Principio de mínima coerción

El principio de mínima restricción , o principio de Gauss , consiste en que en cada instante de tiempo el movimiento verdadero de un sistema bajo la acción de fuerzas activas y sujeto a restricciones ideales difiere de todos los movimientos cinemáticamente posibles realizados a partir de la misma configuración inicial y con las mismas velocidades iniciales, por la propiedad de que para el verdadero movimiento la medida de la desviación del libre movimiento, es decir, la coerción, es mínima.

El principio de mínima restricción es uno de los principios variacionales diferenciales de la mecánica y fue propuesto [1] por K. F. Gauss en 1829 en su obra “Sobre una nueva ley general de la mecánica” . El principio es aplicable a sistemas mecánicos con restricciones ideales .y formulado por Gauss como sigue: “el movimiento de un sistema de puntos materiales, interconectados de manera arbitraria y sujetos a cualesquiera influencias, en cada momento se produce de la manera más perfecta posible, de acuerdo con el movimiento que estos puntos tendrían si todos quedaron libres, es decir, ocurre con la menor coacción posible, si, como medida de la coerción aplicada durante un instante infinitamente pequeño, tomamos la suma de los productos de la masa de cada punto por el cuadrado de la magnitud de su desviación de la posición que ocuparía si fuera libre” [2] .

La formulación del principio de Gauss no fue suficientemente definida. Para la formulación analítica de este principio fue de gran importancia la obra de G. Scheffler (1820-1903) “Sobre la ley fundamental de la mecánica de Gauss” , publicada en 1858 [3] , en la que Scheffler redefinió [4] la coerción como la siguiente (en notación moderna [5]): ) expresión:

Z\;=\;{\frac {1}{2}}\;{\overset {}{{\overset {N}({\underset {i=1}{\sum ))))))\, m_{{i}}\left({\mathbf {w}}_{{i}}-{\frac {{\mathbf {F}}_{{i}}}{m_{{i}}}} \derecho)^{{2}}

donde es el número de puntos incluidos en el sistema, es la masa del punto th, es la resultante de las fuerzas activas que se le aplican, es la aceleración de un punto dado (de hecho, Scheffler usó una forma escalar de notación, y no tenía un factor delante del signo de suma). Después de eso, la existencia de un mínimo para la función se convirtió en la expresión matemática del principio de mínima restricción . $norte$ $mi}}$ $i$ ${\mathbf {F}}_{{i}}$ ${\mathbf {w}}_{{i}}$ $Z$

Justificación

Sea el punto del sistema mecánico con masa en el momento del tiempo en posición . Con movimiento libre, un punto recorrerá una distancia en un intervalo muy pequeño (Fig. 1), donde es la velocidad del punto en ese momento . Si una fuerza activa actúa sobre el punto, el punto se moverá bajo la influencia de esta fuerza . Desarrollando el vector desplazamiento en una serie en el tiempo, tendremos: $mi}}$ ${\ estilo de visualización t_ {0}}$ $Mi}$ $\tau$ ${\overline {M_{i}A_{i))}\,=\,\mathbf {v}_{i}\,\tau$ ${\ estilo de visualización \ mathbf {v} _ {i}}$ $t_0$ ${\mathbf {F}}_{{i}}$ ${\displaystyle {\overline {M_{i}B_{i))))$

\mathbf {r} (t_{0}+\tau )\;=\;\mathbf {r} (t_{0})+{\overset {\cdot }{\mathbf {r} }}( t_{0})\,\tau +{\frac {1}{2}}\;{\overset {\cdot \cdot }{\mathbf {r} }}(t_{0})\,\tau ^ {2}+...

Pero

{\overset {\cdot }{\mathbf {r} }}(t_{0})\;=\;\mathbf {v} ,\;\;{\overset {\cdot \cdot }{\ mathbf {r} }}(t_{0})\;=\;{\frac {\mathbf {F} _{i}}{m_{i}}}

Por lo tanto, este desplazamiento, hasta el tercer orden pequeño, será igual a:

{\overline {M_{i}B_{i}}}\;=\;\mathbf {v}_{i}\,\tau +{\frac {1}{2}}\;{\ fracción {\mathbf {F}_{i}}{m_{i}}}\,\tau ^{2}

Si, por el contrario, se imponen ligaduras sobre el punto , entonces su movimiento bajo la acción de una fuerza y en presencia de ligaduras será, hasta el tercer orden menor, igual a: ${\mathbf {F}}_{{i}}$

{\overline {M_{i}C_{i}}}\;=\;\mathbf {v}_{i}\,\tau +{\frac {1}{2}}\;\mathbf {w} _{i}\,\tau^{2}

donde es la aceleración del punto en su movimiento real. Entonces la desviación del punto del libre movimiento estará representada por el vector . Es obvio que ${\mathbf {w}}_{{i}}$ ${\ Displaystyle {\ overline {B_{i}C_{i}}}}$

{\overline {B_{i}C_{i}}}\;=\;{\overline {M_{i}C_{i}}}-{\overline {M_{i}B_{i}} }\;=\;{\frac {1}{2}}\;\tau ^{2}\left(\mathbf {w} _{i}-{\frac {\mathbf {F} _{i} {m_{i}}}\derecho)

hasta pequeño tercer orden. Como medida de la desviación de un punto del libre movimiento, Gauss tomó un valor proporcional al cuadrado de la desviación , al que llamó coerción . La fuerza para un punto con masa tiene la siguiente expresión: ${\ Displaystyle {\ overline {B_{i}C_{i}}}}$ $mi}}$

Z_{i}\;=\;{\frac {1}{2}}\;m_{i}\left(\mathbf {w}_{i}-{\frac {\mathbf {F} _ {i}}{m_{i}}}}\derecho)^{2}

Resumiendo las restricciones para todos los puntos del sistema, obtenemos:

Z\;=\;{\frac {1}{2}}\;{\overset {}{{\overset {N}({\underset {i=1}{\sum ))))))\, m_{{i}}\left({\mathbf {w}}_{{i}}-{\frac {{\mathbf {F}}_{{i}}}{m_{{i}}}} \derecho)^{{2}}

De la definición dada al principio del artículo se sigue que para aceleraciones en movimiento real

{\ estilo de visualización \ delta \, Z \;=\;0}

además, la variación se toma solo en aceleraciones, mientras que las coordenadas y velocidades se suponen sin cambios. Una variación de este tipo se denomina variación gaussiana .

