Sistema de axiomas de Von Neumann-Bernays-Gödel

El sistema de axiomas de von Neumann-Bernays-Gödel ( NBG , Gödel-Bernays axiomatics ) en metamatemáticas es una de las principales teorías axiomáticas de conjuntos . Este sistema es una extensión de la teoría canónica de Zermelo-Fraenkel con el axioma de elección ( ZFC ). Las oraciones formuladas en el lenguaje de la teoría ZFC son demostrables en ZFC si y solo si son demostrables en NBG.

La teoría NBG incluye además el concepto de su propia clase : un objeto que tiene elementos, pero que en sí mismo no puede ser miembro de ningún objeto. El NBG solo incluye definiciones de conceptos que no se refieren al concepto que se está definiendo; los valores de las variables vinculadas en las fórmulas solo pueden ser conjuntos. La exclusión de este principio (la ausencia de referencias al concepto que se define dentro de las definiciones) convierte al sistema NBG en un sistema Morse-Kelly (MK). NBG, a diferencia de ZFC y MK, se puede axiomatizar finitamente (mediante un número finito de axiomas).

Sistema conceptual

Fundamental para NBG es la distinción entre clases propias y conjuntos . Dejar y ser objetos. Entonces se define una proposición simple si es un conjunto y es una clase; en otras palabras, se define si no es una clase propia. Las clases pueden ser muy grandes, NBG incluso tiene una clase de todos los conjuntos, una clase genérica llamada . Sin embargo, en NBG es imposible tener una clase de todas las clases (ya que una clase propia no puede ser miembro de una clase) o un conjunto de todos los conjuntos (su existencia contradice el sistema de axiomas ). $a$ $s$ $a \ en s$ $a$ $s$ $a \ en s$ $a$ $V$

En el sistema de axiomas de NBG, todos los objetos que satisfacen todas las fórmulas dadas de la lógica de primer orden de NBG forman una clase. Si una clase no puede satisfacer el sistema de axiomas ZFC, entonces es su propia clase . El desarrollo de las clases refleja el desarrollo de la teoría ingenua de conjuntos. Se da el principio de abstracción, lo que significa que se pueden formar clases a partir de todos los objetos que satisfacen todas las oraciones de la lógica de primer orden; además, las oraciones simples pueden incluir una relación de pertenencia o predicados que usen esta relación. La igualdad, la operación de formar un par de elementos, subclases y otros conceptos similares están definidos y no requieren axiomatización: sus definiciones significan una abstracción concreta de la fórmula. Los conjuntos se describen mediante un método cercano a ZF. Definir (el conjunto representa la clase ) es una relación binaria definida como ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {Rp} (A, a)}$ $a$ $A$

$\operatorname {Rp} (A,a):=\forall x(x\in A\leftrightarrow x\in a).$

Esto quiere decir que representa si todos los elementos pertenecen y viceversa. Las clases que no tienen un conjunto que las represente se llaman clases propias [1] . Un ejemplo de una clase propia es la clase de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos (una clase que apela a la paradoja de Russell ). $a$ $A$ $a$ $A$

Historia

La primera versión de NBG incluía funciones, no conjuntos, como conceptos básicos (von Neumann, 1920). En una serie de artículos publicados entre 1937 y 1954, Paul Bernays modificó la teoría de von Neumann para convertir los conjuntos y la relación de pertenencia en conceptos básicos; también encontró que esta teoría podría ser axiomatizada por un número finito de axiomas. Gödel (1940), mientras investigaba la independencia de la hipótesis del continuo , simplificó y utilizó la teoría. Montagu demostró que ZFC no se puede axiomatizar finitamente.

Axiomatización de NBG

A continuación, las variables en minúsculas denotan conjuntos y las variables en mayúsculas denotan clases. Así, significa que el conjunto pertenece al conjunto (es un elemento del conjunto ); a significa que el conjunto es miembro de la clase . Las expresiones , , significan que (aquí no seremos del todo estrictos en aras de la sencillez). Al describir un sistema formal, podríamos usar símbolos de un tipo y los conjuntos serían clases que son miembros de al menos otra clase. ${\ estilo de visualización x \ en y}$ $X$ $y$ $y$ ${\ estilo de visualización x \ en Y}$ $X$ $Y$ $x=y$ ${\ estilo de visualización x = Y}$ $X=Y$ $\forall a(a\in X\leftrightarrow a\in Y)$

Primero, construimos el sistema de axiomas NBG utilizando el esquema de axiomas de generación de clases (el esquema corresponde a un conjunto infinito de axiomas). Este esquema es equivalente a 9 axiomas [2] . Así, estos 9 axiomas pueden reemplazar el esquema de generación de clases. Por lo tanto, NBG es finitamente axiomatizable.

