Sistema Zermelo-Frenkel

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El sistema de axiomas de Zermelo-Fraenkel ( ZF ) es la versión más utilizada de la teoría axiomática de conjuntos , que es el estándar de facto para los fundamentos de las matemáticas . Formulada por Ernst Zermelo en 1908 como medio para superar las paradojas de la teoría de conjuntos y refinada por Abraham Frenkel en 1921 .

El axioma de elección se añade a menudo a este sistema de axiomas , y se denomina teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel con el axioma de elección ( ZFC , en inglés Zermelo-Fraenkel conjunto teoría con el axioma de elección ).

Este sistema de axiomas está escrito en el lenguaje de la lógica de primer orden . Hay otros sistemas; por ejemplo, el sistema de axiomas de von Neumann-Bernays-Gödel (NBG) considera las llamadas clases de objetos junto con conjuntos , y es equivalente a ZF en el sentido de que cualquier teorema de conjunto (es decir, sin mencionar clases) que sea demostrable en un sistema, también es demostrable en el otro.

Axiomas ZFC

Los axiomas de ZFC son la siguiente secuencia de proposiciones de la teoría de conjuntos :

$\forall A_{1}\forall A_{2}\ (\forall b\ (b\in A_{1}\Leftrightarrow b\in A_{2})\Rightarrow A_{1}=A_{2} )$ condición de igualdad de conjuntos ( axioma de voluminosidad ).
${\displaystyle \forall a_{1}\forall a_{2}\ \exists C\ \forall b\ {\bigl (}b\in C\Leftrightarrow (b=a_{1}\ \lor \ b=a_{ 2}){\mayor)))$ la existencia de un conjunto formado por dos elementos. $C=\{a_{1},a_{2}\}$
${\displaystyle \forall A\ \exists D\ \forall c\ {\bigl (}c\in D\Leftrightarrow \exists a\ (a\in A\ \land \ c\in a){\bigr )))$ la existencia de una unión de elementos de un conjunto. $D=\cup a_{i},A=\{a_{i}\}$
$\forall a\exists d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\subseteq a)$ la existencia de un conjunto de subconjuntos de un conjunto. $d={\mathcal {P}}(a)$
${\displaystyle \forall A\ \exists C\ \forall b\ {\bigl (}b\in C\Leftrightarrow b\in A\ \land \ \Phi [b]{\bigr )))$ la existencia de un subconjunto cuyos elementos satisfacen una propiedad dada. $C=\{b:b\in A,\Phi[b]\}$
$\exists A\colon {\bigl (}\varnothing \in A\ \land \ \forall b\ (b\in A\Rightarrow b\cup \{b\}\in A){\bigr )}$ la existencia de un conjunto infinito. ${\displaystyle A=\{\varnada,\{\varnada\},\{\varnada,\{\varnada\}\},...\))$
${\displaystyle \forall x\ \exists !y\ \phi [x,y]\Rightarrow \forall A\ \exists D\ \forall c\ {\bigl (}c\in D\Leftrightarrow \exists b\ (b \in A\ \land \ \phi [b,c]){\bigr )))$ la existencia de una imagen funcional. ${\ estilo de visualización D = \ phi (A)}$
$\forall A\ {\Bigl (}A\neq \varnothing \ \land \ \forall b\ (b\in A\Rightarrow b\neq \varnothing)\ \land \ \forall b_{1}\forall b_{2}\ (b_{1}\neq b_{2}\ \land \ \{b_{1},b_{2}\}\subseteq A\Rightarrow b_{1}\cap b_{2}=\ varnada)$ ${\displaystyle \Rightarrow \existe D\forall b\ {\bigl (}b\in A\to \exists c\ (b\cap D=\{c\}){\bigr )}{\Bigr )))$ para cualquier clase de conjuntos no vacíos que no se intersecan, existe un conjunto que contiene un elemento de cada conjunto ( axioma de elección ). No exactamente: ${\displaystyle D=\{c_{i}:c_{i}\in b_{i},i\in I\},A=\{b_{i}:i\in I\))$
${\displaystyle \forall A\ {\Bigl (}A\neq \varnothing \Rightarrow \exists b\ {\bigl (}b\in A\ \land \ \forall c\ (c\in b\Rightarrow c\notin A){\grande)}{\Grande)))$ Cualquier clase no vacía contiene un conjunto , cuyos elementos no son elementos de la clase ( axioma de regularidad ). No exactamente: $a$ $b$ $A$ $\exists b\in A:b\cap A=\varnothing$

La enumeración se da de acuerdo con el libro Frenkel A. A., Bar-Hillel I. "Fundamentals of Set Theory".

