Conjunto convexo

Un conjunto convexo en un espacio afín o vectorial es un conjunto en el que todos los puntos del segmento formado por dos puntos cualesquiera del conjunto dado también pertenecen al conjunto dado.

El límite de un conjunto convexo es siempre una curva convexa . La intersección de todos los conjuntos convexos que contienen un subconjunto dado A del espacio euclidiano se denomina envolvente convexa de A. Este es el conjunto convexo más pequeño que contiene A .

Una función convexa es una función de valor real definida en un intervalo con la propiedad de que su epígrafe (el conjunto de puntos sobre o sobre el gráfico de la función) es un conjunto convexo. La programación convexa es un subconjunto de optimización que estudia el problema de minimizar funciones convexas sobre conjuntos convexos. La rama de las matemáticas dedicada al estudio de las propiedades de los conjuntos convexos y de las funciones convexas se denomina análisis convexo .

Los conjuntos convexos juegan un papel importante en muchos problemas de optimización [1] .

Definiciones

Sea un espacio afín o vectorial sobre el campo de los números reales . $A$ $\matemáticas {R}$

Un conjunto se llama convexo si , junto con dos puntos cualesquiera, el conjunto incluye todos los puntos del segmento que conecta los puntos y en el espacio . Este segmento se puede representar como $K\subconjunto A$ ${\ estilo de visualización x, \; y \ en K}$ $k$ $xy$ $A$ $X$ $y$

\bigcup \limits _{t\in [0;\;1]}\{x+t\cdot {\overrightarrow {xy}}\}.

Definiciones relacionadas

Un conjunto de un espacio vectorial se llama absolutamente convexo si es convexo y equilibrado . $k$ $V$

Ejemplos

Los subconjuntos convexos del conjunto (el conjunto de números reales) son intervalos de . $\matemáticas {R}$ $\matemáticas {R}$
Ejemplos de subconjuntos convexos en el espacio euclidiano bidimensional ( ) son los polígonos regulares . $\matemáticas {R} ^{2}$
Ejemplos de subconjuntos convexos en el espacio euclidiano tridimensional ( ) son los sólidos de Arquímedes y los poliedros regulares . $\mathbb{R} ^{3}$
Los sólidos de Keppler-Poinsot (poliedros en estrella regulares) son ejemplos de conjuntos no convexos.

Propiedades

El conjunto vacío y todo el espacio son conjuntos convexos. Dado que el espacio vacío y todo el espacio también son conjuntos cerrados , también son conjuntos convexos cerrados.
El conjunto de todos los conjuntos convexos de un espacio lineal con respecto al orden formado por la relación de inclusión es un conjunto parcialmente ordenado con un elemento mínimo siendo un conjunto vacío y un elemento máximo igual a todo el espacio. La misma afirmación también es cierta para una colección de conjuntos convexos cerrados.
Un conjunto convexo en un espacio lineal topológico es conexo y conexo por caminos , homotópicamente equivalente a un punto.
En términos de conectividad, un conjunto convexo se puede definir de la siguiente manera: un conjunto es convexo si su intersección con cualquier línea (real) es conexa.
Sea un conjunto convexo en un espacio lineal. Entonces, para cualquier elemento que pertenezca a y para todo no negativo , tal que , el vector $k$ ${\displaystyle u_{1},\;u_{2},\;\ldots,\;u_{r))$ $k$ ${\ estilo de visualización \ lambda _ {1}, \; \ lambda _ {2}, \; \ ldots, \; \ lambda _ {r}}$ $\lambda _{1}+\lambda _{2}+\ldots +\lambda _{r}=1$ ${\displaystyle w=\sum_{k=1}^{r}\lambda_{k}u_{k))$

pertenece a

k

El vector se llama combinación convexa de elementos .

w

{\displaystyle u_{1},\;u_{2},\;\ldots,\;u_{r))

