Función rectangular

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Función rectangular , impulso unitario , impulso rectangular o ventana rectangular normalizada es una función constante por partes de la siguiente forma:

\mathrm {rect} (t)=\sqcap (t)={\begin{cases}0,&|t|>{\frac {1}{2}}\\[3pt]{\frac { 1}{2)),&|t|={\frac {1}{2}}\\[3pt]1,&|t|<{\frac {1}{2}}\end{casos}}

En esta definición, en los puntos de quiebre, el valor de la función se define como 1/2, pero es posible definir estos valores de otra manera, por ejemplo, igual a 0 y otras opciones.

Otra definición de una función es a través de la función de Heaviside : $\ theta (t)$

\mathrm {rect} \left({\frac {t}{\tau }}\right)=\theta \left(t+{\frac {\tau }{2}}\right)-\theta \ izquierda (t-{\ frac {\ tau }{2}} \ derecha),

o de otro modo:

\mathrm {rect} (t)=\theta \left(t+{\frac {1}{2}}\right)-\theta \left(t-{\frac {1}{2}}\ Correcto).

El valor de una función en los puntos de ruptura depende de la definición del valor de la función de Heaviside en su punto de ruptura.

Integral de una función rectangular sobre toda la recta:

\int \limits _{-\infty}^{\infty}\mathrm {rect} (t)\,dt=1.

Espectro de una función rectangular

Imagen espectral de una función rectangular:

{\frac {1}{\sqrt {2\pi ))}\int \limits _{-\infty }^{\infty }\mathrm {rect} (t)\cdot e^{-i\ omega t}\,dt={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\cdot \mathrm {sinc} \left({\frac {\omega }{2}}\right),

\mathrm {sinc} \left({\frac {\omega }{2}}\right)={\frac {\mathrm {sin} \left(\omega /2\right)}{\left( \omega /2\right)}}

es la función sinc no normalizada .

Al usar la función sinc normalizada:

\int \limits _{-\infty }^{\infty }\mathrm {rect} (t)\cdot e^{-i2\pi ft}\,dt=\mathrm {sinc} (f).

Convolución de funciones rectangulares

Una función triangular se puede definir como la convolución de dos funciones rectangulares:

\mathrm {tri} (t)=\mathrm {rect} (t)*\mathrm {rect} (t)\;.

Sobre la base de convoluciones infinitas de funciones rectangulares, cuyas longitudes disminuyen exponencialmente , se construyen funciones atómicas .

Función rectangular

Espectro de una función rectangular

Convolución de funciones rectangulares

Véase también