Puedes introducir el axioma número 0 sobre la existencia de un conjunto vacío , pero esto no es más que una notación. Solo la unicidad del conjunto vacío es importante y se deriva de los axiomas 1-5. El conjunto {a} debe entenderse como el par {a, a}. $\existe A\dos puntos \forall b\ (b\notin A)$

El artículo en discusión contiene 10 declaraciones (incluido el axioma del conjunto vacío), que se pueden agrupar de la siguiente manera.

Explicación de los axiomas de ZFC

Los axiomas de ZFC incluyen:

0) un grupo de enunciados sobre la igualdad de conjuntos (axioma 1),

1) un grupo de afirmaciones sobre la existencia de conjuntos (axiomas 0, 6),

2) un grupo de enunciados sobre la formación de conjuntos a partir de conjuntos ya existentes (axiomas 2, 3, 4 y esquemas 5, 7), en los que se pueden distinguir tres subgrupos,

3) un grupo de enunciados sobre el ordenamiento de los conjuntos formados (axiomas 8, 9).

0. Criterios de igualdad de conjuntos en ZFC

El siguiente enunciado expresa una condición suficiente para la identidad de dos conjuntos.

Axioma de extensionalidad ( Axioma de volumen )

\forall A_{1}\forall A_{2}\ (\forall b\ (b\in A_{1}\leftrightarrow b\in A_{2})\to A_{1}=A_{2} )

Nota

El "Axioma de la delgadez" se puede establecer de la siguiente manera: "Si todos los elementos del primer conjunto pertenecen al segundo conjunto, y todos los elementos del segundo conjunto pertenecen al primero, entonces ambos conjuntos son idénticos".

Una condición necesaria para la identidad de dos conjuntos tiene la forma y se deriva de los axiomas del predicado , a saber: $\forall A_{1}\forall A_{2}\ (A_{1}=A_{2}\to \forall b\ (b\in A_{1}\leftrightarrow b\in A_{2}) )$ $=$

{\ estilo de visualización \ para todos los \ (a = a)}

\forall A_{1}\forall A_{2}\ (A_{1}=A_{2}\to (\varphi [A_{1}]\to \varphi [A_{2}]))

, donde es cualquier juicio matemáticamente correcto sobre , y es el mismo juicio, pero sobre .

{\ estilo de visualización \ varphi [a_ {1}]}

un_{1}

{\ estilo de visualización \ varphi [a_ {2}]}

un_{2}

La combinación de la condición necesaria especificada [identidad de conjuntos] con el axioma de tridimensionalidad da el siguiente criterio para la igualdad de conjuntos :

\forall A_{1}\forall A_{2}\ (A_{1}=A_{2}\leftrightarrow \forall b\ (b\in A_{1}\leftrightarrow b\in A_{2}) \ )

1. Axiomas de ZFC sobre la existencia de conjuntos

El "axioma del volumen" sería una proposición inútil si no hubiera un conjunto, o sólo un conjunto.

Las siguientes dos declaraciones garantizan la existencia de al menos dos conjuntos diferentes, a saber: a) un conjunto sin nada en él, y b) un conjunto que contiene un número infinito de elementos.

1.0 El axioma del conjunto vacío

\existe A\forall b\ (b\notin A)

Nota

El "Axioma [de la existencia de] un conjunto vacío" puede enunciarse de la siguiente manera: "Hay [al menos un] conjunto sin un solo elemento".

