Eje radical de dos circunferencias

El eje radical de dos circunferencias es el lugar geométrico de los puntos cuyos grados con respecto a dos circunferencias dadas son iguales. En otras palabras, las longitudes de cuatro tangentes trazadas a dos círculos dados desde cualquier punto M de un lugar geométrico de puntos dado son iguales.

El eje radical de dos circunferencias existe si y solo si las circunferencias no son concéntricas, y se puede definir tanto para circunferencias como para puntos (circunferencias de radio cero) y circunferencias imaginarias (radio imaginario).

Propiedades del eje radical

El eje radical es recto. Dado que el grado del punto con respecto al círculo es donde los coeficientes A, B y C se determinan en términos de las coordenadas del centro y el radio del círculo, entonces, al igualar los grados del punto con respecto a dos círculos, obtenemos y esta es la ecuación de una línea recta. También hay una prueba de este hecho usando solo métodos geométricos. $x^{2}+y^{2}+Ax+Por+C,$ $x^{2}+y^{2}+A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=x^{2}+y^{2}+A_{2}x+ B_ {2}y+C_{2}\Flecha izquierda-derecha (A_{1}-A_{2})x+(B_{1}-B_{2})y+(C_{1}-C_{2})=0,$
El eje radical es perpendicular a la línea de centros, que se sigue de la simetría de ambas circunferencias con respecto a la línea de centros.
Si P es un punto en el eje radical, entonces las longitudes de las tangentes desde el punto P a ambos círculos son iguales; esto se deduce del hecho de que el grado del punto es igual al cuadrado de la longitud del segmento tangente. En particular, el eje radical biseca los segmentos de las tangentes comunes.

Si los círculos se cortan en dos puntos, entonces su eje radical será una línea recta que pasa por estos puntos, si se tocan externamente, entonces la tangente interna común será el eje radical, si es interna, entonces la tangente común (la única) .

Si las líneas que contienen las cuerdas y el primer y segundo círculo, respectivamente, se cortan en el eje radical, entonces se inscribe el cuadrilátero . Esto es fácil de probar: sea el punto de intersección. Por la propiedad del grado de un punto, es igual a y puesto que P está sobre el eje radical, entonces es igual a y puesto que los puntos y están en el mismo círculo. Lo contrario también es cierto: si dos círculos se intersecan en el tercero de modo que es la cuerda común del primero y el tercero, y es la cuerda común del segundo y el tercero, entonces las líneas AB y CD se intersecarán en el eje radical de los dos primeros círculos, además, en el llamado centro radical de los tres círculos (ver . más abajo). La construcción del eje radical con compás y regla se basa en esta propiedad: construimos un círculo que corta dos datos dados en cuatro puntos, y luego trazamos una perpendicular desde su centro radical a la línea de centros. $AB$ $CD$ $A B C D$ $PAGS$ $PA\cdot PB,$ $PC\cdot PD.$ $PA\cdot PB=PC\cdot PD,$ $A B C$ $D$ $AB$ $CD$

Los ejes radicales de tres círculos con centros no colineales se cortan en un punto, llamado centro radical . Sean círculos y sea el punto de intersección del eje radical de los círculos y con el eje radical de los círculos y . Si es el grado de un punto con respecto a la circunferencia , entonces por definición del eje radical y el punto se encuentra sobre el eje radical de las circunferencias y ${\ estilo de visualización \ Omega _ {1}, \ Omega _ {2}, \ Omega _ {3}}$ $PAGS$ ${\ estilo de visualización \ Omega _ {1}}$ ${\ estilo de visualización \ omega _ {2}}$ ${\ estilo de visualización \ omega _ {2}}$ ${\ estilo de visualización \ omega _ {3}}$ ${\mathfrak {P}}(\omega ,A)$ $A$ $\ omega ,$ ${\mathfrak {P}}(\Omega _{1},P)={\mathfrak {P}}(\Omega _{2},P)={\mathfrak {P}}(\Omega _ {3},P),$ $PAGS$ ${\ estilo de visualización \ Omega _ {1}}$ ${\ estilo de visualización \ Omega _ {3}.}$
El lugar geométrico de los centros de los círculos ortogonales a dos datos dados es su eje radical con la cuerda común excluida (si la hay). Véase la figura.

Acordes antihomólogos[ aclarar ] dos círculos se cortan en su eje radical (aparentemente, nos referimos a dos cuerdas que pasan por dos pares de puntos antihomotéticos de dos círculos, vea la figura a continuación).
Sea un cuadrilátero, las rectas y se cortan en , y - en . Entonces los círculos construidos sobre los segmentos , y , como sobre los diámetros, tienen un eje radical común, sobre el cual se encuentran los puntos de intersección de las alturas de los triángulos , y ( línea de Auber-Steiner ). $A B C D$ $AB$ $CD$ $F$ $antes de Cristo$ $ANUNCIO$ $mi$ $C.A.$ $BD$ $FE$ ${\ estilo de visualización ABE}$ ${\ Displaystyle CDE}$ ${\ estilo de visualización BCF}$ $AAD$

Ortogonalidad

Dos círculos que se cortan en ángulo recto se llaman ortogonales . Los círculos se pueden considerar ortogonales si forman un ángulo recto entre sí.
Dos círculos que se cortan en los puntos A y B con centros O y O' se llaman ortogonales si son ángulos rectos OAO' y OBO' . Es esta condición la que garantiza un ángulo recto entre los círculos. En este caso, los radios (normales) de los dos círculos dibujados hasta el punto de su intersección son perpendiculares. Por tanto, las tangentes de dos circunferencias trazadas en el punto de su intersección también son perpendiculares. La tangente del círculo es perpendicular al radio (normal) dibujado al punto de contacto. Por lo general, el ángulo entre curvas es el ángulo entre sus tangentes dibujadas en el punto de su intersección.
Puede haber otra condición adicional. Sean dos círculos que se cortan en los puntos A y B tienen puntos medios de arcos que se cortan en los puntos C y D , es decir, el arco AC es igual al arco CB , el arco AD es igual al arco DB . Entonces estos círculos se llaman ortogonales si son ángulos rectos СAD y СBD .

Consecuencias de las propiedades del eje radical

En una recta que pasa por los puntos de tangencia de dos excircunferencias de un triángulo con dos de sus lados, estas excircunferencias cortan segmentos iguales.
Este último se puede formular de la siguiente manera. Si 2 excircunferencias de un triángulo tocan 2 de sus diferentes lados y 2 de sus extensiones en 4 puntos tangentes, entonces el cuadrilátero formado por los últimos 4 puntos como vértices es un trapezoide isósceles con 2 lados laterales iguales, y también 2 diagonales (tangente a 2 círculos).
Las diagonales de un hexágono circunscrito a un círculo que conecta vértices opuestos se cortan en un punto ( teorema de Brianchon para un círculo).

Enlaces

Wikimedia Commons tiene medios relacionados con el eje radical de dos círculos

Véase también

centro radical