Distribución normal multivariada

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La distribución normal multivariante (o distribución gaussiana multivariante ) en la teoría de la probabilidad es una generalización de la distribución normal unidimensional . Un vector aleatorio que tiene una distribución normal multivariante se denomina vector gaussiano [1] .

Definiciones

Un vector aleatorio tiene una distribución normal multivariada si se cumple una de las siguientes condiciones equivalentes: ${\mathbf {X}}=(X_{1},\ldots,X_{n})^{{\top }}:\Omega \to {\mathbb {R}}^{n}$

Una combinación lineal arbitraria de componentes vectoriales tiene una distribución normal o es una constante (esta declaración solo funciona si la expectativa matemática es 0). $\sum \limits _{{i=1}}^{n}a_{i}X_{i}$
Hay un vector de variables aleatorias normales estándar independientes , un vector real y una matriz de dimensiones , tal que: ${\mathbf {Z}}=(Z_{1},\ldots,Z_{m})^{{\top }}$ ${\mathbf {\mu }}=(\mu _{1},\ldots ,\mu _{n})^{{\top }}$ $\matemáticas {A}$ $n \veces m$

{\mathbf {X}}={\mathbf {A}}{\mathbf {Z}}+{\mathbf {\mu }}

Existe un vector y una matriz simétrica definida no negativa de dimensión , tal que la función característica del vector tiene la forma: ${\mathbf {\mu}}\in {\mathbb {R}}^{n}$ ${\mathbf {\Sigma))$ $n\veces n$ $\mathbf{X}$

\phi _{{{\mathbf {X}}}}({\mathbf {u}})=e^{{i{\mathbf {\mu }}^{{\top }}{\mathbf {u} }-{\frac {1}{2}}{\mathbf {u}}^{{\top }}\Sigma {\mathbf {u}}}},\;{\mathbf {u}}\in { \mathbb{R}}^{n}

Densidad de la distribución normal no degenerada

Si consideramos solo distribuciones con una matriz de covarianza no singular , entonces la siguiente definición también será equivalente:

Existe un vector y una matriz simétrica definida positiva de dimensión , tal que la densidad de probabilidad del vector tiene la forma [2] ::

{\mathbf {\mu}}\in {\mathbb {R}}^{n}

{\mathbf {\Sigma))

n\veces n

\mathbf{X}

f_{{{\mathbf {X}}}}({\mathbf {x}})={\frac {1}{(2\pi )^{{n/2}}\vert \Sigma \vert ^{ {1/2}}}}e^{{-{\frac {1}{2}}({\mathbf {x}}-{\mathbf {\mu }})^{{\top }}\Sigma ^{{-1}}({\mathbf {x}}-{\mathbf {\mu }})))),\;{\mathbf {x}}\in {\mathbb {R}}^{n }

, donde es el determinante de la matriz , y es la matriz inversa a

\vert \Sigma \vert

\Sigma

\Sigma ^{{-1}}

\Sigma

El vector es el vector medio y es su matriz de covarianza . ${\mathbf {\mu ))$ $\mathbf{X}$ $\Sigma$
En el caso de , la distribución normal multivariada se reduce a la distribución normal ordinaria. $n=1$
Si el vector aleatorio tiene una distribución normal multivariada, entonces escribe . $\mathbf{X}$ $\mathbf {X} \sim {\mathcal {N))(\mathbf {\mu } ,\Sigma )$

Distribución normal bivariada

Un caso especial de la distribución normal multivariada es la distribución normal bivariada. En este caso, tenemos dos variables aleatorias con expectativas matemáticas , varianzas y covarianzas . En este caso, la matriz de covarianza tiene tamaño 2 y su determinante es ${\ estilo de visualización X_ {1}, X_ {2}}$ ${\ estilo de visualización \ mu _ {1}, \ mu _ {2}}$ ${\ estilo de visualización \ sigma _ {1} ^ {2}, \ sigma _ {2} ^ {2}}$ $\sigma_{12}$

\mathrm {det} \Sigma =\sigma_{1}^{2}\sigma_{2}^{2}-\sigma_{12}^{2}=\sigma_{1}^ {2}\sigma _{2}^{2}(1-\rho^{2}),

donde es el coeficiente de correlación de las variables aleatorias. $\rho ={\frac {\sigma _{12}}{\sigma _{1}\sigma _{2}}}$

Entonces, la densidad de una distribución normal bidimensional no degenerada (el coeficiente de correlación en valor absoluto no es igual a la unidad) se puede escribir como:

f(x_{1},x_{2})={\frac {1}{2\pi \sigma _{1}\sigma _{2}{\sqrt {1-\rho ^{2} }}}}\exp \left\{-{\frac {1}{2(1-\rho ^{2})}}\left[{\frac {(x_{1}-\mu _{1} )^{2)){\sigma_{1}^{2))}-\rho {\frac {2(x_{1}-\mu_{1})(x_{2}-\mu_{ 2})}{\sigma_{1}\sigma_{2}}}+{\frac {(x_{2}-\mu_{2})^{2}}{\sigma_{2}^ {2}}}\derecho]\derecho\}

. En el caso de que (es decir, sean dependientes), su suma todavía se distribuye normalmente, pero aparece un término adicional en la varianza : .

