Conjunto universal

Un conjunto universal es un conjunto en matemáticas que contiene todos los objetos y todos los conjuntos. En aquellas axiomáticas en las que existe el conjunto universal, éste es único.

El conjunto universal se suele denotar (del inglés universe, conjunto universal ), con menos frecuencia . ${\ estilo de visualización \ mathbb {U}}$ ${\ matemáticas {E}}$

En la axiomática de Zermelo-Fraenkel , la paradoja de Russell con el esquema de selección y la paradoja de Cantor muestran que la suposición de la existencia de tal conjunto conduce a una contradicción .

En la axiomática de von Neumann - Bernays - Gödel hay una clase universal - la clase de todos los conjuntos, pero no es un conjunto. La clase de todos los conjuntos es una clase de objeto de la categoría Conjunto .

En algunas axiomáticas existe un conjunto universal, pero no se cumple el esquema de selección. Un ejemplo es la teoría de los Nuevos Fundamentos de W.V.O. Quine

Además , un conjunto universal es un conjunto de objetos considerados en cualquier sección de las matemáticas. Para la aritmética elemental , el conjunto universal es el conjunto de los números enteros, para la geometría analítica del plano, el conjunto universal es el conjunto de todos los pares ordenados de números reales [1] .

En los diagramas de Venn, el conjunto universal (en ambos sentidos) está representado por el conjunto de puntos de algún rectángulo; los subconjuntos de sus puntos representan subconjuntos del conjunto universal [1] .

A continuación, se analiza el primer significado del término. Las fórmulas a continuación (con la excepción de ) también son válidas para el segundo valor, si cualquier elemento y cualquier subconjunto del conjunto se denotan por y respectivamente . $\mathbb {U} \en \mathbb {U}$ $a$ $A$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {U}}$

Propiedades del conjunto universal

Cualquier objeto, cualquiera que sea su naturaleza, es un elemento del conjunto universal. $\forall a\colon a\in \mathbb {U}$
En particular, el propio conjunto universal se contiene a sí mismo como uno de muchos elementos. $\mathbb {U} \en \mathbb {U}$
Cualquier conjunto es un subconjunto del conjunto universal. $\forall A\dos puntos A\subseteq \mathbb {U}$
En particular, el propio conjunto universal es su propio subconjunto. $\mathbb {U} \subseteq \mathbb {U}$
La unión de un conjunto universal con cualquier conjunto es igual al conjunto universal. $\forall A\colon \mathbb {U} \cup A=\mathbb {U}$
En particular, la unión de un conjunto universal consigo mismo es igual al conjunto universal. $\mathbb {U} \taza \mathbb {U} =\mathbb {U}$
La unión de cualquier conjunto con su complemento es igual al conjunto universal. $A\cup A^{\complement}=\mathbb {U}$
La intersección del conjunto universal con cualquier conjunto es igual al último conjunto. $\forall A\dos puntos \mathbb {U} \cap A=A$
En particular, la intersección de un conjunto universal consigo mismo es igual al conjunto universal. $\mathbb {U} \cap \mathbb {U} =\mathbb {U}$
La exclusión del conjunto universal de cualquier conjunto es igual al conjunto vacío . $\forall A\colon A\setminus \mathbb {U} =\varnada$
En particular, la exclusión de un conjunto universal de sí mismo es igual al conjunto vacío. $\mathbb {U} \setminus \mathbb {U} =\varnada$
La exclusión de cualquier conjunto del conjunto universal es igual a la suma de este conjunto. $\forall A\colon \mathbb {U} \setminus A=A^{\complement}$
El complemento del conjunto universal es el conjunto vacío. $\mathbb {U} ^{\complemento}=\varnada$
La diferencia simétrica de un conjunto universal con cualquier conjunto es igual al complemento del último conjunto. $\forall A\colon \mathbb {U} \triangle A=A^{\complement}$
En particular, la diferencia simétrica de un conjunto universal consigo mismo es igual al conjunto vacío. $\mathbb {U} \triángulo \mathbb {U} =\varnada$

Especies

Un conjunto disyuntivo-universal (DUM) G [2] de orden n y rango p es un conjunto de funciones del álgebra lógica (FAL) tal que para cualquiera existe un conjunto de funciones tal que: $g\en P_{2}(n)$ $g_{1},\ldots,g_{p}\in G$

$g=g_{1}\lor \ldots \lor g_{p}$

Véase también

Notas

↑ 12 Stoll , 1968 , pág. 25
↑ SA Lozhkin. Conferencias sobre fundamentos de la cibernética, 2008 ( PDF )

Literatura

Stoll R. Conjuntos, lógica, teorías axiomáticas. — M .: Mir, 1968. — 231 p.
Nefedov V. N. , Osipova V. A. Curso de Matemáticas Discretas. - M. : MAI, 1992. - 264 p. — ISBN 5-7035-0157-X .