El sistema de axiomas, incluido el esquema de generación de clases

Los siguientes 5 axiomas son los mismos que los axiomas ZFC correspondientes

Axioma de extensionalidad . . Los conjuntos que contienen los mismos elementos son iguales. $\forall x(x\in a\leftrightarrow x\in b)\rightarrow a=b$
Axioma de existencia de pares . . Para cada conjunto y para cada conjunto existe un conjunto cuyos elementos son únicamente y ). Del axioma de la existencia de un par (suponiendo ) se sigue que para cada conjunto hay un conjunto formado por un solo elemento: . Además, se puede definir un par ordenado de conjuntos como, por ejemplo, . Usando el esquema de generación de clases de subclases (ver más abajo), obtenemos que cualquier relación es también una clase. Algunas de estas relaciones son funciones de una o más variables, inyecciones, biyecciones de una clase a otra. El axioma de existencia de pares es un axioma en la teoría de conjuntos de Zermelo y un teorema en ZFC. ${\displaystyle \forall x\forall y\exists z\forall w{\big (}w\in z\leftrightarrow (w=x\lor w=y){\big )))$ $X$ $y$ ${\ estilo de visualización \ {x, y \}}$ $X$ $y$ $x=y$ $X$ $\{X\}$ $(a, b)$ ${\grande \{}\{a\},\{a,b\}{\grande \))$
Axioma de unificación . Para cada conjunto , hay un conjunto que consta exactamente de todos los elementos de los elementos . $X$ $X$
El axioma del conjunto de subconjuntos . Para cada conjunto , hay un conjunto que consta exactamente de todos los subconjuntos de . $X$ $X$
Axioma del infinito . Hay un conjunto que cumple dos condiciones: el conjunto vacío pertenece a ; para cada uno que pertenece a , el conjunto también pertenece a . Este axioma se puede formular de tal manera que se implicará la existencia de un conjunto vacío [3] . $X$ $X$ $y$ $X$ ${\grande \{}y,\{y\}{\grande \))$ $X$

Los siguientes axiomas describen principalmente las propiedades de las clases (y por lo tanto incluyen letras mayúsculas). Los dos primeros difieren de los de ZFC solo en que reemplazan las letras minúsculas por mayúsculas.

Axioma de extensionalidad (para clases) . . Las clases con los mismos elementos son clases iguales. $\forall x(x\in A\leftrightarrow x\in B)\rightarrow A=B$
Axioma de regularidad . Cada clase no vacía contiene un elemento cuya intersección con está vacía. $A$ $A$

Los dos últimos axiomas son el sello distintivo de NBG.

Axioma de limitación de potencia . Para cada clase, existe un conjunto que satisface la condición si y solo si no hay biyección entre y la clase de todos los conjuntos. De este axioma, debido a von Neumann, se puede derivar el esquema del axioma de subconjunto, el esquema del axioma de transformación y el axioma de elección global. En particular, el axioma de elección global se puede deducir porque la clase de ordinales no es un conjunto; entonces hay una biyección entre la clase de todos los ordinales y . Si el axioma de restricción de cardinalidad se relaja a lo siguiente: si el dominio de una función de clase es un conjunto, entonces el dominio también es un conjunto, entonces el axioma de elección no es un teorema NBG en ninguna forma. En este caso, el axioma de elección en cualquiera de las formas se puede agregar como axioma, si es necesario. El axioma de elección en esta forma se puede encontrar en Mendelson (1997) NGB. Allí encontramos el axioma de elección usual para conjuntos y la siguiente forma del esquema del axioma de transformación: si una clase es una función cuyo dominio es un conjunto, entonces su dominio también es un conjunto [4] $C$ $C$ ${\ estilo de visualización c = C}$ $C$ $V$ $V$ $F$
Esquema de axiomas de generación de subclases . Para cada fórmula que no contiene cuantificadores para variables de clase (la fórmula puede contener variables de clase como parámetros), existe una clase tal que . Este axioma afirma el principio de asignación ilimitada (subconjuntos) de la teoría de conjuntos ingenua. Sin embargo, las clases son preferibles a los conjuntos porque las paradojas se eliminan de la teoría de conjuntos. $\varphi$ $A$ ${\displaystyle \forall x{\big (}x\in A\leftrightarrow \varphi (x){\big )))$

