Mi dispersión

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La dispersión de la luz por una partícula esférica (dispersión de Mie) es un problema clásico de la electrodinámica , resuelto en 1908 por Gustav Mie para una partícula esférica de tamaño arbitrario [1] .

El problema considera la dispersión de una onda electromagnética que tiene una fuerza de campo eléctrico

\mathbf {E} =\mathbf {E} _{0}e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -i\omega t},

donde ω es la frecuencia , k es el vector de onda , y E 0 es la amplitud de la onda, en una partícula esférica de radio R y permitividad ε .

La solución al problema se encuentra descomponiendo el campo electromagnético en armónicos esféricos vectoriales .

Resultados cualitativos

La dispersión depende de la relación entre el tamaño de las partículas y la longitud de onda de la luz en el material de las partículas. La dispersión de Rayleigh es un caso especial de la dispersión de Mie cuando la partícula es mucho más pequeña que la longitud de onda. En este caso, una onda electromagnética externa polariza la partícula, excitando en ella un momento dipolar variable . El momento dipolar, que oscila en el tiempo con la frecuencia de la onda externa, reirradia luz con un diagrama de directividad característico del momento dipolar. Si se puede despreciar la dependencia de la frecuencia de la permitividad de la partícula, la intensidad de dispersión depende de la frecuencia a la cuarta potencia, lo que da como resultado una fuerte dispersión de onda corta . La luz blanca difusa está dominada por un tinte azul, mientras que la luz no dispersada está dominada por el rojo.

Si el tamaño de las partículas está cerca de la longitud de onda de la luz, el patrón de dispersión se vuelve complejo. Aparece la interferencia de ondas reflejadas desde diferentes partes de la superficie de la partícula . La intensidad de la luz dispersada en un determinado ángulo depende de cuántas veces la onda se ajuste al diámetro de la partícula, por lo que depende en gran medida del tamaño de la partícula. Cuando varias longitudes de onda caben en el tamaño de partícula, la alternancia de máximos y mínimos en el patrón de radiación se vuelve tan frecuente que cuando la luz blanca incide sobre, por ejemplo, una solución coloidal , el observador verá luz blanca dispersa. Como resultado, una sustancia con una gran cantidad de tales partículas se vuelve opaca. Esta es la razón del color blanco de las nubes en el cielo, el color blanco de la leche, etc. Una solución de partículas coloidales puede colorearse cuando la sustancia de las partículas absorbe luz selectivamente en un cierto rango espectral.

Si las dimensiones de la esfera son mucho mayores que la longitud de onda de la luz, entonces la superficie de la esfera se comportará como una superficie plana. Hay una refracción y un reflejo de la luz, que se describen mediante las fórmulas de Fresnel .

Dispersión de una onda plana por una partícula esférica

El problema de la dispersión por una nanopartícula esférica se resuelve exactamente independientemente del tamaño de la partícula. Consideremos la dispersión de una onda plana que se propaga a lo largo del eje z polarizada a lo largo de x . La permitividad y la permeabilidad de la partícula son y , mientras que la del medio es y , respectivamente. Para resolver el problema de dispersión [2] , primero escribimos las soluciones de la ecuación vectorial de Helmholtz en coordenadas esféricas , ya que los campos dentro y fuera de la partícula deben satisfacerla. Ecuación de Helmholtz: $\varepsilon_{1}$ $\mu_{1}$ $\varepsilon$ $\mu$

\nabla ^{2}\mathbf {E} +{k}^{2}\mathbf {E} =0,\ \ \ \ \nabla ^{2}\mathbf {H} +{k}^ {2}\mathbf {H} =0

Además de la ecuación de Helmholtz, los campos también deben satisfacer las condiciones y , . Todas las propiedades necesarias las poseen los armónicos esféricos vectoriales , introducidos de la siguiente manera: $\nabla \cdot \mathbf {E} =\nabla \cdot \mathbf {H} =0$ $\nabla \times \mathbf {E} =i\omega \mu \mathbf {H}$ $\nabla \times \mathbf {H} =-i\omega \varepsilon \mathbf {E}$

\mathbf {M}_{^{e}_{o}mn}=\nabla \times \left(\mathbf {r} \psi_{^{e}_{o}mn}\right)

— armónicos magnéticos

\mathbf {N}_{^{e}_{o}mn}={\frac {\nabla \times \mathbf {M}_{^{e}_{o}mn}){\mathbf {k} }}

