Segmento (geometría)

Un segmento de una curva plana es una figura plana (generalmente convexa ) encerrada entre la curva y su cuerda [1] .

El ejemplo más simple y más común de un segmento de curva plana es el segmento circular .

Características

Las principales características de un segmento de curva son su ancho, alto, área y longitud del borde.

Segmento circular

La longitud de la cuerda de un segmento circular de radio y altura se calcula mediante el teorema de Pitágoras : $C$ $R$ $h$

c=2{\sqrt {R^{2}-(Rh)^{2}}}=2{\sqrt {2Rh-h^{2}}}

El área de un segmento de un círculo de radio basado en el ángulo central (en radianes ) [2] : $S$ $R,$ $\textstyle\theta$

S = \frac{1}{2}R^2(\theta - \sin\theta)

Segmento de una parábola

Arquímedes en el siglo III a.C. mi. demostró que el área de un segmento de una parábola cortado de ella por una línea recta es 4/3 del área de un triángulo inscrito en este segmento (ver figura).

Segmento de elipse

Sea la elipse dada por la ecuación canónica:

{\ fracción {x^{2}}{a^{2}}}+{\ fracción {y^{2}}{b^{2}}}=1

El área del segmento entre el arco, convexo a la izquierda, y la cuerda vertical que pasa por un punto con una abscisa se puede determinar mediante la fórmula [3] : $X,$

S={\frac {\pi ab}{2}}-{\frac {b}{a}}\left(x\,{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}+a ^{2}\arcsen {\frac {x}{a}}\right).

Otros tipos de dovelas planas

La tarea de encontrar el área y la longitud del arco de un segmento arbitrario requiere el uso de métodos de cálculo integral , que históricamente fue creado para este mismo propósito.

Área

Para calcular el área de un segmento, lo más conveniente es elegir la cuerda correspondiente de la curva como eje x . Entonces el área del segmento, es decir, el área bajo la curva que corta el eje x en los puntos a y b , es igual a: $y=f(x)$

S=\int \limits_{a}^{b}f(x)dx

Por ejemplo, el área bajo el primer arco de una sinusoide se calcula como una integral :

S=\int \limits _{0}^{\pi }{\sin xdx}=-\cos(\pi )+\cos(0)=2

Otro ejemplo: el área de un segmento (arco) de una cicloide generada por una circunferencia de radio es igual , es decir, tres veces el área de la circunferencia generadora [4] . $R,$ ${\ estilo de visualización 3 \ pi R ^ {2},}$

Longitud de arco

La longitud de una curva arbitraria, incluido el arco de un segmento, se calcula mediante la fórmula

L=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {1+\left(f'\left(x\right)\right)^{2}}}\,dx

Por ejemplo, para calcular la longitud del primer arco de una sinusoide, es necesario calcular la integral elíptica normal de Legendre de 2ª especie , que no se toma explícitamente. Por lo tanto, para calcular este tipo de integrales hoy en día, se suele utilizar inmediatamente la integración numérica .

Notas

↑ Segmento // Enciclopedia Matemática (en 5 volúmenes). - M .: Enciclopedia soviética , 1984. - T. 4. - S. 1100-1101.
↑ Matemáticas elementales, 1976 , p. 512.
↑ Korn G., Korn T. Handbook of Mathematics (para científicos e ingenieros). - M. : Nauka, 1973. - S. 68. - 720 p.
↑ Alexandrova N. V. Historia de los términos matemáticos, conceptos, notación: Diccionario-libro de referencia, ed. 3ro . - San Petersburgo. : LKI, 2008. - S. 213 . — 248 págs. - ISBN 978-5-382-00839-4 .

Literatura

Zaitsev V. V., Ryzhkov V. V., Skanavi M. I. Matemáticas elementales. Repetir curso. - Tercera edición, estereotipada. — M .: Nauka, 1976. — 591 p.