Se demuestra que el "axioma del conjunto vacío" es equivalente al enunciado . Por lo tanto, a un solo conjunto se le puede dar un nombre. Hay dos nombres comunes: y . Usando estos nombres, el "axioma del conjunto vacío" se escribe de la siguiente manera: $\existe !A\forall b\ (b\notin A)$ $a$ $\varnada$ $\{\}$

{\ estilo de visualización \ para todos b \ (b \ notin \ varnada)}

\forall b\ (b\notin\{\})

1.1 Axioma del infinito

\existe A\ (\varnothing \in A\ \land \ \forall b\ (b\in A\to b\cup \{b\}\in A)\ )

, dónde

{\displaystyle b\cup \{b\}=\{c\colon c\in b\ \lor \ c=b\))

Nota

El "Axioma del Infinito" se puede enunciar de la siguiente manera: "Hay [al menos un] ' conjunto infinito ' que consta de ". $\varnothing,\ \ \varnothing \cup \{\varnothing \},\ \ \varnothing \cup \{\varnothing \}\cup \{\varnothing \cup \{\varnothing \}\},\ \ puntos$

El enunciado sobre la existencia de un conjunto infinito difiere del (falso en esta axiomática) enunciado sobre la existencia del " conjunto de todos los conjuntos " ( ). $\existe A\forall b\ (b\in A)$

2. Axiomas de ZFC sobre la formación de conjuntos

Los siguientes cinco enunciados pueden denominarse axiomas de la formación de conjuntos [a partir de conjuntos existentes, incluido al menos uno ]. $\varnada$ $\infty$

Cada una de estas cinco proposiciones se construye sobre la base de una proposición que se deriva de los axiomas del predicado . $\forall A\existe b\ (b=\varphi [A])$ $=$

Estas cinco afirmaciones se pueden agrupar en los siguientes subgrupos:

2.0) un grupo de postulados sobre la formación de conjuntos mediante la enumeración de sus elementos,

2.1) un grupo de declaraciones sobre el establecimiento y la abolición de familias de conjuntos,

2.2) un grupo de esquemas para la formación de conjuntos con la ayuda de juicios matemáticamente correctos.

2.0. El postulado de la formación de conjuntos mediante la enumeración de sus elementos: Axioma de un par

La forma más sencilla de formar un nuevo conjunto [a partir de conjuntos ya existentes] es "pinchar con el dedo" cada conjunto que debería convertirse en un elemento [del conjunto que se está formando]. En ZFC, esta forma de formar conjuntos está representada por un axioma, en el que "señalar con el dedo" se modela utilizando el predicado . $=$

2.0 Axioma de pares

\forall a_{1}\forall a_{2}\exists c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b=a_{1}\ \lor \ b=a_{2})

, que es

\forall a_{1}\forall a_{2}\existe c\ (c=\{b\colon b=a_{1}\ \lor \ b=a_{2}\})

Nota

"El axioma del par [desordenado]" se puede formular de la siguiente manera: "A partir de dos conjuntos cualesquiera es posible formar un" par desordenado ", es decir, tal conjunto , cada elemento del cual es idéntico a un conjunto dado o un conjunto dado ". $C$ $b$ $un_{1}$ $un_{2}$

Ejemplos

1.\ a_{1}=0\ \land \ a_{2}=1\Rightarrow \exists c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b=0\ \lor \ b=1)

2.\ a_{1}=\varnothing \\land \ a_{2}=\{\varnothing \}\Rightarrow \exists c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b=\varnothing \ \ lor\b=\{\varnada\}\)

Se prueba que el “axioma del par” es equivalente al enunciado . Por lo tanto, a un solo conjunto se le puede dar un nombre . Usando el nombre de pila, el "axioma del par" se escribe de la siguiente manera: $\forall a_{1}\forall a_{2}\exists !c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b=a_{1}\ \lor \ b=a_{2})$ $C$ ${\ estilo de visualización \ {a_ {1}, a_ {2} \}}$

\forall a_{1}\forall a_{2}\forall b\ (b\in \{a_{1},a_{2}\}\leftrightarrow b=a_{1}\ \lor \ b= a_{2})

\forall a_{1}\forall a_{2}\ (\{a_{1},a_{2}\}=\{b\colon b=a_{1}\ \lor \ b=a_{ 2}\})

2.1. Declaraciones sobre el establecimiento y supresión de familias de conjuntos

Los siguientes dos axiomas, llamados "axioma de conjunto subconjunto" y "axioma de unión", pueden verse como un complemento natural del "axioma de par". Para verificar esto, anotamos lo siguiente.