- armónicos eléctricos

dónde

{\displaystyle {\psi _{emn}=\cos m\varphi P_{n}^{m}(\cos \vartheta)z_{n}({k}r)))

{\displaystyle {\psi _{omn}=\sin m\varphi P_{n}^{m}(\cos \vartheta)z_{n}({k}r)))

y son los polinomios de Legendre asociados , y es cualquiera de las funciones esféricas de Bessel . $P_{n}^{m}(\cos \theta )$ $z_{n}({k}r)$

A continuación, es necesario expandir la onda plana incidente en términos de armónicos esféricos vectoriales .

\mathbf {E} _{inc}=E_{0}e^{ikr\cos \theta }\mathbf {e} _{x}=E_{0}\sum _{n=1}^{ \infty }i^{n}{\frac {2n+1}{n(n+1)}}\left(\mathbf {M} _{o1n}^{(1)}(k,\mathbf {r } )-i\mathbf {N} _{e1n}^{(1)}(k,\mathbf {r} )\right)

\mathbf {H} _{inc}={\frac {-k}{\omega \mu }}E_{0}\sum _{n=1}^{\infty}i^{n}{ \frac {2n+1}{n(n+1)}}\left(\mathbf {M} _{e1n}^{(1)}(k,\mathbf {r} )+i\mathbf {N} _ {o1n}^{(1)}(k,\mathbf {r} )\right)

aquí el superíndice significa que en la parte radial de las funciones hay funciones de Bessel esféricas. $(una)$ $\psi_{^{e}_{o}mn}$

Los coeficientes de dilatación se obtienen tomando integrales de la forma

{\frac {\int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{\pi }\mathbf {E}_{inc}\cdot \mathbf {M}_{^{ e}_{o}mn}^{(1)}\sin \theta d\theta d\varphi }{\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }| \mathbf {M} _{^{e}_{o}mn}^{(1)}|^{2}\sin \theta d\theta d\varphi }}

en este caso, todos los coeficientes en se ponen a cero, ya que la integral sobre el ángulo en el numerador se pone a cero. ${\ estilo de visualización m \ neq 1}$ $\varphi$

Luego superpuesto

1) condiciones de contorno en el límite entre la pelota y el entorno (que permiten relacionar los coeficientes de expansión de los campos incidente, interno y disperso),

2) la condición de acotación de la solución en el origen (por lo tanto , se eligen funciones de Bessel esféricas en la parte radial de las funciones generadoras para el campo interno), $\psi_{^{e}_{o}mn}$

3) para el campo disperso, la asintótica en el infinito corresponde a una onda esférica divergente (en este sentido, para el campo disperso en la parte radial de las funciones generadoras , se eligen funciones esféricas de Hankel de primera especie). $\psi_{^{e}_{o}mn}$

Los campos dispersos se escriben como una expansión en armónicos vectoriales como

\mathbf {E} _{s}=\sum _{n=1}^{\infty}E_{n}\left(ia_{n}\mathbf {N}_{e1n}^{(3 )}(k,\mathbf {r} )-b_{n}\mathbf {M} _{o1n}^{(3)}(k,\mathbf {r} )\right)

\mathbf {H} _{s}={\frac {k}{\omega \mu}}\sum _{n=1}^{\infty}E_{n}\left(a_{n} \mathbf {M} _{e1n}^{(3)}(k,\mathbf {r} )+ib_{n}\mathbf {N} _{o1n}^{(3)}(k,\mathbf { r} )\derecha)

aquí el superíndice significa que en la parte radial de las funciones son funciones esféricas de Hankel, y , $(3)$ $\psi_{^{e}_{o}mn}$ $E_{n}={\frac {i^{n}E_{0}(2n+1)}{n(n+1)))$

e interna:

\mathbf {E} _{1}=\sum _{n=1}^{\infty}E_{n}\left(-id_{n}\mathbf {N}_{e1n}^{( 1)}(k_{1},\mathbf {r} )+c_{n}\mathbf {M} _{o1n}^{(1)}(k_{1},\mathbf {r} )\right)

\mathbf {H} _{1}={\frac {-k_{1}}{\omega \mu _{1}}}\sum _{n=1}^{\infty}E_{n }\left(d_{n}\mathbf {M}_{e1n}^{(1)}(k_{1},\mathbf {r} )+ic_{n}\mathbf {N}_{o1n}^ {(1)}(k_{1},\mathbf{r} )\derecha)

