Grupo pseudo-reductivo

Un grupo pseudoreductivo sobre un campo k (a veces llamado k - grupo reductivo ) es un grupo algebraico afín con conexión suave definido sobre k cuyo k -radical unipotente (es decir, el subgrupo k normal unipotente con conexión suave más grande ) es trivial . Sobre un campo perfecto , los grupos pseudoreductivos son lo mismo que los grupos reductivos (conectados) , pero sobre campos imperfectos, Jacques Tits encontró varios ejemplos de grupos pseudoreductivos que no son reductivos. Un grupo k pseudoreductivo no es necesariamente reductivo (porque un k radical unipotente no conmuta en general con una extensión escalar no separable de k , como la extensión escalar de la clausura algebraica del campo k ). Los grupos pseudo-reductivos surgen naturalmente en el estudio de grupos algebraicos sobre campos de funciones en variedades con dimensión positiva y característica positiva (incluso sobre un campo perfecto de constantes).

Springer [1] dio una explicación de los resultados de Tits sobre grupos pseudoreductivos, mientras que Konrad, Gabber y Prasad [2] usaron el trabajo de Tits para desarrollar la teoría de la estructura general, incluidas áreas más avanzadas como técnicas de construcción, sistemas de raíces, grupos de raíces y celdas abiertas. clasificaciones de teoremas y aplicaciones a teoremas de adyacencia racional para grupos afines conectados suavemente sobre campos arbitrarios. La teoría general (con aplicaciones) para 2010 se resume en el artículo de Remy [3] , y más tarde en la segunda edición de Konrad, Gabber y Prasad [4] , con mejoras adicionales en Konrad y Prasad [5] .

Ejemplos de grupos pseudo-reductivos no reductores

Suponga que k es un campo imperfecto de característica 2 y a es un elemento no cuadrado de k . Sea G el grupo de elementos distintos de cero x + y √ a en k [ √ a ]. Hay un morfismo de G al grupo multiplicativo G m que relaciona x + y √ a con la norma x 2 – ay 2 , mientras que el kernel es un subgrupo de elementos con norma 1. El esquema subyacente del kernel geométrico es isomorfo a el grupo aditivo G a y es el radical unipotente de la capa geométrica de G , pero este esquema de subgrupo de fibras geométricas reducidas no está definido sobre k (es decir, no aparece de un subesquema cerrado de G sobre el campo base k ) y el k -radical unipotente de G es trivial. Por lo tanto, G es un grupo k pseudoreductivo , pero no un grupo k reductivo . Una construcción similar funciona cuando se usa una extensión finita primitiva no trivial puramente no separable de cualquier campo imperfecto con alguna característica positiva, con la única diferencia de que la fórmula para la norma de mapeo es algo más complicada que los ejemplos cuadráticos anteriores.

De manera más general, si K es una extensión pura no separable no trivial de un campo k y G es cualquier grupo K reductivo conectado no trivial , entonces la restricción de Weyl H =R K / k ( G ) es un k -grupo afín con conexión suave para el cual hay homomorfismo ( sobreyectivo ) de H K a G . El núcleo de este homomorfismo K reduce el radical unipotente de la fibra geométrica del grupo H y no está definido sobre k (es decir, no se obtiene del esquema de subgrupo cerrado del grupo H ), por lo que RK / k ( G ) es pseudoreductivo pero no reduccionista. El ejemplo anterior es un caso especial usando el grupo multiplicativo y la extensión K = k [ √ a ].

Clasificación y apariencias exóticas

Sobre un campo con característica mayor que 3, todos los grupos pseudo-reductores pueden obtenerse a partir de grupos reductores mediante una "construcción estándar" que generaliza la construcción descrita anteriormente. La construcción estándar utiliza un grupo pseudoreductivo auxiliar conmutativo, que resulta ser un subgrupo de Cartan del resultado de la construcción, y la principal dificultad para el grupo pseudoreductivo general es que la estructura de los subgrupos de Cartan (que siempre son conmutativos y pseudoreductivo) es misterioso. Los grupos pseudoreductivos conmutativos no entran en ninguna clasificación (a diferencia del caso reductivo conectado, para el cual son toros y, por lo tanto, accesibles a través de redes de Galois ), tienen una descripción útil de la situación fuera de las características 2 y 3 en términos de grupos reductores sobre alguna extensión finita (posiblemente, inseparable) del campo base.

Sobre un campo imperfecto de característica 2 o 3, existen varios grupos pseudoreductivos adicionales (llamados exóticos) resultantes de isogenias excepcionales entre grupos de tipo B y C en la característica 2, entre grupos de tipo en la característica 2 y entre grupos de tipo G₂ en característica 3, utilizando una construcción similar a las construcciones de los grupos de Ree . Además, existen posibilidades adicionales para la característica 2, que surgen no de isogenias excepcionales , sino del hecho de que para grupos simplemente conectados de tipo C (es decir , grupos simplécticos ) hay raíces divisibles (por 2) en la red de pesos. Esto da lugar a ejemplos cuyo sistema raíz (sobre la clausura separable del campo base) es irreductible. Dichos ejemplos existen con un toro máximo dividido y un sistema de raíz no reducible irreducible de cualquier rango positivo sobre cualquier campo imperfecto de la característica 2. La clasificación en la característica 3 es completa, como para las características más grandes, pero para la característica 2 la clasificación es más completa para el caso [k:k^2] =2 (debido a las dificultades causadas tanto por ejemplos con sistemas de raíces irreducibles como por fenómenos asociados con ciertas formas cuadráticas degeneradas regulares que existen solo para [k:k^2]>2 ). El trabajo subsiguiente de Conrad y Prasad [5] , basado en material adicional incluido en la segunda edición de Conrad, Gabber y Prasad [4] , completa la clasificación de la característica 2 hasta una extensión central controlada al proporcionar una serie exhaustiva de construcciones adicionales que solo existen para [k:k^2]>2 , basado en última instancia en la noción de grupos ortogonales especiales adjuntos a espacios cuadráticos regulares pero degenerados y no completamente defectuosos de característica 2.

Notas

  1. ↑ Springer, 1998 .
  2. ↑ Gabber, Conrad, Prasad, 2010 .
  3. ↑ Remy, 2011 .
  4. ↑ 1 2 Gabber, Conrad, Prasad, 2015 .
  5. ↑ 1 2 Conrado, Prasad, 2016 .

Literatura