Función simétrica

Una función simétrica de n variables es una función cuyo valor en cualquier n -tupla de argumentos es el mismo que el valor en cualquier permutación de esta n -tupla [1] . Si, por ejemplo, la función puede ser simétrica en todas las variables o pares , o . Si bien puede referirse a cualquier función para la que n argumentos tengan el mismo dominio, se refiere más comúnmente a polinomios , que en este caso son polinomios simétricos . Fuera de los polinomios, la teoría de las funciones simétricas es pobre y poco utilizada. Además, la cantidad exacta de variables generalmente no es importante, se cree que simplemente hay muchas. Para hacer más rigurosa esta idea, se utiliza el límite proyectivo para pasar al llamado anillo de funciones simétricas , que formalmente contiene una infinidad de variables. $f(\mathbf {x} )=f(x_{1},x_{2},x_{3})$ $(x_{1},x_{2})$ ${\ estilo de visualización (x_{2},x_{3})}$ ${\ estilo de visualización (x_{1},x_{3})}$ $\lambda$

Simetrización

Dada cualquier función f de n variables con valores en un grupo abeliano (es decir, en un grupo con una operación conmutativa), se puede construir una función simétrica sumando los valores de f sobre todas las permutaciones de los argumentos. De manera similar, la función antisimétrica se puede construir como la suma de todas las permutaciones pares , de la cual se resta la suma de todas las permutaciones impares. Estas operaciones son, por supuesto, irreversibles y pueden conducir a una función idéntica a cero para una función f no trivial . El único caso en el que se puede recuperar f cuando se conocen la simetrización y la antisimetrización de la función es cuando n = 2 y el grupo abeliano se puede dividir por 2 (el inverso de la duplicación). En este caso, f es igual a la mitad de la suma de simetrización y antisimetrización.

Anillo de funciones simétricas

Considere la acción de un grupo simétrico en un anillo polinomial en n variables. Funciona permutando variables. Como se mencionó anteriormente, los polinomios simétricos son exactamente aquellos que no cambian bajo la acción de los elementos de este grupo. Así, forman un subanillo: ${\ Displaystyle S_ {n}}$ $\mathbb {Z} [x_{1},\puntos,x_{n}]$

\Lambda _{n}=\mathbb {Z} [x_{1},\dots,x_{n}]^{S_{n))

A su vez, es un anillo graduado : ${\ estilo de visualización \ Lambda _ {n}}$

{\ estilo de visualización \ Lambda _ {n} = \ bigoplus _ {k \ geq 0} \ Lambda _ {n}^ {k}}

, donde consta de polinomios simétricos homogéneos de grado k , así como un polinomio cero.

{\ estilo de visualización \ Lambda _ {n} ^ {k}}

A continuación, utilizando el límite proyectivo , definimos el anillo de funciones simétricas de grado k :

{\displaystyle \Lambda ^{k}=\varprojlim _{n}\Lambda _{n}^{k))

Finalmente, obtenemos un anillo graduado , que se denomina anillo de funciones simétricas. ${\ estilo de visualización \ Lambda = \ bigoplus _ {k \ geq 0} \ Lambda ^ {k}}$

Comentarios.

$\lambda$ no es un límite proyectivo (en la categoría de los anillos). Por ejemplo, un producto infinito no está contenido en , porque contiene monomios de grado arbitrariamente grande. ${\ estilo de visualización \ Lambda _ {k}}$ $\prod_{j=1}^{\infty}(1+x_{j})$ $\lambda$
"Determinante" tampoco tiene equivalente en . $(\prod_{i<j}(x_{i}-x_{j))^{2}$ $\lambda$

Bases en el espacio de funciones simétricas

base monomio. Para cada partición , definimos un monomio . No es un polinomio simétrico y también contiene solo un número finito de variables que entran en él con grado distinto de cero. Ahora vamos a sumar el conjunto de monomios obtenidos de él por todas las posibles permutaciones de índices (cada monomio se suma una sola vez, incluso si se puede obtener usando varias permutaciones diferentes): . Es fácil comprender que tales que forman una base , y por lo tanto todos forman una base , lo que se llama monomio. ${\ estilo de visualización \ lambda = (\ lambda _ {1}, \ lambda _ {2}, \ puntos)}$ $x^{\lambda }=x_{1}^{\lambda_{1}}x_{2}^{\lambda_{2}}\puntos$ $x_{\alpha }^{\lambda }$ $\alfa$ ${\displaystyle m_{\lambda }=\sum_{\alpha }x_{\alpha }^{\lambda ))$ ${\ Displaystyle m_ {\ lambda}}$ ${\ estilo de visualización | \ lambda | = n}$ ${\ estilo de visualización \ Lambda ^ {n}}$ ${\ Displaystyle m_ {\ lambda}}$ $\lambda$

Funciones simétricas elementales. Para cada entero , definimos — la suma de todos los productos posibles de r variables diferentes. Así , para : $r\geq 0$ ${\ Displaystyle e_ {r}}$ ${\ estilo de visualización e_ {0} = 1}$ ${\ estilo de visualización r \ geq 1}$

e_{r}=\sum _{i_{1}<i_{2}<\puntos <i_{r}}x_{i_{1}}x_{i_{2}}\puntos x_{i_{ r}}=m_{(1^{r})}

Para cada partición , la función simétrica elemental es Forman una base en el espacio .