$k={\frac {\omega}{c}}n$ es el vector de onda fuera de la partícula, es el vector de onda en el medio del material de la partícula, y son los índices de refracción del medio y la partícula Después de aplicar las condiciones de contorno, se obtienen las expresiones para los coeficientes: $k_{1}={\frac {\omega}{c}}{n_{1}}$ $norte$ $n_{1}$

c_{n}(\omega )={\frac {\mu _{1}\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho )-\mu _ {1}\left[\rho j_{n}(\rho )\right]'h_{n}(\rho )}{\mu_{1}\left[\rho h_{n}(\rho ) \right]'j_{n}(\rho _{1})-\mu \left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\ ro )}}

d_{n}(\omega )={\frac {\mu _{1}n_{1}n\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\ rho )-\mu _{1}n_{1}n\left[\rho j_{n}(\rho )\right]'h_{n}(\rho )}{\mu n_{1}^{2 }\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})-\mu _{1}n^{2}\left[\rho _{1} }j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )}},

b_{n}(\omega )={\frac {\mu _{1}\left[\rho j_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho_{1} )-\mu \left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'j_{n}(\rho )}{\mu _{1}\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho_{1})-\mu \left[\rho_{1}j_{n}(\rho_{1})\right ]'h_{n}(\rho)}}

a_{n}(\omega )={\frac {\mu n_{1}^{2}\left[\rho j_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})-\mu_{1}n^{2}\left[\rho_{1}j_{n}(\rho_{1})\right]'j_{n}(\rho ) }{\mu n_{1}^{2}\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho_{1})-\mu_{1}n^ {2}\izquierda[\rho_{1}j_{n}(\rho_{1})\derecha]'h_{n}(\rho )}},

Aquí , , donde es el radio de la nanopartícula, y son las funciones esféricas de Bessel y Hankel de primera clase, respectivamente. ${\ estilo de visualización \ rho = ka}$ ${\ estilo de visualización \ rho _ {1} = k_ {1} a}$ $a$ $j_n$ $h_{n}$

Secciones transversales de dispersión y extinción

Las secciones transversales de dispersión y extinción pueden obtenerse integrando las funciones correspondientes de los campos eléctrico y magnético sobre una esfera exterior de gran radio. [2] Debido a las propiedades de ortogonalidad de los armónicos esféricos vectoriales, se obtiene una relación simple entre los coeficientes de Mie y las secciones transversales. Sección transversal de dispersión:

C_{sca}={\frac {2\pi }{k^{2))}\sum _{n=1}^{\infty}(2n+1)(|a_{n}|^ {2}+|b_{n}|^{2})

sección transversal de extinción:

C_{ext}={\frac {2\pi }{k^{2))}\sum _{n=1}^{\infty}(2n+1)\Re (a_{n}+ b_{n})

Aplicación a partículas de sublongitud de onda

Si caben varias longitudes de onda en el material de la bola de dispersión, entonces los campos dispersos tienen algunas peculiaridades. Además, hablaremos sobre la forma del campo eléctrico, ya que el campo magnético se obtiene tomando el rotor.

Todos los coeficientes de Mie dependen de la frecuencia y tienen máximos cuando el denominador es cercano a cero (se logra el cero exacto para frecuencias complejas). En este caso, las situaciones son posibles cuando la contribución de un armónico específico domina significativamente en la dispersión. Entonces, a grandes distancias de la partícula , el patrón direccional del campo disperso será similar al patrón direccional correspondiente de la parte angular de los armónicos esféricos vectoriales. Los armónicos corresponden a dipolos eléctricos (si la contribución de este armónico domina en la expansión del campo eléctrico, entonces el campo es similar al campo de un dipolo eléctrico), corresponden al campo eléctrico de un dipolo magnético, y son eléctricos y magnéticos . cuadrupolos, y son octupolos, y así sucesivamente. Los máximos de los coeficientes de dispersión (así como el cambio en su fase por ) se denominan resonancias multipolares. ${\displaystyle \mathbf {N}_{^{e}_{o}m1))$ ${\displaystyle \mathbf {M}_{^{e}_{o}m1))$ ${\displaystyle \mathbf {N}_{^{e}_{o}m2))$ ${\displaystyle \mathbf {M}_{^{e}_{o}m2))$ ${\displaystyle \mathbf {N}_{^{e}_{o}m3))$ ${\displaystyle \mathbf {M}_{^{e}_{o}m3))$ $\Pi$