Se sabe que cada conjunto tiene subconjuntos que incluyen [copia del conjunto vacío] y [copia del propio conjunto] . En otras palabras, $z$ $\varnada$ $z$

\forall z\exists x\exists y\ (x\subseteq z\ \land \ y\subseteq z)\quad \land \quad \forall z\ (\varnothing \subseteq z\ \land \ z\subseteq z)

Guiado por el "axioma del par", uno puede formar un par desordenado a partir de los subconjuntos nombrados . Llamemos a esta pareja una familia . $\{\varnada,z\}$ $Familia_{2}(z)$

Si es posible formar una familia a partir de dos subconjuntos del conjunto , entonces es posible declarar la formación de una familia a partir de todos los subconjuntos del conjunto . $Familia_{2}(z)$ $z$ $Familia_{a}(z)$ $z$

Para declarar la formación de una familia , basta con exigir que cada elemento de la familia nombrada sea un subconjunto del conjunto , y cada subconjunto del conjunto nominado sea un elemento de la familia . En otras palabras,

Familia_{a}(z)

b

z

b

Familia_{a}(z)

\forall b\ (b\in Fam_{a}(z)\to b\subseteq z)\ \land \ \forall b\ (b\subseteq z\to b\in Fam_{a}(z) \ )

, que es lo mismo que ofrecer

\forall b\ (b\in Fam_{a}(z)\leftrightarrow b\subseteq z)

, lo que implica una oferta

\existe d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\subseteq z)

, que es un caso especial de la sentencia

\forall a\exists d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\subseteq a)

Si puede declararse el establecimiento de una familia , entonces puede declararse la abolición de la familia nombrada. $Familia_{a}(z)$

Son concebibles varias formas de abolir la familia , incluyendo:

Familia_{a}(z)

1) su completa abolición (destrucción), es decir , lo que equivale a

Del(Fam_{a}(z))=\varnada

\forall c\ (c\in Del(Fam_{a}(z))\leftrightarrow c\in \varnothing)

, 2) su abolición (reserva) ficticia, es decir , que equivale a

Fic(Familia_{a}(z))=Familia_{a}(z)

\forall c\ (c\in Fic(Fam_{a}(z))\leftrightarrow c\in Fam_{a}(z))

, 3) su abolición inversa (disolución), es decir , que equivale a

Rev(Fam_{a}(z))=z

\forall c\ (c\in Rev(Fam_{a}(z))\leftrightarrow c\in z)

. Porque el

c\in z\Leftrightarrow \{c\}\in Fam_{a}(z)\Leftrightarrow \existe b\ (b=\{c\}\ \land \ b\in Fam_{a}(z ))\Leftrightarrow \exists b\ (c\in b\ \land \b\in Fam_{a}(z))

, en la medida en que la propuesta

\forall c\ (c\in Rev(Fam_{a}(z))\leftrightarrow c\in z)

equivale a una oferta

\forall c\ (c\in Rev(Fam_{a}(z))\leftrightarrow \exists b\ (c\in b\ \land \ b\in Fam_{a}(z))\ )

, lo que implica una oferta

\existe d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow \exists b\ (c\in b\ \land \ b\in Fam_{a}(z))\ )

, que es un caso especial de la sentencia

\forall a\exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow \exists b\ (c\in b\ \land \ b\in a)\ )

De lo anterior se deduce que las declaraciones y pueden ser condicionalmente consideradas independientes. $\forall a\exists d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\subseteq a)$ $\forall a\exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow \exists b\ (c\in b\ \land \ b\in a)\ )$

2.1.0 El axioma del conjunto de subconjuntos (axioma booleano )

\forall a\exists d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\subseteq a)

que es donde

\forall a\exists d\ (d=\{b\colon b\subseteq a\})

b\subseteq a\Leftrightarrow \forall c\ (c\in b\to c\in a)

Nota

“El axioma del conjunto de subconjuntos” se puede formular de la siguiente manera: “A partir de cualquier conjunto es posible formar un “supermontón”, es decir, un conjunto formado por subconjuntos (propios o impropios) de un conjunto dado ”. $a$ $d$ $b$ $a$

Ejemplos

1.\ a=\varnothing \Rightarrow \exists d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\in \{\varnothing \})

, porque

\forall a\ (\varnothing \subseteq a\land a\subseteq a)

2.\ a=\{\varnothing \}\Rightarrow \exists d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\in \{\varnothing,\{\varnothing \}\})\Leftrightarrow \ existe d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b=\varnothing\\lor\b=\{\varnothing\})

