Octágono liso

Un octágono aplanado es una región del plano, que supuestamente tiene la densidad de empaquetamiento plano más pequeña y más alta de todas las figuras convexas centralmente simétricas [1] . La figura se obtiene reemplazando los ángulos de un octágono regular por una sección de una hipérbola , que es tangente a dos lados del ángulo y se aproxima asintóticamente a las extensiones de los lados del octágono adyacentes a los lados del ángulo.

Densidad Máxima de Empaque

El octágono suavizado tiene la máxima densidad de empaquetamiento

{\frac {8-4{\sqrt {2}}-\ln {2}}{2{\sqrt {2}}-1}}\aprox. 0,902414\,.

[2]

Esta densidad es menor que la densidad máxima de empaquetamiento de los círculos , que es igual a

{\frac {\pi }{\sqrt {12))}\aproximadamente 0,906899.

La densidad máxima de empaquetamiento de los octógonos regulares ordinarios es

{\frac {4+4{\sqrt {2}}}{5+4{\sqrt {2}}}}\aprox. 0,906163,

que también es ligeramente menor que la densidad de empaquetamiento máxima de los círculos, pero mayor que la densidad de empaquetamiento de un octágono suavizado [3] .

El octágono suavizado logra la máxima densidad de empaque no solo para un solo empaque, sino también para una familia de empaques de un solo parámetro. Todos ellos son empaquetaduras de celosía [4] .

Para un espacio tridimensional , la conjetura de empaquetamiento de Ulam establece que no existe una figura convexa con la mayor densidad de empaquetamiento menor que el empaquetamiento de bolas.

Edificio

Al considerar familias de empaques de densidad máxima de un octágono suavizado, el requisito de que la densidad de empaque permanezca igual a medida que cambian los puntos de contacto de los octágonos vecinos puede usarse para determinar la forma de las esquinas. En la figura, los tres octógonos giran mientras que el área del triángulo formado por los centros de estos octágonos no cambia. Para los octágonos regulares, los fragmentos de los bordes se superponen, por lo que para poder rotar, las esquinas deben cortarse en un punto a medio camino entre los centros de los octágonos, lo que da como resultado una curva que resulta ser una hipérbola.

Una hipérbola se construye como una tangente a dos lados de un octágono, para el cual las líneas que contienen los lados adyacentes a ellos son sus asíntotas. Coloquemos un octágono regular con el radio del círculo circunscrito en el plano de modo que su centro esté en el punto y un vértice esté en el punto . Definamos dos constantes, ℓ y m : ${\ sqrt {2}}$ ${\ estilo de visualización (2+ {\ sqrt {2)), 0)}$ $(2.0)$

\ell ={\sqrt {2}}-1

{\displaystyle m={\sqrt[{4}]{\frac {1}{2))))

Entonces la hipérbola viene dada por la ecuación

{\displaystyle \ell^{2}x^{2}-y^{2}=m^{2))

o, en la forma parametrizada equivalente (solo para el lado derecho de la hipérbola):

{\begin{casos}x={\frac {m}{\ell }}\cosh {t}\\y=m\sinh {t}\end{casos}),\;-\infty < t<\infty

La parte de la hipérbola que forma las esquinas del octágono viene dada por los valores del parámetro

-{\frac {\ln {2}}{4}}<t<{\frac {\ln {2}}{4}}

Las rectas de los lados del octágono que son tangentes a la hipérbola están dadas por las ecuaciones

y=\pm \left({\sqrt {2}}+1\right)\left(x-2\right)

Y las rectas de los lados, que son asíntotas de la hipérbola, vienen dadas por las ecuaciones

y=\pm \ell x.

Véase también

círculos de embalaje
Conjetura de embalaje de Ulam

Notas

↑ Reinhardt, 1934 , pág. 216-230.
↑ Weisstein, Eric W. Smoothed Octagon en el sitio web de Wolfram MathWorld .
↑ Atkinson, Jiao, Torquato, 2012 .
↑ Kallus, 2013 .

Literatura

K. Reinhardt. Über die dichteste gitterförmige Lagerung kongruenter Bereiche in der Ebene und eine besondere Art konvexer Kurven // Abh. Matemáticas. Sem. Hamburgo. - 1934. - Emisión. 10 _ - S. 216-230 .
Steven Atkinson, Yang Jiao, Salvatore Torquato. Empaquetamientos de máxima densidad de partículas bidimensionales convexas y cóncavas no circulares // Phys. Rvdo. E. - 2012. - T. 86 , núm. 03 . Archivado desde el original el 24 de agosto de 2014.
Yoav Kallus. Formas de empaquetamiento menos eficientes // Geometría y topología. - 2013. - Mayo.

Enlaces

¿El empaque bidimensional denso más delgado? . Peter Scholl, 2001.