La intersección de cualquier colección de conjuntos convexos es un conjunto convexo. Dado que la operación de intersección también tiene las propiedades de asociatividad y conmutatividad, la colección de conjuntos convexos por la operación de intersección forma un semigrupo conmutativo . Este semigrupo contiene una unidad igual a todo el espacio. Así, una colección de conjuntos convexos es un monoide por la operación de intersección.
Dado que una familia de conjuntos convexos es cerrada con respecto a la operación de intersección, se sigue que para cualquier subconjunto de un espacio lineal existe un conjunto convexo más pequeño que lo contiene. Este conjunto es la intersección de todos los conjuntos convexos que contienen , y se llama el casco convexo de . Denotado por , , y también . $A$ $A$ $A$ $coA$ $co(A)$ $\operatorname {Conversión} A$
- El casco convexo de un conjunto convexo es el mismo que el propio conjunto.
- El casco convexo de un conjunto cerrado es un conjunto cerrado (y convexo).
- La envolvente convexa del conjunto coincide con el conjunto de todas las combinaciones lineales convexas de vectores , : $k$ ${\ estilo de visualización K}$ $u_{1},\;u_{2},\;\ldots,\;u_{r}\in K$
${\displaystyle w=\sum_{k=1}^{r}\lambda_{k}u_{k))$ , donde son números no negativos tales que . ${\ estilo de visualización \ lambda _ {1}, \; \ lambda _ {2}, \; \ ldots, \; \ lambda _ {r}}$ $\lambda _{1}+\lambda _{2}+\ldots +\lambda _{r}=1$
- Cualquier vector , donde es un subconjunto del espacio lineal bidimensional , puede representarse como una combinación convexa de no más de vectores del conjunto .
[1] Este enunciado se llama teorema del casco convexo de Carathéodory . $X\in \operatorname {Conv} K$ $k$ $norte$ ${\ Displaystyle E^{n}}$ $n+1$ $k$

Sea un conjunto convexo cerrado. Entonces hay un punto tal que para todos

{\displaystyle \Omega \subconjunto E^{n))

X^{*}\en \Omega

{\ Displaystyle X \ en \ Omega}

{\ estilo de visualización (X, X ^ {*}) \ geqslant (X ^ {*}, X ^ {*})}

. [una]

Para un conjunto convexo cerrado arbitrario y un punto que no le pertenece , existe un hiperplano que separa y . [1] Este enunciado se denomina teorema de separación [1] y también teorema del hiperplano de apoyo . El teorema del hiperplano de apoyo es un caso especial del teorema de análisis funcional de Hahn-Banach . $C$ $PAGS$ $C$ $PAGS$
Del teorema del hiperplano de apoyo se sigue que para un conjunto cerrado convexo y un punto fuera del conjunto , existe un semiespacio cerrado (conjuntos de puntos en el espacio que se encuentran a un lado del hiperplano , incluido el hiperplano mismo) , incluyendo y no contiene . De esto se sigue que todos los conjuntos convexos cerrados pueden estar formados por intersecciones de semiespacios cerrados. $C$ $C$ $PAGS$ $H$ $C$ $PAGS$
Teorema de Helly : Suponga que en una familia finita de subconjuntos convexos , la intersección de cualquiera de ellos no es vacía. Entonces la intersección de todos los subconjuntos de esta familia no está vacía. $\mathbb{R} ^{d}$ $d+1$
Cualquier conjunto convexo de unidad de área en puede estar completamente encerrado en algún triángulo de área 2 [2] . $\matemáticas {R} ^{2}$
El teorema de Krein-Milman . Un compacto convexo en un espacio localmente convexo coincide con el cierre de la envolvente convexa del conjunto de sus puntos extremos . $k$ $L$ $mi(k)$

Variaciones y generalizaciones

Sin cambios, la definición también es válida para espacios afines sobre una extensión arbitraria del campo de los números reales.

Algoritmos

Algoritmo de Dykstra : encontrar un punto a partir de la intersección de conjuntos convexos.

Véase también

Literatura

Yaglom IM , Boltyansky VG Figuras convexas . - M. - L. : GTTI, 1951. - 343 p. - (Biblioteca del círculo matemático, número 4). (Ruso)
Leuchtweiss, K. Conjuntos convexos. - M. : Nauka, 1985. - 336 p.
Polovinkin E.S. , Balashov M.V. Elementos de análisis convexo y fuertemente convexo. -M.: FIZMATLIT, 2004. - 416 p. —ISBN 5-9221-0499-3. .
Timorin V. A. Combinatoria de poliedros convexos . - M. : MTSNMO , 2002. - 16 p. — ISBN 5-94057-024-0 . .
Demyanov V. F. , Malozemov V. N. Introducción a minimax. - Moscú: La edición principal de la literatura física y matemática de la editorial Nauka, 1972. - 368 p.

Notas

↑ 1 2 3 4 5 Demyanov, Malozemov, 1972 .
↑ Weisstein, Eric W. Triangle Circunscribing en el sitio web de Wolfram MathWorld .