X\sim {\mathcal {N}}(\mu_{1},\sigma_{1}^{2}),Y\sim {\mathcal {N}}(\mu_{2} ,\sigma _{2}^{2}),cov(X,Y)=\sigma _{12}

X,Y

{\ estilo de visualización 2 \ sigma _ {12}}

X+Y\sim {\mathcal {N))(\mu _{1}+\mu _{2},\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2 }+2\sigma_{12})

Propiedades de la distribución normal multivariante

Si un vector tiene una distribución normal multivariada, entonces sus componentes tienen una distribución normal univariada. Lo contrario es cierto cuando los componentes son independientes [3] . $\mathbf {X} =(X_{1},\ldots,X_{n})^{\arriba}$ $X_{i},i=1,\ldots,n,$
Si las variables aleatorias tienen una distribución normal univariante y son independientes entre sí , entonces el vector aleatorio tiene una distribución normal multivariante. La matriz de covarianza de dicho vector es diagonal. $X_{1},\ldots,X_{n}$ $\mathbf {X} =(X_{1},\ldots,X_{n})^{\arriba}$ $\Sigma$
Si tiene una distribución normal multivariante y sus componentes no están correlacionados por pares , entonces son independientes. Sin embargo, si algunas variables aleatorias tienen distribuciones normales unidimensionales y no se correlacionan por pares, entonces no se sigue que sean independientes y tengan una distribución normal multivariante. $\mathbf {X} =(X_{1},\ldots,X_{n})^{\arriba}$ $X_{i},\;i=1,\ldots,n$

Ejemplo. Sea , y con probabilidades iguales y sea independiente del valor normal especificado. Entonces si , entonces la correlación y es igual a cero. Sin embargo, estas variables aleatorias son dependientes y, en virtud del primer enunciado del párrafo, no tienen una distribución normal multivariante.

X\sim {\mathcal {N}}(0,1)

\alfa =\pm 1

Y=\alpha X\sim {\mathcal {N}}(0,1)

X

Y

La distribución normal multivariada es estable bajo transformaciones lineales . Si , y es una matriz arbitraria de dimensión , entonces $\mathbf {X} \sim {\mathcal {N))(\mathbf {\mu } ,\Sigma )$ $\matemáticas {A}$ $m\veces n$

{\mathbf {A}}{\mathbf {X}}\sim {\mathrm {N}}\left({\mathbf {A}}{\mathbf {\mu }},{\mathbf {A}}\ Sigma {\mathbf {A}}^{{\top }}\right).

Mediante tal transformación y cambio, cualquier distribución normal no degenerada puede reducirse a un vector de valores normales estándar independientes.

Momentos de la distribución normal multivariada

Sean variables aleatorias centradas (con expectativa matemática cero) que tienen una distribución normal multivariante, entonces los momentos para los impares son iguales a cero, y para los pares se calcula mediante la fórmula $X$ $\mu _{i_{1}i_{2}i_{3}...i_{k}}=E(X_{i_{1}}X_{i_{2}}X_{i_{3} }...X_{i_{k}})$ $k$ ${\ estilo de visualización k = 2 m}$

\sum \sigma_{i_{t_{1}}i_{t_{2}}}\sigma_{i_{t_{3}}i_{t_{4}}}\sigma_{i_{t_ {4}}i_{t_{5}}}}...\sigma _{i_{t_{k-1}}i_{t_{k}}}

donde la suma se realiza sobre todas las particiones posibles de índices en pares. El número de factores en cada término es , el número de términos es $metro$ ${\frac {(2m)!}{2^{m}m!}}={\frac {(2m-1)!}{2^{m-1}(m-1)!}}$

Por ejemplo, para momentos de cuarto orden en cada término hay dos factores y el número total de términos será igual a . La fórmula general correspondiente para los momentos de cuarto orden es: $4!/(2^{2}\cdot 2!)=(1\cdot 2\cdot 3\cdot 4)/(4\cdot 2\cdot 1)=3$