El esquema del axioma de generación de subclases es el único esquema en NBG. A continuación, mostramos cómo este esquema puede ser reemplazado por una serie de casos especiales, como resultado de lo cual NBG se vuelve finitamente axiomatizable. Si las variables vinculadas en una fórmula pueden abarcar clases (y no solo conjuntos), entonces obtenemos la teoría de conjuntos de Morse-Kelly, una extensión adecuada de ZFC que no se puede axiomatizar finitamente. $\varfi(x)$

Reemplazo del esquema de generación de subclases con una serie de casos especiales

Una característica atractiva y algo críptica de NBG es que el esquema de subclasificación puede ser reemplazado por varios axiomas que describen casos especiales. Los siguientes axiomas pueden reemplazar completamente el esquema de generación de subclases. El método de axiomatización que se presenta a continuación no coincide necesariamente con el que se puede encontrar en las fuentes impresas [5] .

Describiremos nuestra axiomatización describiendo la estructura de las fórmulas. Primero, necesitamos tener un stock inicial de clases.

conjuntos _ Para cada conjunto hay una clase tal que . Este axioma, junto con los axiomas de conjuntos de la sección anterior, proporciona un conjunto inicial de clases y nos permite escribir fórmulas con clases como parámetros. $X$ $X$ ${\ estilo de visualización X = x}$

A continuación, describimos el método por el cual formaremos expresiones de lógica proposicional. Sea y . Entonces , . Dado que con la ayuda de operaciones y es posible escribir cualquier expresión de lógica proposicional, es suficiente para nosotros definir la suma y la intersección de clases. ${\displaystyle A=\{x\mid \varphi\))$ ${\displaystyle B=\{x\mid \psi\))$ $\{x\mid \lnot\varphi\}=VA$ $\{x\mid \varphi \vee \psi \}=A\cup B$ $\lno$ $\tierra$

Adición _ Para cada clase, el complemento es una clase. $A$ $VA=\{x\mid x\notin A\}$
intersección _ Para cualquier clase y la intersección es una clase. $A$ $B$ $A\cap B=\{x\mid x\in A\land x\in B\}$

Ahora comenzaremos a avanzar hacia la inclusión de cuantificadores en las fórmulas. Para usar múltiples variables, debe poder describir las relaciones. Definamos un par ordenado y como siempre: . A continuación, describimos axiomas usando pares ordenados: $a$ $b$ ${\grande \{}\{a\},\{a,b\}{\grande \))$

producto _ Para cualquier clase , y el producto es una clase (en la práctica, solo necesitamos ). $A$ $B$ $A\times B=\{(a,b)\mid a\in A\land b\in B\}$ $V\veces A$
permutaciones _ Hay clases para cada clase. $R$ $\operatorname {Conv1} (R)=\{(b,a)\mid (a,b)\en R\},$ $\operatorname {Conv2} (R)={\big \{}{\big (}b,(a,c){\big )}\,{\big |}\,{\big (}a ,(b,c){\grande )}\in R{\grande \)).$
Asociatividad . Hay clases para cada clase. $R$ $\operatorname {Assoc1} (R)={\grande \{}{\grande (}(a,b),c)\,{\grande |}\,{\grande (}a,(b, c){\grande)}\en R{\grande \)),$ $\operatorname {Assoc2} (R)={\Big \{}{\Big (}d,{\big (}a,(b,c){\big )}{\Big )}\,{ \Grande |}\,{\Grande (}d,{\grande (}(a,b),c){\grande )}{\Grande )}\en R\}.$