Importancia del principio de Gauss

Uno de los primeros en apreciar la importancia del principio de mínima restricción de Gauss fue el destacado matemático y mecánico ruso M. V. Ostrogradsky , quien atribuyó especial importancia al enfoque de Gauss para comprender las conexiones. En sus memorias de 1836 "Sobre los desplazamientos instantáneos de un sistema sujeto a condiciones variables", Ostrogradsky señaló tal consecuencia del principio de Gauss: la presión sobre las conexiones de los puntos del sistema en el verdadero movimiento del sistema debe ser mínima en comparación a otros movimientos cinemáticamente factibles [6] . En 1878, I. I. Rakhmaninov dio [7] una interpretación energética al principio de Gauss, reformulándolo como el principio del trabajo mínimo perdido [8] .

El matemático francés J. Bertrand describió el principio de Gauss como "un hermoso teorema que contiene simultáneamente las leyes generales del equilibrio y del movimiento y, aparentemente, la expresión más general y elegante que se les ha dado" [9] .

El principio de mínima restricción tiene una generalidad muy grande, ya que es aplicable a una gran variedad de sistemas mecánicos: conservativos y no conservativos, holonómicos y no holonómicos. Por lo tanto, en particular, a menudo se usa [10] como punto de partida para derivar las ecuaciones de movimiento de sistemas no holonómicos . Al mismo tiempo, el principio de Gauss también se usa directamente, en tareas relacionadas con la simulación por computadora de la dinámica de sistemas de cuerpos sólidos (en particular, robots de manipulación ); en este caso, la minimización numérica de la coerción se realiza mediante los métodos de programación matemática [11] .

El principio de Gauss se generaliza [12] al caso de liberar al sistema de parte de las restricciones [13] [14] , así como al caso de sistemas restringidos por restricciones no ideales, y al caso de medios continuos [ 15] .

Véase también

Bolotov, Evgeny Alexandrovich

Notas

↑ Tyulina, 1979 , pág. 178.
↑ Gauss K. Sobre un nuevo principio general de la mecánica: Sat. artículos / Ed. LS Polak. — M .: Fizmatgiz , 1959. — 932 p. - S. 170-172.
↑ Moiseev, 1961 , pág. 334.
↑ Tyulina, 1979 , pág. 179-180.
↑ Markeev, 1990 , pág. 90.
↑ Moiseev, 1961 , pág. 336.
↑ Rakhmaninov I. I. El comienzo del trabajo menos perdido como comienzo general de la mecánica // Izv. Universidad de Kiev . 1878. Núm. 4. - S. 1-20.
↑ Markeev, 2000 , pág. 38-39.
↑ Pogrebyssky, 1964 , pág. 270.
↑ Golubev Yu. F. Fundamentos de mecánica teórica. - M. : Editorial de Moscú. un-ta, 2000. - 719 p. — ISBN 5-211-04244-1 . - S. 427.
↑ Vereshchagin A. F. El principio de Gauss de mínima restricción en la dinámica de los actuadores de robots // Popov E. P. , Vereshchagin A. F., Zenkevich S. L. Robots de manipulación: dinámica y algoritmos. — M .: Nauka , 1978. — 400 p. - Art. 77-102.
↑ Markeev, 2000 , pág. 43.
↑ Bolotov E. A. Sobre el principio de Gauss // Izv. Phys.-Math. sobre-va en Kazan. no esos. Ser. 2 . 1916. V. 21, N° 3. - S. 99-152.
↑ Chetaev N. G. Sobre el principio de Gauss // Izv. Phys.-Math. sobre-va en Kazan. no esos. Ser. 3 . 1932-1933. T. 6. - S. 68-71.
↑ Rumyantsev V.V. Sobre algunos principios variacionales en mecánica continua // Prikl. Matemáticas. y piel 1973. T. 37. Edición. 6.- S. 963-973.

Literatura

Principios variacionales de la mecánica: Sat. artículos / Ed. L. S. Polak . — M .: Fizmatgiz , 1959. — 932 p.
Lanczos K. Principios variacionales de la mecánica . — M .: Mir , 1965. — 408 p.
Markeev A.P. Sobre el principio de Gauss // Colección de artículos científicos y metodológicos. Mecánica teórica. Tema. 23.- M .: Editorial de Moscú. un-ta, 2000. - 264 p. - S. 29-45.
Markeev A.P. Mecánica teórica. — M .: Nauka , 1990. — 416 p. — ISBN 5-02-014016-3 .
Moiseev N. D. Ensayos sobre la historia del desarrollo de la mecánica. - M. : Editorial de Moscú. un-ta, 1961. - 478 p.
Pogrebyssky I. B. De Lagrange a Einstein: Mecánica clásica del siglo XIX. — M .: Nauka , 1964. — 327 p.
Tyulina I. A. Historia y metodología de la mecánica. - M. : Editorial de Moscú. un-ta, 1979. - 282 p.
Tsyganova N. Ya. Las principales etapas de desarrollo del principio de menor coerción // Historia y metodología de las ciencias naturales. - M. : MGU, 1979. - Edición. 9 _ - S. 122-134 .