Aproximación de electrones casi libres

La aproximación de electrones casi libres es un método de la teoría cuántica de sólidos en el que el potencial periódico de una red cristalina se considera una pequeña perturbación con respecto al libre movimiento de los electrones de valencia .

La aproximación de electrones casi libres proporciona la aparición de espacios de banda estrechos como resultado de la difracción de Bragg de electrones en el potencial periódico de la red cristalina .

Formulación matemática

El hamiltoniano que describe el movimiento de un electrón en el campo potencial de los núcleos atómicos en la aproximación del campo medio viene dado por la fórmula

{\sombrero {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Delta +V(\mathbf {r} )

donde es la constante de Planck , m es la masa del electrón , es el potencial periódico, que tiene en cuenta la interacción del electrón con la red cristalina y otros electrones. $\hbar$ $V(\mathbf{r} )$

La función de onda de un electrón, que debe satisfacer el teorema de Bloch , se puede buscar en forma de desarrollo en serie de Fourier

\psi _{\mathbf {k} }=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\sum_{\mathbf {G} }a_{\mathbf {k} +\ mathbf {G} }e^{i\mathbf {G} \cdot \mathbf {r} }

donde es el vector de onda , es el vector de red recíproca . $\matemáticas {k}$ ${\ matemáticas {G}}$

Si el potencial es pequeño en magnitud en comparación con la energía cinética del electrón, entonces el movimiento de los electrones se puede considerar casi libre. La energía del electrón viene dada por la fórmula $V(\mathbf{r} )$

E={\frac {\hbar^{2}k^{2}}{2m}}.

Esta fórmula es válida en toda la zona de Brillouin , excepto en el caso en que la función de onda del movimiento de traslación de un electrón interfiere con una onda dispersada por un potencial periódico. Esta situación se da cuando . En esta región de vectores de onda se utiliza una aproximación, según la cual las amplitudes de las ondas directas y dispersas están determinadas por el sistema de ecuaciones: $\mathbf {k} \approx \mathbf {G} /2$

\left({\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}-E\right)a_{\mathbf {k} }+V_{\mathbf {-G} }a_ {\mathbf {k} -\mathbf {G} }=0

\left({\frac {\hbar ^{2}(\mathbf {k} -\mathbf {G} )^{2}}{2m}}-E\right)a_{\mathbf {k} -\mathbf {G} }+V_{\mathbf {G} }a_{\mathbf {k} }=0

donde son los coeficientes de expansión del potencial en una serie de Fourier. Este sistema de ecuaciones tiene una solución no trivial bajo la condición $V_{\mathbf {G} }$

\left({\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}-E\right)\left({\frac {\hbar ^{2}(\mathbf {k} -\mathbf {G} )^{2}}{2m}}-E\right)-V_{\mathbf {G} }V_{\mathbf {-G} }=0

que establece la ley de dispersión de estados electrónicos en el límite de la zona de Brillouin. Directamente en la frontera ( ) $\mathbf {k} \cdot \mathbf {G} =\mathbf {G} ^{2}/2$

E={\frac {\hbar ^{2}G^{2}}{8m}}\pm |V_{\mathbf {G} }|

No hay niveles electrónicos en la brecha de energía entre y , lo que determina la existencia de una brecha de banda estrecha . $E={\frac {\hbar ^{2}G^{2}}{8m}}-|V_{\mathbf {G} }|$ $E={\frac {\hbar ^{2}G^{2}}{8m}}+|V_{\mathbf {G} }|$

Véase también

Literatura

Anselmo A. I. Introducción a la física de semiconductores (indefinido) . - Moscú: Nauka., 1978.

Métodos de cálculo de la estructura electrónica.
Teoría de los enlaces de valencia	Hibridación de orbitales teoría de la resonancia Enlace de tres centros de dos electrones doble enlace enlace triple
Teoría de los orbitales moleculares	Método de combinaciones lineales de orbitales atómicos Método Hartree-Fock Método de clúster vinculado Método cuántico de Montecarlo
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