La forma de la dependencia de la sección transversal de dispersión de la longitud de onda y la contribución de resonancias específicas dependen en gran medida del material de la partícula. Por ejemplo, para una partícula de oro con un radio de 100 nm, la contribución del dipolo eléctrico a la dispersión domina en el rango óptico, mientras que para una partícula de silicio hay resonancias de dipolo magnético y cuadrupolo pronunciadas. Para las partículas de metal, el pico visto en la sección transversal de dispersión también se denomina resonancia de plasmón localizada .

En el límite de partículas pequeñas o longitudes de onda largas, la sección transversal de dispersión está dominada por la contribución del dipolo eléctrico.

Otras direcciones de la onda plana incidente

En el caso de una onda plana polarizada en x incidente a lo largo de z , las expansiones de todos los campos contenían solo armónicos con m=1 , pero este no es el caso para una onda incidente arbitraria [3] . Para una onda plana rotada, los coeficientes de expansión se pueden obtener, por ejemplo, utilizando el hecho de que durante las rotaciones, los armónicos esféricos vectoriales se transforman entre sí de cierta manera . En este caso, el campo disperso se expandirá sobre todos los armónicos posibles:

\mathbf {E} _{s}=\sum _{n=1}^{\infty}\sum _{m=0}^{n}E_{0}(D_{Memn}\mathbf { M} _{emn}^{(3)}(k,\mathbf {r} )+D_{Mamá}\mathbf {M}_{omn}^{(3)}(k,\mathbf {r} ) +D_{Nemn}\mathbf {N}_{emn}^{(3)}(k,\mathbf {r} )+D_{Nomn}\mathbf {N}_{omn}^{(3)}( k,\mathbf {r} ))

Entonces, la sección transversal de dispersión se expresará en términos de los coeficientes de la siguiente manera:

C_{sca}={\frac {2\pi }{\pi a^{2}k^{2}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n( n+1)}{(2n+1)}}\times {\Bigl [}\sum \limits _{m=1}^{n}{\frac {(n+m)!}{(nm)! }}(|D_{Memn}|^{2}+|D_{Momn}|^{2}+|D_{Nemn}|^{2}+|D_{Nomn}|^{2})+2| D_{Me0n}|^{2}+2|D_{Ne0n}|^{2}{\Bigr]}.

Efecto Kerker

En 1983, Kerker, Wang y Giles [4] discutieron la direccionalidad de la dispersión de partículas con . En particular, se demostró que la retrodispersión se suprime por completo para partículas hipotéticas con. ${\ estilo de visualización \ mu \ neq 1}$ ${\ estilo de visualización \ mu = \ varepsilon}$

Además, las secciones transversales de dispersión hacia adelante y hacia atrás se expresan simplemente en términos de coeficientes de Mie [5] [6] :

C_{sca}^{hacia atrás}={\frac {1}{a^{2}k^{2}}}{\bigg |}\sum _{n=1}^{\infty }{ (2n+1)}(-1)^{n}(a_{n}-b_{n}){\grande |}^{2}

C_{sca}^{adelante}={\frac {1}{a^{2}k^{2}}}{\bigg |}\sum _{n=1}^{\infty }{ (2n+1)}(a_{n}+b_{n}){\grande |}^{2}

Para ciertas combinaciones de coeficientes, las expresiones anteriores se pueden minimizar. Así, por ejemplo, cuando se pueden despreciar los términos con (aproximación dipolar), , corresponde a la retrodispersión mínima (los dipolos magnético y eléctrico son iguales en valor absoluto y están en fase). Esta condición también se denomina "primera condición de Kerker". y - dispersión frontal mínima - "la segunda condición de Kerker". Para resolver el problema con exactitud, es necesario tener en cuenta las contribuciones de todos los multipolos. La suma de los dipolos eléctrico y magnético forma la fuente de Huygens $n>1$ ${\ estilo de visualización (a_ {1}-b_ {1}) = 0}$ ${\ estilo de visualización (a_ {1} + b_ {1}) = 0}$

Para las partículas dieléctricas, la máxima dispersión hacia adelante se observa en longitudes de onda mayores que la longitud de onda de la resonancia del dipolo magnético, y hacia atrás, en las más cortas. [7]

También hay un breve video de YouTube que explica el efecto .