3.\ a=\{1,2,3\}\Rightarrow \exists d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\in \{\varnothing,\{1\},\{2 \},\{3\},\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\},\{1,2,3\}\})

4.\ a=\{a_{1},a_{2}\}\Rightarrow \exists d\forall b(b\in d\leftrightarrow b\in \{\varnothing,\{a_{1} \},\{a_{2}\},\{a_{1},a_{2}\}\})

Se prueba que "el axioma del conjunto de subconjuntos" es equivalente al enunciado . Por lo tanto, a un solo conjunto se le puede dar un nombre que se pronuncie: "el conjunto de todos los subconjuntos de [conjuntos] " o " [conjuntos] booleanos ". Usando el nombre dado, el "axioma del conjunto de subconjuntos" se escribe como: $\forall a\exists !d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\subseteq a)$ $d$ ${\mathcal {P}}(a)$ $a$ $a$

\forall a\forall b\ (b\in {\mathcal {P}}(a)\leftrightarrow b\subseteq a)

\forall a\ ({\mathcal {P}}(a)=\{b\colon b\subseteq a\})

2.1.1 El axioma de unificación

\forall a\exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow \exists b\ (b\in a\ \land \ c\in b)\ )

, que es

\forall a\existe d\ (d=\{c\colon \exists b\ (b\in a\ \land \ c\in b)\})

Nota

El axioma de unificación [de conjuntos] se puede formular de la siguiente manera: “De cualquier familia de conjuntos, se puede formar un “montón-pequeño”, es decir, tal conjunto , cada elemento del cual pertenece al menos a un conjunto de esta familia ”. $d$ $C$ $b$ $a$

Ejemplos

1.\ a={\mathcal {P))(\varnothing)=\{\varnothing \}\Rightarrow \exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow c\in \varnothing)

2.\ a={\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(\varnothing))=\{\varnothing,\{\varnothing \}\}\Rightarrow \exists d\forall c \ (c\in d\leftrightarrow c\in {\mathcal {P))(\varnothing)\ )\Leftrightarrow \exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow c\in \{\varnothing \})

{\begin{alineado}3.\ a=\{b_{1},b_{2},b_{3}\}=\{\{0,1\},\{1,2\},\{ 3\}\}\Rightarrow \existe d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow c\in \{0,1\}\lor c\in \{1,2\}\lor c\in \{ 3\})\\\ \Leftrightarrow \existe d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow c\in \{0,1,2,3\})\end{alineado}}

4.\ a=\{b,\{b\}\}\Rightarrow \existe d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow c\in b\cup \{b\})\Leftrightarrow \ existe d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow c\in b\ \lor \ c=b)

5.\ a=(a_{1},a_{2})=\{\{a_{1}\},\{a_{1},a_{2}\}\}=\{\ {a_{1},a_{1}\},\{a_{1},a_{2}\}\}\Rightarrow \existe d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow c\in \{a_ {1},a_{2}\})

6.\ a=\langle a_{1},a_{2}\rangle =\{a_{1},\{a_{1},a_{2}\}\}\Rightarrow \exists d\ para todo c\ (c\in d\leftrightarrow c\in a_{1}\cup \{a_{1},a_{2}\})

7.\ a={\mathcal {P}}(\{a_{1},a_{2}\})=\{\varnada,\{a_{1}\},\{a_{2 }\},\{a_{1},a_{2}\}\}\Rightarrow \existe d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow c\in \{a_{1},a_{2}\ })

Se prueba que el axioma de unión es equivalente a la proposición . Por tanto, a un mismo conjunto se le puede dar un nombre que se pronuncia: "la unión de los conjuntos de una familia ". Usando el nombre dado, el axioma de unión se escribe de la siguiente manera: $\forall a\exists !d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow \exists b\ (b\in a\ \land \ c\in b)\ )$ $d$ ${\ estilo de visualización \ taza \, un}$ $a$

\forall a\forall c\ (c\in \cup a\leftrightarrow \exists b\ (b\in a\ \land \ c\in b)\ )

o .

