Generando funcional
La función generadora es una extensión del concepto de función generadora de momentos para una distribución gaussiana unidimensional / finito-dimensional a una distribución gaussiana continua .
Definición
El funcional generatriz de las funciones de correlación se define de la siguiente manera:
donde es el promedio del conjunto. Sin reducción, la definición del funcional generatriz para la distribución del continuo gaussiano normalizado a 1 con forma cuadrática es la siguiente:
.
![{\displaystyle G(A)=\det \left[{\frac {K}{2\pi }}\right]^{1/2}\cdot \int \!{\mathcal {D}}\varphi \ ,\exp \left\{-{\frac {1}{2}}\left(\varphi ,K\varphi \right)+\left(A,\varphi \right)\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2219290d2c536102e674fd86b8366ccceb490a3)
Sin embargo, esta definición se suele escribir de forma abreviada, omitiendo los símbolos e integraciones:
Relación entre funciones de correlación y funcional generadora
Porque la definición de funciones de correlación es la siguiente:
se obtiene la conexión entre la funcional generadora y las funciones de correlación:
![{\displaystyle G_{n}(X_{1},X_{2},\dots X_{n})=\left[{\frac {\delta }{\delta A(X_{1}))){\ fracción {\delta }{\delta A(X_{2})}}\dots {\frac {\delta }{\delta A(X_{n)))))G(A)\right]_{A= 0 },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef5f9d7737731e648782e4f59a122cd6008ae4dc)
donde es la derivada variacional. Esta fórmula es una analogía completa de la fórmula para calcular momentos a través de la función generadora de momentos para una distribución Gaussiana de dimensión finita.
Cálculo de funciones de correlación
Para las integrales de trayectoria, se cumple la siguiente fórmula:
.
![{\displaystyle \int \!{\mathcal {D}}\varphi \,\exp \left\{-{\frac {1}{2}}\left(\varphi ,K\varphi \right)+\left (A,\varphi \right)\right\}=\det \left[{\frac {K}{2\pi }}\right]^{-1/2}\exp \left\{{\frac { (A,K^{-1}A)}{2}}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b88dd7586b1dd330e16e316ee72b6228ec15415b)
Se puede ver que su lado izquierdo es la definición (hasta la normalización) de la funcional generadora . Entonces para la función de correlación de pares obtenemos
![{\displaystyle G_{2}(X_{1},X_{2})=\det \left[{\frac {K}{2\pi }}\right]^{1/2}\cdot \left[ {\frac {\delta }{\delta A(X_{1})}}{\frac {\delta }{\delta A(X_{2)))))\det \left[{\frac {K} { 2\pi }}\right]^{-1/2}\exp \left\{{\frac {(A,K^{-1}A)}{2}}\right\}\right]_ {A=0}=K^{-1}(X_{1},X_{2}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac83b47fc7f180de16ee6159073e59f97766f7cb)
Eso es
Otros tipos de funcionales generadores
Es claro que el funcional definido como arriba
conserva las propiedades generadoras para otras distribuciones que no dependen del parámetro . Dado que existe toda una clase de teorías físicas, la densidad de distribución en la que está dada por el funcional de acción "casi cuadrático" :
![{\ estilo de visualización \ rho [\ varphi]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecad3ec9c27285a9517d7473e67d18ce44b53e00)
![{\ estilo de visualización S [\ varphi]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db5fdc195e3f0d76fb555087c3712f5bf8936e13)
![{\displaystyle\rho [\varphi]=C\cdot e^{-S[\varphi]},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8917e344d7b888fa827a828fca30dfe6bf9acff0)
![{\displaystyle S[\varphi]={\frac {1}{2}}\left(\varphi ,K\varphi \right)+V[\varphi ],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d98e67662fab901c532e76f3da656362a823af6)
donde es pequeño, para ellos se definen sus propios funcionales generadores con diferentes significados físicos. Se les llama funcionales generadores de las funciones de Green . Entre ellos: el funcional generador de las funciones de Green completas
![{\displaystyle V[\varphi]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f86acdb0e3220ebaa2169212e1d826bc42fe63b1)
![{\displaystyle G(A)={\frac {\int \!{\mathcal {D}}\varphi \,\exp \left\{-S[\varphi]+\left(A,\varphi \right) \right\}}{\int \!{\mathcal {D}}\varphi \,\exp \left\{-{\frac {1}{2}}\left(\varphi ,K\varphi \right) \Correcto\}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfb0fe29ac60923f41c51ca5ff18bc47dc180b8c)
funciones de Green conectadas
y 1-funciones de Green irreducibles
Obtuvieron sus nombres debido al hecho de que, según la teoría de la perturbación , su expansión en términos de un pequeño parámetro (la llamada constante de acoplamiento ) en la representación del diagrama consiste en todos los diagramas posibles para una teoría dada, solo para los conectados, y por sólo 1- irreducible.
![{\displaystyle g\sim V[\varphi]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca1839d531aa751310e62979e867484388f6e1ef)
Véase también
Notas
- ↑ 1 2 Vasiliev, 1998 , p. 139-143.
- ↑ Vasiliev, 1998 , pág. 147.
Literatura
- Vasiliev A. N. Grupo de renormalización de campos cuánticos en la teoría del comportamiento crítico y dinámica estocástica. - Editorial del Instituto de Física Nuclear de San Petersburgo (PNPI), 1998. - ISBN 5-86763-122-2 .