La función de Dyad Green de una bola

La función de Green es la solución de la siguiente ecuación:

\nabla \times \nabla \times {\bf {\hat {G}}}(\omega ,\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')=\left({\frac {\omega } {c}}\right)^{2}\varepsilon (\mathbf {r} ,\omega ){\bf {\hat {G}}}(\omega ,\mathbf {r} ,\mathbf {r} ' )+{\bf {\sombrero {1))}\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} '),

donde es la matriz identidad, para , y para . Dado que todos los campos son campos vectoriales, la función de Green es una matriz de 3 por 3 y se denomina díada. Si se induce polarización en el sistema , entonces los campos se expresan como ${\ estilo de visualización {\ sombrero {\ bf {1}}}}$ $\varepsilon (\mathbf {r} ,\omega )=\varepsilon _{1}(\omega )$ ${\ estilo de visualización r <a}$ ${\ estilo de visualización \ varepsilon (\ mathbf {r}, \ omega) = \ varepsilon}$ $r>a$ ${\ estilo de visualización \ mathbf {P} (\ mathbf {r})}$

\mathbf {E} ^{\omega }({\mathbf {r} })=\omega ^{2}\mu \int \limits _{V}dV'{\hat {\bf {G} ))({\bf {r,r')),k)\mathbf {P} ^{\omega }(\mathbf {r} ')

Al igual que los campos, la función de Green se puede expandir en armónicos esféricos vectoriales [8] . Función de Green del espacio libre [9] :

{\hat {\bf {G))}^{0}({\mathbf {r} ,\mathbf {r} ',k})={\frac {\mathbf {e_{r))\ veces \mathbf {e_{r}} }{k^{2}}}\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')+{\frac {ik}{4\pi }}\sum _ {n=1}^{\infty}\sum _{m=0}^{n}(2-\delta _{m,0}){\frac {2n+1}{n(n+1)} }{\frac {(nm)!}{(n+m)!}}\cdot

\left\{{\begin{matriz}{l}\cdot {\Bigl (}(\mathbf {M} _{emn}^{(1)}[k,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {M} }_{emn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ']+\mathbf {M}_{omn}^{(1)}[k,\mathbf {r } ]\otimes {\mathbf {M} }_{omn}^{(3)}[k,\mathbf {r} '])+({\mathbf {N} }_{emn}^{(1) }[k,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {N} }_{emn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ']+\mathbf {N}_{omn}^ {(1)}[k,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {N} }_{omn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ']){\Bigr )}, {\text{si}}r<r'\\\cdot {\Bigl (}(\mathbf {M} _{emn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {M} }_{emn}^{(1)}[k,\mathbf {r} ']+\mathbf {M}_{omn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ]\ veces {\mathbf {M} }_{omn}^{(1)}[k,\mathbf {r} '])+({\mathbf {N} }_{emn}^{(3)}[k ,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {N} }_{emn}^{(1)}[k,\mathbf {r} ']+\mathbf {N}_{omn}^{(3 )}[k,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {N} }_{omn}^{(1)}[k,\mathbf {r} ']){\Bigr )},{\text {if}}r>r'\end{matriz}}\right.

En presencia de una pelota, la función de Green también se expande en armónicos esféricos vectoriales. Su aspecto depende del entorno en el que se encuentren los puntos y [10] . $\mathbf{r}$ ${\mathbf {r))'$

Cuando ambos puntos están fuera de la pelota ( ): $r>a,r'>a$

{\sombrero {\bf {G))}^{00}({\mathbf {r} ,\mathbf {r} ',k,k_{1)))={\sombrero {\bf {G ))^{0}({\mathbf {r} ,\mathbf {r} ',k})+{\frac {ik}{4\pi }}\sum _{n=1}^{\infty} \sum _{m=0}^{n}(2-\delta _{m,0}){\frac {2n+1}{n(n+1)}}{\frac {(nm)! } {(n+m)!}}\cdot