\forall a\ (\cup a=\{c\colon \exists b\ (b\in a\ \land \ c\in b)\}\ )

La unión de los conjuntos de la familia ( ) no debe confundirse con la intersección de los conjuntos de la familia ( ), que se conoce: $a$ ${\ estilo de visualización \ taza a}$ $a$ ${\ estilo de visualización \ cap a}$

\forall a\forall c\ (c\in \cap a\leftrightarrow \forall b\ (b\in a\to c\in b)

, eso es

\forall a\ (\cap a=\{c\colon \forall b\ (b\in a\to c\in b)\})

2.2. Esquemas para la formación de conjuntos con la ayuda de juicios matemáticamente correctos

Entre las declaraciones matemáticas, hay axiomas de conexión, que incluyen:

a) el axioma de conexión entre una operación algebraica (sumar) y una operación algebraica (multiplicar) $+$ $\cdot$

\forall x\forall y\forall z\ (x\in \mathbb {R} \land \ y\in \mathbb {R} \land z\in \mathbb {R} \to (x+y) \cdot z=x\cdot z+y\cdot z)

b) el axioma de la relación entre la relación de orden (menor o igual que) y la operación algebraica (suma) $\leq$ $+$

\forall x\forall y\forall z\ (x\in \mathbb {R} \land y\in \mathbb {R} \land z\in \mathbb {R} \to (x\leq y\ a x+z\leq y+z))

Los siguientes dos enunciados, llamados "esquema de extracción" y "esquema de transformación", son axiomas de conexión entre conjuntos (por ejemplo, conjunto ) y proposiciones matemáticamente correctas (por ejemplo, proposición ). $\{0,1\}$ ${\ estilo de visualización x \ leq 0}$

"Esquema de selección" y "esquema de transformación" expresan la siguiente idea simple: "Todo juicio matemáticamente correcto sobre los elementos de cualquier conjunto conduce a la formación de [el mismo u otro] conjunto".

Los juicios matemáticamente correctos que aparecen en el "esquema de selección" permiten "traer [a una presentación]" los conjuntos que se forman, por ejemplo, utilizando el axioma booleano.

Los juicios matemáticamente correctos que aparecen en el "esquema de transformación" le permiten crear "productos [matemáticos]" a partir de conjuntos ["aproximados"] formados, por ejemplo, utilizando el axioma booleano.

2.2.0 Esquema de selección

\forall a\exists c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b\in a\ \land \ \Phi [b]\ )

, qué es , dónde está cualquier juicio matemáticamente correcto sobre , pero no sobre el conjunto y no sobre el conjunto .

\forall a\exists c\ (c=\{b\colon b\in a\ \land \ \Phi [b]\}\ )

{\ estilo de visualización \ Phi [b]}

b

a

C

Nota

El esquema para seleccionar [subconjuntos] se puede formular de la siguiente manera: "De cada conjunto, uno puede seleccionar [al menos un] subconjunto haciendo un juicio sobre cada elemento de este conjunto ". $C$ $\Fi$ $b$ $a$

Ejemplos

1.\ (\Phi [x]\leftrightarrow x=x)\Rightarrow \forall a\exists c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b\in a\ \land \ b=b)

2.\ (\Phi [x]\leftrightarrow x\neq x)\Rightarrow \forall a\exists c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b\in a\ \land \ b\neq b )

3.\ (\Phi [x]\leftrightarrow x\in y)\Rightarrow \forall a\exists c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b\in a\ \land \ b\in y )

4.\ (\Phi [x]\leftrightarrow x\notin y)\Rightarrow \forall a\exists c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b\in a\ \land \ b\notin y )

5.\ (\Phi [x]\leftrightarrow x<2)\ \land \ a=\mathbb {N} \Rightarrow \exists c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b\in \mathbb {N} \ \land \ b<2)\Leftrightarrow \exists c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b\in \{0,1\})

\begin{align} 6. \ (\Phi[x] \leftrightarrow \exist k \ (k \in \mathbb{N} \land x = 2k)) \land a = \mathbb{N} \Rightarrow \exist c \forall b \ (b \in c \leftrightarrow b \in \mathbb{N} \land \exist k \ (k \in \mathbb{N} \land b = 2k)) \\ \ \Leftrightarrow \exist c \ para todos b \ (b \in c \leftrightarrow b \in \{0,2,4,6,\ldots\}) \end{align}

