Función atómica

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Una función atómica es una solución finita de una ecuación diferencial funcional de la forma

L\,y(x)=\sum _{k=1}^{M}c_{k}y(ax-b_{k}),

donde es un operador diferencial lineal con coeficientes constantes; coeficientes y [1] [2] . $L$ $a,b_{k},c_{k}\en \mathbb {R}$ ${\ estilo de visualización | un |> 1}$

Función atómica arriba( x )

La función atómica más simple (léase: “an de ” [3] ) es una solución finita infinitamente diferenciable de la ecuación diferencial funcional $\operatorname {arriba} (x)$ $X$

{\frac{1}{2}}\,y'(x)=y(2x+1)-y(2x-1)

con soporte que satisface la condición de normalización (se prueba que esta solución existe y es única bajo la normalización especificada) [4] . $\operatorname {soporte} \operatorname {arriba} (x)=(-1,1),$ ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {arriba} (0) = 1}$

La transformada de Fourier de la función tiene la forma $\operatorname {arriba} (x)$

{\hat {\operatorname {arriba} }}(t)=\prod_{k=1}^{\infty}\operatorname {sinc} {\frac {t}{2^{k}}} ,

donde está la función sinc . $\operatorname {sinc} =\sin {x}/x$

La función es par, crece en el intervalo , decrece en el intervalo y su gráfica limita la unidad de área sobre el eje x. Además, en . Por lo tanto, los cambios de enteros forman una partición de la unidad : $\operatorname {arriba} (x)$ ${\ estilo de visualización [-1, \; 0]}$ ${\ estilo de visualización [0, \; 1],}$ $\operatorname {arriba} (1-x)=1-\operatorname {arriba} (x)$ ${\ estilo de visualización x \ en [0, \; 1]}$ $\operatorname {arriba} (x)$

\sum_{j=-\infty}^{\infty}\operatorname {arriba} (xj)\equiv 1.

Los valores en los puntos racionales diádicos de la forma son números racionales . La función no es analítica en ningún punto de su soporte. Para calcularlo, no puede usar la serie de Taylor , pero existen tipos especiales de series de convergencia rápida adaptadas para tales cálculos. También se utilizan desarrollos en serie de Fourier , series en términos de Legendre , polinomios de Bernstein , etc. $\operatorname {arriba} (x)$ ${\ estilo de visualización 2^{-n} k}$ $\operatorname {arriba} (x)$ $\operatorname {arriba} (x)$

Las funciones atómicas son infinitamente divisibles, es decir, se pueden representar como una combinación lineal de desplazamientos-compresiones de funciones finitas con una longitud de soporte arbitraria (componentes fraccionarios), y se pueden considerar como análogos de B-splines de suavidad infinita, como así como los predecesores ideológicos de wavelets . Las buenas propiedades aproximadas de la función se basan en el hecho de que usando una combinación lineal de desplazamientos-contracciones se puede representar un polinomio algebraico de cualquier grado. $\operatorname {arriba} (x)$ $\operatorname {arriba} (x)$

Funciones atómicas h a ( x ), splines perfectos

Las funciones atómicas (por ) son una generalización de la función . Las correspondientes ecuaciones diferenciales funcionales tienen la forma ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {h} _ {a} (x)}$ $a>1$ $\operatorname {arriba} (x)$

{\frac {2}{a^{2}}}y'(x)=y(ax+1)-y(ax-1).

Así, la transformada de Fourier de una función tiene la forma $\operatorname {arriba} (x)\equiv \operatorname {h} _{2}(x).$ ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {h} _ {a} (x)}$

{\hat {\operatorname {h} _{a}}}(t)=\prod _{n=1}^{\infty}\operatorname {sinc} {\frac {t}{a^{ norte}}},

por lo tanto, las funciones son convoluciones infinitas de las funciones características de los intervalos ( funciones rectangulares ), cuyos anchos decrecen exponencialmente . Si en la última expresión nos restringimos a un número finito de términos del producto infinito , obtenemos la transformada de Fourier de splines perfectos con expresión diferencial funcional recurrente ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {h} _ {a} (x)}$ $METRO$ ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {h} _ {a, M} (x)}$

{\frac {2}{a^{2}}}\operatorname {h} '_{a,M}(x)=\operatorname {h}_{a,M-1}(ax+1 )-\nombre del operador {h} _{a,M-1}(ax-1).

Teorema de Kotelnikov generalizado

Los ceros de las transformadas de Fourier de las funciones se ubican de manera regular en los puntos . En este sentido, cualquier función continua con un espectro finito se puede expandir en una serie ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {h} _ {a} (x)}$ ${\ estilo de visualización a \ pi n}$ ${\ estilo de visualización (n \ neq 0)}$ $f(x)$ $(\operatorname {soporte} {\hat {f}}=[-\Omega ,\Omega ])$

f(x)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}f(k\Delta){\hat {\operatorname {h} _{a))}\left[{\frac {a\pi }{\Delta }}(xk\Delta )\right],

donde [5] . $a>2,\ 0<\Delta \leq \pi (a-2)/\Omega (a-1)$

Esta fórmula generaliza el conocido teorema de Kotelnikov [5] ; fue propuesto por primera vez por V. F. Kravchenko y V. A. Rvachev [6] , y luego desarrollado por E. G. Zelkin , V. F. Kravchenko y M. A. Basarab [7] .