{\displaystyle \cdot {\Bigl (}a_{n}^{(0)}(\omega)(\mathbf {M}_{^{e}_{o}mn}^{(3)}[k ,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {M} }_{^{e}_{o}mn}^{(3)}[k,\mathbf {r} '])+b_{n} ^{(0)}(\omega )({\mathbf {N} }_{^{e}_{o}mn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {N} }_{^{e}_{o}mn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ']){\Bigr )))

donde coeficientes de expansión:

a_{n}^{(0)}(\omega )={\frac {\mu /\mu_{1}\left[\rho_{1}j_{n}(\rho_{1 })\right]'j_{n}(\rho )-\left[\rho j_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})}{\left[\ rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho_{1})-\mu /\mu_{1}\left[\rho_{1}j_{n}(\ rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )}},

b_{n}^{(0)}(\omega )={\frac {n^{2}\mu _{1}/\mu \left[\rho _{1}j_{n}( \rho _{1})\right]'j_{n}(\rho )-n_{1}^{2}\left[\rho j_{n}(\rho )\right]'j_{n}( \rho _{1})}{n_{1}^{2}\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})-n^{ 2}\mu _{1}/\mu \left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )}}.

Ambos puntos dentro de la pelota ( ) : $r<a,r'<a$

{\sombrero {\bf {G))}^{11}({\mathbf {r} ,\mathbf {r} ',k,k_{1)))={\sombrero {\bf {G ))^{0}({\mathbf {r} ,\mathbf {r} ',k_{1)))+{\frac {ik_{1}}{4\pi }}\sum _{n= 1 }^{\infty}\sum _{m=0}^{n}(2-\delta _{m,0}){\frac {2n+1}{n(n+1))){\ frac {(nm)!}{(n+m)!}}\cdot

\cdot {\Bigl (}c_{n}^{(1)}(\omega)(\mathbf {M}_{^{e}_{o}mn}^{(1)}[k_ {1},\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {M} }_{^{e}_{o}mn}^{(1)}[k_{1},\mathbf {r} '] )+d_{n}^{(1)}(\omega)({\mathbf {N} }_{^{e}_{o}mn}^{(1)}[k_{1},\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {N} }_{^{e}_{o}mn}^{(1)}[k_{1},\mathbf {r} ']){\Bigr )} ,

Coeficientes de descomposición:

c_{n}^{(1)}(\omega )={\frac {\mu _{1}/\mu \left[\rho h_{n}(\rho )\right]'h_{ n}(\rho _{1})-\left[\rho _{1}h_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )}{\left[\ rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )-\mu _{1}/\mu \left[\rho h_{n}(\ rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})}},

d_{n}^{(1)}(\omega )={\frac {n_{1}^{2}\mu /\mu_{1}\left[\rho h_{n}(\ rho )\right]'h_{n}(\rho_{1})-n^{2}\left[\rho_{1}h_{n}(\rho_{1})\right]'h_ {n}(\rho )}{n^{2}\left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )-n_{ 1}^{2}\mu /\mu _{1}\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})}}.

Fuente interior y observación exterior ( ) : $r>a,r'<a$

{\hat {\bf {G))}^{01}({\mathbf {r} ,\mathbf {r} ',k,k_{1)))={\frac {ik_{1} {4\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{m=0}^{n}(2-\delta _{m,0}){\frac {2n+ 1 {n(n+1)}}{\frac {(nm)!}{(n+m)!}}\cdot

{\displaystyle \cdot {\Bigl (}a_{n}^{(1)}(\omega)(\mathbf {M}_{^{e}_{o}mn}^{(3)}[k ,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {M} }_{^{e}_{o}mn}^{(1)}[k_{1},\mathbf {r} '])+b_ {n}^{(1)}(\omega )({\mathbf {N} }_{^{e}_{o}mn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {N} }_{^{e}_{o}mn}^{(1)}[k_{1},\mathbf {r} ']){\Bigr )))

coeficientes de expansión:

a_{n}^{(1)}(\omega )={\frac {\left[\rho_{1}j_{n}(\rho_{1})\right]'h_{n }(\rho _{1})-\left[\rho _{1}h_{n}(\rho _{1})\right]'j_{n}(\rho _{1})}{\ izquierda[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\derecha]'h_{n}(\rho )-\mu _{1}/\mu \izquierda[\rho h_{n }(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})}},

b_{n}^{(1)}(\omega )={\frac {nn_{1}\left[\rho_{1}j_{n}(\rho_{1})\right] 'h_{n}(\rho_{1})-nn_{1}\left[\rho_{1}h_{n}(\rho_{1})\right]'j_{n}(\rho _{1})}{n^{2}\mu_{1}/\mu \left[\rho_{1}j_{n}(\rho_{1})\right]'h_{n} (\rho )-n_{1}^{2}\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})}}.