{\begin{alineado}7.\ (\Phi [x]\ \leftrightarrow \ \exists u\exists v\ (u\in U\ \land \ v\in V\ \land \ x=(u,v) \ )\ )\quad \land \quad a={\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(U\cup V))\\\ \Rightarrow \exists c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b\in {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(U\cup V))\ \land \ \exists u\exists v\ (u\in U\land v\in V \land b=(u,v)))\end{alineado}}

Se prueba que el esquema de selección es equivalente al enunciado . Por lo tanto, a un solo subconjunto se le puede dar un nombre . Usando el nombre especificado, el esquema de asignación se escribe de la siguiente manera: $\forall a\exists !c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b\in a\ \land \ \Phi [b]\ )$ $C$ $\{x\colon x\in a\land \Phi [x]\}$

\forall a\forall b\ (b\in \{x\colon x\in a\land \Phi [x]\}\leftrightarrow b\in a\ \land \ \Phi [b]\ )

{\displaystyle \forall a(\{x\colon x\in a\ \land \ \Phi [x]\}=\{b\colon b\in a\ \land \ \Phi [b]\))

El esquema de selección es equivalente a un conjunto contable de axiomas.

2.2.1 Esquema de conversión

\forall x\exists !y\ (\phi [x,y])\ \to \ \forall a\exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow \exists b\ (b\in a \ \tierra \ \phi [b,c]\ )\ )

, que es

\forall x\exists !y\ (\phi [x,y])\ \to \ \forall a\exists d\ (d=\{c\colon \exists b\ (b\in a\ \ tierra \ \phi [b,c])\}\ )

Nota

El esquema de transformación [de conjuntos] se puede formular de la siguiente manera: "Cualquier conjunto puede transformarse en [el mismo u otro] conjunto expresando cualquier juicio funcional matemáticamente correcto acerca de todos los elementos de este conjunto ". $d$ $\fi$ $b$ $a$

Ejemplos

1.\ (\phi [x,y]\leftrightarrow y=x)\Rightarrow \forall a\existe d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow \existe b\ (b\in a\ \ land \ c=b))\Leftrightarrow \forall a\exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow c\in a)

{\begin{alineado}2.\ (\phi [x,y]\leftrightarrow y=x^{2})\ \land \ a=\{1,2,3\}\Rightarrow \exists d\forall c \ (c\in d\leftrightarrow \existe b\ (b\in \{1,2,3\}\ \land \ c=b^{2}))\\\ \Leftrightarrow \existe d\forall c\ (c\en d\leftrightarrow c\en \{1,4,9\})\end{alineado}}

3.\ (\phi [x,y]\leftrightarrow y=f(x))\Rightarrow \forall a\exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow \exists b\ (b\in a\ \tierra \ c=f(b)\ )\ )

{\begin{alineado}4.\ (\phi [x,y]\leftrightarrow (x=\varnothing \to y=a_{1})\land (x\neq \varnothing \to y=a_{2}) \ )\quad \land \quad a={\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(\varnada ))=\{\varnada ,\{\varnada \}\}\\\ \Rightarrow \ existe d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow \exists b\ (b\in \{\varnothing ,\{\varnothing \}\}\land (b=\varnothing \to c=a_{1}) \land (b\neq \varnothing \to c=a_{2})\ ))\\\ \Leftrightarrow \exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow c=a_{1}\ \lor \ c =a_{2})\end{alineado}}

\begin{align} 5. \ (\phi[x,y] \leftrightarrow y = 2x) \ \land \ a = \mathbb{N} \Rightarrow \exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow \ existe b \ (b \in \mathbb{N} \land c = 2b)) \\ \ \Leftrightarrow \exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow c \in \{0,2,4,6 ,\ldots\}) \end{alinear}

\begin{align} 6. \ (\phi[x,y] \leftrightarrow y = 2x + 1) \ \land \ a = \mathbb{N} \Rightarrow \exist d \forall c \ (c \in d \ leftrightarrow \exist b \ (b \in \mathbb{N} \land c = 2b + 1)) \\ \ \Leftrightarrow \exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow c \in \{1,3 ,5,7,\ldots\}) \end{align}