\lambda

e_{\lambda }=e_{\lambda _{1}}e_{\lambda _{2}}\puntos

\lambda

Funciones simétricas completas. Para cada entero definimos — la suma de todas las funciones monomiales de grado r . Así , para : $r\geq 0$ ${\ Displaystyle h_ {r}}$ ${\ estilo de visualización h_ {0} = 1}$ ${\ estilo de visualización r \ geq 1}$

{\displaystyle h_{r}=\sum _{|\lambda |=r}m_{\lambda ))

Además, como en el caso de las funciones elementales, establecemos

h_{\lambda }=h_{\lambda _{1}}h_{\lambda _{2}}\puntos

Sumas de potencia. Para cada uno , la suma de potencias se llama . ${\ estilo de visualización r \ geq 1}$ ${\displaystyle p_{r}=\sum_{i\geq 1}^{\infty}x_{i}^{r}=m_{(r)))$

Para la partición , la suma de potencias se define como $\lambda$ $p_{\lambda }=p_{\lambda _{1}}p_{\lambda _{2}}\puntos$

identidades

$\sum_{i=0}^{k}(-1)^{i}e_{i}h_{ki}=0=\sum_{i=0}^{k}(-1) ^{i}h_{i}e_{ki}$ , para todo k > 0 ,
${\displaystyle ke_{k}=\sum_{i=1}^{k}(-1)^{i-1}p_{i}e_{ki))$ , para todo k > 0 ,
${\displaystyle kh_{k}=\sum_{i=1}^{k}p_{i}h_{ki))$ , para todo k > 0 .

Relaciones para funciones generadoras.

Es fácil demostrar que $E(t)=\sum_{r\geq 0}e_{r}t^{r}=\prod_{i\geq 1}(1+x_{i}t)$

También $H(t)=\sum_{r\geq 0}h_{r}t^{r}=\prod_{i\geq 1}(1-x_{i}t)^{-1}$

De aquí se sigue la relación $H(t)E(-t)=1$

Finalmente, . $P(t)=\sum_{r\geq 1}p_{r}t^{r-1}=\sum_{i\geq 1}\sum_{r\geq 1}x_{i }^{r}t^{r-1}=\sum_{i\geq 1}{\frac {x_{i}}{1-x_{i}t}}=\sum_{i\geq 1 }{\frac {d}{dt}}ln{\frac {1}{1-x_{i}t}}={\frac {d}{dt}}ln\prod _{i\geq 1}( 1-x_{i}t)^{-1}={\frac {d}{dt}}lnH(t)={\frac {H'(t)}{H(t)))$

Obtenemos de manera similar . $P(-t)={\frac {d}{dt}}lnE(t)={\frac {E'(t)}{E(t)))$

Funciones de Schur . Sea un número finito de variablesy una particióntal que(la longitud de la partición no exceda el número de variables). Entonces el polinomio de Schur de una particiónen n variables esun polinomio simétrico homogéneo de grado. En, estos polinomios convergen en un solo elemento, llamado función de partición de Schur. ${\displaystyle x_{1},x_{2},\puntos,x_{n))$ $\lambda$ ${\ estilo de visualización l (\ lambda) \ leq n}$ $\lambda$ $s_{\lambda }(x_{1},x_{2},\dots,x_{n})={\frac {det(x_{i}^{\lambda_{j}+nj}) _{1\leq i,j\leq n}}{det(x_{i}^{nj})_{1\leq i,j\leq n}}}$ ${\ estilo de visualización | \ lambda |}$ $n\rightarrow\infty$ ${\ Displaystyle s_ {\ lambda} \ en \ Lambda}$ $\lambda$

Funciones de Jack . Con la introducción de un producto escalar especial,son una generalización de las funciones de Schur, conservando muchas de sus propiedades. $\lambda$

Aplicaciones

Estadísticas U

En estadística , una estadística de n muestras (una función de n variables) obtenida simetrizando con bootstrap una estadística en una muestra de k elementos da una función simétrica de n variables, llamada U-statistic . Los ejemplos incluyen la media muestral y la varianza muestral .

Véase también

Polinomios simétricos elementales
Función cuasi simétrica
Anillo de funciones simétricas

Notas

↑ Van der Waerden, 1979 , pág. 121.

Literatura

Macdonald IG Funciones simétricas y polinomios ortogonales. Nuevo Brunswick, Nueva Jersey. Serie de conferencias universitarias, 12. Sociedad Matemática Estadounidense, Providence, Rhode Island, 1998. xvi+53 págs. ISBN 0-8218-0770-6 SEÑOR : 1488699
Macdonald IG Funciones simétricas y polinomios de Hall. segunda edicion. Monografías matemáticas de Oxford. Publicaciones científicas de Oxford. The Clarendon Press, Oxford University Press, Nueva York, 1995. x+475 págs. ISBN 0-19-853489-2 1ª edición (indefinida) . — 1979.
McDonald I. Funciones simétricas y polinomios de Hall. -Mir, 1984. - 224 p.
David FN, Kendall MG , Barton DE Función simétrica y tablas afines. — Prensa de la Universidad de Cambridge , 1966.
Joseph PS Kung, Gian-Carlo Rota, Catherine H. Yan. Combinatoria: El Camino Rota. – Cambridge University Press, 2009. – xii+396 p. - ISBN 978-0-521-73794-4 .
— §5.1 Funciones simétricas, pág. 222–225.
— §5.7. Funciones simétricas sobre campos finitos, pág. 259–270.
Van der Waerden B. L. Álgebra. - M. : "Nauka", 1979.
- §33. Funciones simétricas, pág. 121.