\mu_{ijkm}=E(X_{i}X_{j}X_{k}X_{m})=\sigma_{ij}\sigma_{km}+\sigma_{ik}\ sigma_{jm}+\sigma_{im}\sigma_{kj}

En particular, si ${\ estilo de visualización i = j = k = m}$

{\displaystyle \mu _{iiii}=E(X_{i}^{4})=3{\sigma }_{ii}^{2}=3{\sigma }_{i}^{4))

A $i=j\not=k=m$

{\displaystyle \mu _{iijj}=E(X_{i}^{2}X_{j}^{2})={\sigma }_{ii}{\sigma }_{jj}+2{\ sigma }_{ij}={\sigma }_{i}^{2}{\sigma }_{j}^{2}+2{\sigma }_{ij))

A $i=j=k\not=m$

\mu _{iij}=E(X_{i}^{3}X_{j})={\sigma }_{ii}{\sigma }_{ij}+{\sigma }_{ii }{\sigma }_{ij}+{\sigma }_{ij}{\sigma }_{ii}=3{\sigma }_{ij}{\sigma }_{ii}=3{\sigma } _{i}^{2}{\sigma}_{ij}

Asignación condicional

Sean vectores aleatorios y tengan una distribución normal conjunta con expectativas matemáticas , matrices de covarianza y matriz de covarianza . Esto significa que el vector aleatorio combinado sigue una distribución normal multivariante con un vector de expectativa y una matriz de covarianza, que se puede representar como la siguiente matriz de bloques $X$ $Y$ $\mu _{X},\mu _{Y}$ $V_{X},V_{Y}$ $C_{{XY}}$ ${\boldsymbol Z}={\begin{bmatrix}{\boldsymbol X}\\{\boldsymbol Y}\end{bmatrix}}$ ${\boldsymbol {\mu }}_{Z}={\begin{bmatrix}{\boldsymbol {\mu }}_{X}\\{\boldsymbol {\mu }}_{Y}\end {bmatriz}}$

{\boldsymbol V}_{Z}={\begin{bmatrix}{\boldsymbol V}_{X}&{\boldsymbol C}_{{XY}}\\{\boldsymbol C}_{{YX}} &{\boldsymbol V}_{{Y}}\end{bmatriz}}

donde _ $C_{{YX}}=C_{{XY}}^{T}$

Entonces, el vector aleatorio , dado el valor del vector aleatorio, tiene una distribución condicional normal (multivariante) con la siguiente media condicional y matriz de covarianza condicional $Y$ $X$

$E(Y|X=x)=\mu_{Y}+C_{{YX}}V_{X}^{{-1}}(x-\mu_{X}),\qquad V(Y| X=x)=V_{Y}-C_{{YX}}V_{X}^{{-1}}C_{{XY}}$ .

La primera igualdad define la función de regresión lineal (la dependencia de la expectativa condicional del vector sobre el valor dado x del vector aleatorio ), y la matriz es la matriz de coeficientes de regresión. $Y$ $X$ $C_{{XY}}V^{{-1}}$

La matriz de covarianza condicional es la matriz de covarianza de error aleatorio de regresiones lineales de los componentes de vector por vector . En el caso donde es una variable aleatoria ordinaria (vector de un componente), la matriz de covarianza condicional es la varianza condicional (esencialmente la varianza del error aleatorio de la regresión sobre el vector ) $Y$ $X$ $Y$ $Y$ $X$

Notas

↑ A. N. Shiryaev. Probabilidad. Volumen 1. MTSNMO, 2007.
↑ Groot, 1974 , pág. 58-63.
↑ AA Novoselov. Favoritos: La normalidad de un reparto conjunto . Sistemas de riesgo modernos (28 de marzo de 2014). Consultado el 8 de mayo de 2017. Archivado desde el original el 17 de mayo de 2017. (indefinido)

Literatura

M. de Groot Decisiones estadísticas óptimas = Decisiones estadísticas óptimas. —M.: Mir, 1974. — 492 p.

Distribuciones de probabilidad
Discreto	Bernoulli Binomio Geométrico hipergeométrico logarítmico binomio negativo veneno Uniforme discreto multinomial
Absolutamente continuo	Beta Weibulla Gama- hiperexponencial Gompertz Kolmogorov cauchy Laplace logaritmo normal Normal (Gaussiano) Logístico Nakagami Pareto Pearson semicircular uniforme continuo Arroz Rayleigh Alumno Tracey - Vidoma Pescador Chi-cuadrado Exponencial Varianza-gamma Normal multivariado cópula