Historia y desarrollo

Las funciones atómicas se introdujeron por primera vez en [8] en 1971. Las circunstancias de la aparición de la función están relacionadas con el problema planteado en 1967 por V. L. Rvachev y resuelto por V. A. Rvachev : encontrar una función diferenciable tan finita que su gráfica pareciera una “joroba” con un segmento creciente y uno decreciente, y la gráfica su derivada consistiría en una “joroba” y un “pozo”, y este último sería similar a la “joroba” de la función misma, es decir representaría, hasta un factor de escala, una copia desplazada y comprimida del gráfico de la función original [9] . $\operatorname {arriba} (x)$

Los resultados de la etapa inicial de desarrollo de la teoría de las funciones atómicas se presentan en el trabajo de V. A. Rvachev "Funciones atómicas y su aplicación" [10] . Brinda una revisión detallada de los trabajos sobre la teoría de las funciones atómicas, presentados hasta 1984, una lista de problemas sin resolver en la teoría de las funciones atómicas, que determinaron en gran medida la dirección de futuras investigaciones.

En la actualidad, las funciones atómicas se utilizan ampliamente en teoría de aproximación , análisis numérico , procesamiento de señales digitales , análisis de ondículas y otras áreas. V. F. Kravchenko y representantes de su escuela científica publicaron un gran ciclo de trabajos sobre la teoría y las aplicaciones de las funciones atómicas en diversas aplicaciones físicas [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [ 18] [19 ] [20] [21] [22] [23] .

Véase también

Notas

↑ Rvachev y Rvachev, 1979 , p. 110.
↑ Kravchenko, 2003 , pág. 17
↑ Tikhomirov, 1987 , p. 202-203.
↑ Rvachev V. L. . Teoría de las funciones R y algunas de sus aplicaciones. - Kiev: Naukova Dumka , 1982. - S. 383. - 552 p.
↑ 1 2 Kravchenko, 2003 , pág. 90-92.
↑ Kravchenko V. F., Rvachev V. A. Aplicación de funciones atómicas en problemas de interpolación // Ondas electromagnéticas y sistemas electrónicos. - 1998. - V. 3, No. 3 . - S. 16-26 .
↑ Zelkin E. G., Kravchenko V. F., Basarab M. A. Interpolación de señales con un espectro finito usando transformadas de Fourier de funciones atómicas y su aplicación en problemas de síntesis de antenas // Ingeniería de radio y electrónica. - 2002. - T. 47, N° 4 . - S. 461-468 .
↑ Rvachov V. L., Rvachov V. O. Acerca de una función finita // DAN URSR. Ser. A.- 1971.- N° 8 . - S. 705-707 .
↑ Kravchenko V. F., Kravchenko O. V., Pustovoit V. I., Churikov D. V. Funciones atómicas y sistemas WA y funciones en problemas modernos de radiofísica y tecnología // Ondas electromagnéticas y sistemas electrónicos. - 2011. - T. 16, N° 9 . - S. 7-32 .
↑ Rvachev V. A. . Funciones atómicas y sus aplicaciones // Stoyan Yu. G., Protsenko V. S., Manko G. P. et al. Teoría de las funciones R y problemas reales de las matemáticas aplicadas. - Kiev: Naukova Dumka , 1986. - S. 45-65. — 264 págs.
↑ Basarab M. A., Zelkin E. G., Kravchenko V. F., Yakovlev V. P. . Procesamiento de señales digitales basado en el teorema de Whittaker-Kotelnikov-Shannon. - M. : Ingeniería de radio, 2004. - 72 p. — ISBN 5-93108-064-3 .
↑ Kravchenko V. F., Rvachev V. L. . Álgebra de la lógica, funciones atómicas y wavelets en aplicaciones físicas. — M .: Fizmatlit , 2006. — 416 p. — ISBN 5-9221-0752-6 .
↑ Procesamiento digital de señales e imágenes en aplicaciones radiofísicas / Ed. V. F. Kravchenko. — M .: Fizmatlit , 2007. — 544 p. - ISBN 978-5-9221-0871-3 .
↑ Basarab M. A., Kravchenko V. F., Matveev V. A. . Métodos de modelado y procesado digital de señales en giroscopia. — M .: Fizmatlit , 2008. — 248 p. — ISBN 978-5-9221-0809-6 .
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Literatura

Rvachev VL , Rvachev VA Métodos no clásicos de teoría de aproximación en problemas de valores en la frontera. - Kiev: Naukova Dumka , 1979. - 196 p.
Stoyan Yu. G., Protsenko V. S., Manko G. P. et al. Teoría de las funciones R y problemas reales de las matemáticas aplicadas. - Kiev: Naukova Dumka , 1986. - 264 p.
Tikhomirov V. M. Teoría de la aproximación // Problemas modernos de matemáticas. direcciones fundamentales. - M. : VINITI AN SSSR , 1987. - T. 14. - 272 p. - S. 103-260.
Kravchenko VF Conferencias sobre la teoría de las funciones atómicas y algunas de sus aplicaciones. - M. : Ingeniería de radio, 2003. - 512 p. — ISBN 5-93108-019-8 .