Estos axiomas le permiten agregar argumentos ficticios, así como cambiar el orden de los argumentos en las relaciones de cualquier aridad . Una forma especial de asociatividad está diseñada específicamente para poder mover cualquier expresión de la lista al principio de la lista (por supuesto, también usando permutaciones). Representamos la lista de argumentos como (es decir, como un par de cabeza (primer argumento) y cola (otros argumentos)). La idea es aplicar hasta que el argumento que nos interesa se convierta en el segundo, luego aplicar o , y luego aplicar hasta el uso de . $(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n})$ ${\displaystyle {\grande (}x_{1},(x_{2},\ldots,x_{n}){\grande )))$ $\operatorname {Asociación1}$ $\operatorname {Asociación1}$ $\operatorname {Asociación2}$ $\operatorname {Asociación2}$ $\operatorname {Asociación1}$

A continuación, queremos axiomatizar el siguiente conjunto de declaraciones: si es una clase que es una relación, entonces su rango es una clase. ${\ estilo de visualización \ {(x, y) \ mid \ varphi (x, y) \}}$ ${\displaystyle \{y\mid \existe x\,\varphi (x,y)\))$

rangos _ Para cada clase , hay una clase . $R$ ${\displaystyle \operatorname {Rng} (R)=\{y\mid \existe x\,(x,y)\en R\))$

Así hemos obtenido el cuantificador existencial; el cuantificador universal se puede obtener a través del cuantificador existencial y la negación. Los axiomas anteriores nos permiten mover un argumento al frente de la lista de argumentos para aplicarle un cuantificador.

Finalmente, cada fórmula simple implica la existencia de las siguientes relaciones de clases:

afiliación _ Hay una clase . $[{\in }]=\{(x,y)\mid x\in y\}$
Clase diagonal . Hay una clase . ${\displaystyle [{=}]=\{(x,y)\mid x=y\))$

La clase diagonal, junto con la capacidad de reorganizar argumentos y agregar argumentos ficticios, le permite sustituir los mismos argumentos en relaciones.

Variante de Mendelssohn

Mendelssohn se refiere a sus axiomas B1 - B7 como los axiomas de la existencia de clases. Cuatro de ellos coinciden con los anteriores: B1 - pertenencia; B2 - intersección; B3 - adición; B5 - multiplicación. B4 - el rango se da en forma de existencia del dominio (el cuantificador de existencia es y , no y ). Los dos últimos axiomas son: $y$ $X$

B6 $\para todo X\,\existe Y\,\para todo uvw\,[(u,v,w)\en Y\leftrightarrow (v,w,u)\en X],$
B7 $\forall X\,\exists Y\,\forall uvw\,[(u,v,w)\in Y\leftrightarrow (u,w,v)\in X].$

B6 y B7 nos permiten hacer lo que en nuestro caso se hizo usando los axiomas de permutación y asociatividad. Para cada clase que contiene triples, hay otra clase que contiene los mismos triples, en la que los elementos se permutan de la misma manera.

Discusiones

Para una discusión de las cuestiones filosóficas y ontológicas planteadas por NBG, especialmente en relación con las diferencias con ZFC y MK, consulte el Apéndice C de Potter (2004).

Aunque NBG es una extensión de ZFC, algunos teoremas se pueden demostrar de manera más simple y elegante en NBG que en ZFC (o viceversa). Para una revisión de los resultados conocidos en esta área, ver Pudlak (1998).

Teoría de modelos

ZFC, MK, NBG tienen un modelo definido usando (modelo estándar en ZFC y universo en NBG). Ahora incluyamos un número cardinal inalcanzable . Designemos los subconjuntos definidos . Después $V$ $V$ $k$ ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {Def} (x)}$ $\Delta _{0}$ $X$

$V_{k}$ es un modelo ZFC.
${\ estilo de visualización \ nombre del operador {Def} (X)}$ es el modelo NBG,
$V_{{k+1}}$ es el modelo MK.

Teoría de categorías

El sistema de conceptos NBG nos permite hablar de objetos grandes sin riesgo de tropezar con una paradoja. En particular, en muchas interpretaciones de la teoría de categorías, una categoría grande significa una categoría en la que un conjunto de objetos es una clase propia, al igual que un conjunto de morfismos. Las categorías pequeñas, por otro lado, son categorías donde los conjuntos de objetos y los morfismos son conjuntos. Por tanto, sin riesgo de paradojas, podemos hablar de la categoría de todos los conjuntos o de la categoría de todas las categorías pequeñas. Estas categorías son, por supuesto, grandes. Pero no se puede hablar de una categoría de todas las categorías, ya que tendría que incluir la categoría de todas las categorías pequeñas. Sin embargo, existen otras extensiones de los sistemas de conceptos que permiten hablar del conjunto de todas las categorías como una categoría (ver la cuasi-categoría de todas las categorías en Adámek et al. (1990)).