La fuente está afuera y la observación está adentro ( ) : $r<a,r'>a$

{\hat {\bf {G))}^{10}({\mathbf {r} ,\mathbf {r} ',k,k_{1)))={\frac {ik}{4 \pi }}\sum _{n=1}^{\infty}\sum _{m=0}^{n}(2-\delta _{m,0}){\frac {2n+1}{ n(n+1)}}{\frac {(nm)!}{(n+m)!}}\cdot

{\displaystyle \cdot {\Bigl (}c_{n}^{(0)}(\omega)(\mathbf {M}_{^{e}_{o}mn}^{(1)}[k ,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {M} }_{^{e}_{o}mn}^{(3)}[k_{1},\mathbf {r} '])+d_ {n}^{(0)}(\omega)({\mathbf {N} }_{^{e}_{o}mn}^{(1)}[k,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {N} }_{^{e}_{o}mn}^{(3)}[k_{1},\mathbf {r} ']){\Bigr )))

donde coeficientes de expansión:

c_{n}^{(0)}(\omega )={\frac {\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho )-\left [\rho j_{n}(\rho )\right]'h_{n}(\rho )}{\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _ {1})-\mu /\mu _{1}\left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )}},

d_{n}^{(0)}(\omega )={\frac {nn_{1}\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho )-nn_{1}\left[\rho j_{n}(\rho )\right]'h_{n}(\rho )}{n_{1}^{2}\mu /\mu _{1} \left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})-n^{2}\left[\rho _{1}j_{n}(\ rho _{1})\right]'j_{n}(\rho )}}.

Enlaces externos

SCATTERLIB y scattport.org Colecciones de códigos de dispersión de luz en FORTRAN , C++ , IDL , Pascal , Mathematica y Mathcad
La calculadora de dispersión Mie en línea calcula el espectro de la sección transversal de dispersión y la expansión multipolar para una esfera multicapa arbitraria, hay un cálculo de campo cercano. Los parámetros del material se toman del sitio refractiveindex.info . El código fuente de la calculadora es de código abierto y forma parte del proyecto Scattnlay , un software C++ de código abierto para Mie Scattering (solución de campo cercano y lejano de esfera multicapa), que se puede llamar desde Python y JavaScript .
Dispersión por una esfera multicapa Cálculo en MatLab de la dispersión por una esfera multicapa en los casos en que la fuente es un dipolo puntual y una onda plana. Descripción en OSA Continuum
JMIE (código 2D C++ para calcular campos analíticos a partir de un cilindro infinito, desarrollado por Jeffrey M. McMahon)
Scatlab . Software para Windows.
La Mi-calculadora en línea calcula patrones de radiación, etc. para parámetros específicos. Hay un paquete Miepython del mismo autor en Python .
phpMie Online Mi-calculadora en PHP .
PyMieScatt , la solución de Mi en Python .
pyMieForAll , un paquete para resolver el problema de Mie en C++ y un shell de Python .
MiePlot es un programa para calcular varios efectos físicos relacionados con las teorías de Mie ( solo Windows )

Enlaces

↑ G. Mie, "Beiträge zur Optik trüber Medien, speziell kolloidaler Metallösungen", Leipzig, Ann. física 330, 377-445 (1908). DOI: https://dx.doi.org/10.1002/andp.19083300302
↑ 1 2 Boren K., Huffman D. Absorción y dispersión de la luz por partículas pequeñas. - M. : Mir, 1986. - S. 221-222. — 660 págs.
↑ KA Fuller, Secciones transversales de dispersión y absorción de esferas compuestas. I. Teoría de la agregación externa, J. Opt. soc. Soy. A 11, 3251-3260 (1994)
↑ M. Kerker, DS Wang y CL Giles, Dispersión electromagnética por esferas magnéticas, J. Opt. soc. Soy. 73, 765-767 (1983)
↑ Tzarouchis, D.; Sihvola, A. Dispersión de luz por una esfera dieléctrica: perspectivas sobre las resonancias de Mie. aplicación ciencia 2018, 8, 184.
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