \tau ))))).

Si es una función continua de variación acotada en cualquier intervalo finito, y $g(x)$ ${\ estilo de visualización x \ en (1, b),}$

g(x)P_{\frac {1}{2}}(x)\in L(1,+\infty ),

G(\tau )\tau \in L(0,+\infty ),

luego por medio de la fórmula de inversión obtenemos la solución de la ecuación original:

f(x)=\int _{0}^{\infty }\tau \mathrm {th} \,(\pi \tau ){\frac {G(\tau )}{1-{\frac {\lambda \pi }{\mathrm {ch} \,(\pi \tau )))))P_{-{\frac {1}{2))+i\tau }(x)d\tau .

Transformada Mehler-Fock generalizada

La transformada generalizada de Mehler-Fock viene dada por la fórmula:

{\tilde {F}}_{k}(x)=\int _{0}^{\infty }P_{-{\frac {1}{2}}+i\tau }^{( k)}f(\tau )d\tau ,

donde están las funciones de Legendre asociadas del primer tipo. $P_{\nu }^{(k)}(x)$

La fórmula de conversión correspondiente es:

f(\tau )={\frac {\tau \,\mathrm {th} \,(\pi \tau )}{2))\Gamma \left({\frac {1}{2)) -k+ix\right)\Gamma \left({\frac {1}{2}}-k-ix\right)\int _{1}^{\infty }P_{-{\frac {1}{ 2}}+i\tau }^{(k)}(x){\tilde {F}}_{k}(x)dx.

Casos especiales

En , obtenemos el caso de la transformación habitual de Mehler-Fock . $k = 0$ ${\tilde {F}}(x)$
Cuando obtienes la transformada de Fourier del coseno . $k={\frac {1}{2)),x=\,\mathrm {ch} \,\alpha$
Cuando obtienes la transformada de Fourier del seno . $k=-{\frac {1}{2)),x=\,\mathrm {ch} \,\alpha$

Literatura

Enciclopedia Matemática Ed. collegium: I. M. Vinogradov (jefe de redacción) [y otros] M., "Soviet Encyclopedia", 1977-1985.
Ditkin V. A., Prudnikov A. P. Transformaciones integrales y cálculo operacional.- M, Fizmatgiz, 1961

Transformaciones integrales
transformada abel Transformaciones de Bessel Transformación bosquimana Transformación de Gegenbauer Transformada de Hilbert Transformación de Kontorovich-Lebedev Transformada de Laplace Transformada de Meyer Transformación de Mehler-Fock Transformada de Mellin Transformada de Nerain Transformación de radón Transformación de Stieltjes Transformada de Fourier Transformada de Hankel Transformada de Hartley