Un sistema de conceptos que incluya clases y conjuntos es suficiente para justificar la teoría de categorías (Muller, 2001).

Notas

↑ Término en inglés . la clase adecuada se traduce como una clase adecuada de acuerdo con el libro traducido de S. McLane "Categorías para el matemático que trabaja".
↑ Mendelson (1997), pág. 232, la Proposición 4.4 prueba que el esquema de generación de clases es equivalente a los axiomas B1-B7 descritos en la p. 230.
↑ Mendelson (1997), pág. 239, ej. 4.22(b).
↑ Mendelson (1997), pág. 239, axioma R.
↑ Este artículo es una traducción de la Wikipedia en inglés.

Literatura

Adámek, Jiří; Herrlich, Horst & Strecker, George E. (1990), Categorías abstractas y concretas (The Joy of Cats) (1.ª ed.), Nueva York: Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-60922-3 , < http: //katmat.math.uni-bremen.de/acc/ >
Bernays, Paul (1937), A System of Axiomatic Set Theory—Part I , The Journal of Symbolic Logic Vol . 2 (1): 65–77 , DOI 10.2307/2268862
Bernays, Paul (1941), A System of Axiomatic Set Theory—Part II , The Journal of Symbolic Logic Vol . 6 (1): 1–17 , DOI 10.2307/2267281
Bernays, Paul (1991), Teoría de conjuntos axiomáticos (2.ª edición revisada), Publicaciones de Dover, ISBN 978-0-486-66637-2
Bourbaki, Nicolas (2004), Elementos de Matemáticas: Teoría de Conjuntos , Springer, ISBN 978-3-540-22525-6 , < https://archive.org/details/springer_10.1007-978-3-642-59309 -3 >
Chuaqui, Rolando (1981), Teoría axiomática de conjuntos: teorías impredicativas de clases , Holanda Septentrional, ISBN 0-444-86178-5
Cohen, Paul (1963), The Independence of the Continuum Hypothesis , Actas de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos de América Vol . 50 (6): 1143–1148, PMID 16578557 , DOI 10.1073/pnas.50.6.1143
Cohen, Paul (1966), Teoría de conjuntos y la hipótesis del continuo , W. A. Benjamin
Dawson, John W. (1997), Dilemas lógicos: la vida y obra de Kurt Gödel , Wellesley, MA: AK Peters
Easton, William B. (1964), Poderes de los cardenales regulares , Universidad de Princeton
Felgner, Ulrich (1971), Comparación de los axiomas de elección local y universal , Fundamenta Mathematicae T. 71: 43–62, doi : 10.4064/fm-71-1-43-62 , < http://matwbn.icm. edu.pl/ksiazki/fm/fm71/fm7113.pdf >
Ferreirós, José (2007), Labyrinth of Thought: A History of Set Theory and its Role in Mathematical Thought (2ª ed. revisada), Basilea, Suiza: Birkhäuser, ISBN 978-3-7643-8349-7
Gödel, Kurt (1940), La coherencia del axioma de elección y de la hipótesis del continuo generalizado con los axiomas de la teoría de conjuntos (edición revisada), Princeton University Press, ISBN 978-0-691-07927-1
Gödel, Kurt (1986), Obras completas, Volumen 1: Publicaciones 1929–1936 , Oxford University Press, ISBN 978-0-19-514720-9
Gödel, Kurt (1990), Obras completas, Volumen 2: Publicaciones 1938–1974 , Oxford University Press, ISBN 978-0-19-514721-6
Gödel, Kurt (2003), Obras completas, Volumen 4: Correspondencia AG , Oxford University Press, ISBN 978-0-19-850073-5
Gray, Robert (1991), Programas informáticos y pruebas matemáticas , The Mathematical Intelligencer vol.13 (4): 45–48 , DOI 10.1007/BF03028342
Hallett, Michael (1984), Teoría de conjuntos cantorianos y limitación de tamaño (edición de tapa dura), Oxford: Clarendon Press, ISBN 978-0-19-853179-1
Kanamori, Akihiro (2009b), The Higher Infinite: Large Cardinals in Set Theory from Their Beginnings , Springer, ISBN 978-3-540-88867-3
Kanamori, Akihiro (2009), Bernays and Set Theory , Bulletin of Symbolic Logic vol .15 (1): 43–69, doi : 10.2178/bsl/1231081769 , < http://math.bu.edu/people/aki/ 17a.pdf >
Kanamori, Akihiro (2012), Elogio del reemplazo , Boletín de lógica simbólica Vol. 18 (1): 46–90, doi : 10.2178/bsl/1327328439 , < http://math.bu.edu/people/aki/ 20.pdf >
Kunen, Kenneth (1980), Teoría de conjuntos: Introducción a las pruebas de independencia (edición de tapa dura), Holanda Septentrional, ISBN 978-0-444-86839-8
Mendelson, Elliott (1997), Introducción a la lógica matemática (4.ª ed.), Londres: Chapman and Hall/CRC, ISBN 978-0-412-80830-2 - págs. 225-86 contienen el tratamiento clásico de los libros de texto de NBG, mostrando cómo hace lo que esperamos de la teoría de conjuntos, fundamentando las relaciones , la teoría del orden , los números ordinales , los números transfinitos , etc.
Mirimanoff, Dmitry (1917), Les antinomies de Russell et de Burali-Forti et le problème fondamental de la théorie des ensembles, L'Enseignement Mathématique T. 19: 37–52
Montague, Richard (1961), Semantic Closure and Non-Finite Axiomatizability I, en Buss, Samuel R. , Infinitistic Methods: Proceedings of the Symposium on Foundations of Mathematics , Pergamon Press, p. 45–69
Mostowski, Andrzej (1950), Algunas definiciones impredicativas en la teoría axiomática de conjuntos , Fundamenta Mathematicae Vol . 37: 111–124, doi : 10.4064/fm-37-1-111-124 , < http://matwbn.icm.edu .pl/ksiazki/fm/fm37/fm37110.pdf >
Muller, FA (1 de septiembre de 2001), Conjuntos, clases y categorías , British Journal for the Philosophy of Science , volumen 52 (3): 539–73, doi : 10.1093/bjps/52.3.539 , < http://philsci -archive.pitt.edu/1372/1/SetClassCat.PDF >
Müller, Gurt, ed. (1976), Conjuntos y clases: sobre el trabajo de Paul Bernays , Estudios de lógica y fundamentos de las matemáticas, volumen 84, Ámsterdam: Holanda Septentrional, ISBN 978-0-7204-2284-9
Potter, Michael (2004), Teoría de conjuntos y su filosofía: una introducción crítica (edición de tapa dura), Oxford University Press, ISBN 978-0-19-926973-0
Pudlák, Pavel (1998), The Lengths of Proofs , en Buss, Samuel R. , Handbook of Proof Theory , Elsevier, p. 547–637, ISBN 978-0-444-89840-1
Smullyan, Raymond M. & Fitting, Melvin (2010), Teoría de conjuntos y el problema continuo , Dover, ISBN 978-0-486-47484-7
Solovay, Robert M. (1990), Nota introductoria a 1938 , 1939 , 1939a y 1940 , Obras completas de Kurt Gödel, Volumen 2: Publicaciones 1938–1974 , Oxford University Press, p. 1–25, ISBN 978-0-19-514721-6
von Neumann, John (1923), Zur Einführung der transfiniten Zahlen , Acta Litt. Academia Carolina del Sur. Szeged X. T. 1: 199–208 , < http://bbi-math.narod.ru/newmann/newmann.html >
von Neumann, John (1925), Eine Axiomatisierung der Mengenlehre , Journal für die Reine und Angewandte Mathematik T. 154: 219–240 , < http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/? PPN=PPN243919689_0154&DMDID=DMDLOG_0025 >

Enlaces

von Neumann, John (1928), Die Axiomatisierung der Mengenlehre , Mathematische Zeitschrift T. 27: 669–752, doi : 10.1007/ bf01171122 , > .
von Neumann, John (1929), Über eine Widerspruchsfreiheitsfrage in der axiomatischen Mengenlehre , Journal für die Reine und Angewandte Mathematik T. 160: 227–241 , < http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/ img/?PPN=PPN243919689_0160&DMDID=DMDLOG_0019 > .

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