{\begin{alineado}7.\ (\phi [x,y]\leftrightarrow (x\in {\mathbb {N))\ \land \ x<2\to y=x)\ \land \ (x\ in {\mathbb {N}}\ \land \ \neg (x<2)\to y=1))\quad \land \quad a={\mathbb {N}}\\\ \Rightarrow \exists d\ para todo c(c\in d\leftrightarrow \exists b(b\in {\mathbb {N))\ \land \ (b\in {\mathbb {N))\land b<2\to c=b)\ \land \ (b\in {\mathbb {N))\land \neg (b<2)\to c=1)))\\\ \Leftrightarrow \exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow c\in {\mathbb {N}}\ \land \ c<2)\Leftrightarrow \exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow c\in \{0,1\})\end{alineado} }

Se prueba que el conjunto en el esquema de transformación es único. Por lo tanto, al conjunto especificado se le puede dar el nombre . Usando el nombre especificado, el esquema de transformación se escribe de la siguiente manera: $d$ ${\displaystyle \{y\colon \existe x\ (x\in a\ \land \ \phi [x,y])\))$

\forall x\exists !y(\phi [x,y])\to \forall a\forall c\ (c\in \{y\colon \exists x\ (x\in a\ \land \ \phi [x,y])\}\leftrightarrow \existe b\ (b\in a\ \land \ \phi [b,c])\ )

\forall x\exists !y(\phi [x,y])\to \forall a(\{y\colon \exists x\ (x\in a\ \land \ \phi [x,y] )\}=\{c\colon \existe b\ (b\en a\ \land \ \phi [b,c])\}\ )

El esquema de transformación es equivalente a un conjunto contable de axiomas.

3. Axiomas de ZFC sobre el ordenamiento de conjuntos

Las siguientes dos declaraciones definen el orden de los conjuntos que se forman a partir de y cada uno con la ayuda de los axiomas de formación de conjuntos. $\varnada$ $\infty$

3.0 Axioma de regularidad

\forall a\ (a\neq \varnothing \to \exists b\ (b\in a\ \land \ \forall c\ (c\in b\to c\notin a)\ )\ )

Nota

El "Axioma de Regularidad" puede enunciarse como sigue: "En cualquier familia de conjuntos hay [al menos un] conjunto , cada elemento del cual no pertenece a la familia dada ". $b$ $C$ $a$

Ejemplos

{\begin{alineado}1.\ a=\{x\}\Rightarrow a\neq \varnothing \Rightarrow \exists b\ (b\in \{x\}\land \forall c\ (c\in b\ a c\notin \{x\})\ )\\\ \Leftrightarrow \exists b\ (b\in \{x\}\land \forall c\ (c\in \{x\}\to c\notin b))\Rightarrow \forall x(x\notin x)\\\ \Leftrightarrow \forall a(a\notin a)\Leftrightarrow \forall a\forall b\ (a\in b\ \lor \b\in a \a\neq b)\end{alineado}}

Compare con declaraciones y , y también .

{\ estilo de visualización \ para todos los \ (a = a)}

\forall a\ (a\not <a)

\forall a\forall b\ (a<b\ \lor \b<a\to a\neq b)

{\begin{alineado}2.\ a=\{x,y\}\Rightarrow a\neq \varnothing \Rightarrow \exists b\ (b\in \{x,y\}\ \land \ \forall c\ (c\in b\to c\notin \{x,y\}))\\\ \Rightarrow \forall x\forall y\ (x\in y\to y\notin x)\\\ \Leftrightarrow \forall a\forall b\ (a\in b\to b\notin a)\end{alineado}}

Compare con declaraciones y .

\para todos los a\para todos los b\ (a=b\to b=a)

\para todos los a\para todos los b\ (a<b\to b\not <a)

{\begin{aligned}3.\ a=\{x,y,z\}\Rightarrow a\neq \varnothing \Rightarrow \exists b\ (b\in \{x,y,z\}\land \forall c\ (c\in b\to c\notin \{x,y,z\}))\\\ \Rightarrow \forall a\forall b\forall c\ (a\in b\land b\in c\ a c\no en a)\end{alineado}}

Compare con declaraciones y .

\para todo a\para todo b\para todo c\ (a=b\land b=c\to c=a)

\para todos a\para todos b\para todos c\ (a<b\land b<c\to c\not <a)

3.1 El axioma de elección

{\begin{alineado}\forall a\ (a\neq \varnothing \land \forall b\ (b\in a\to b\neq \varnothing)\land \forall b_{1}\forall b_{2}\ (b_{1}\neq b_{2}\land \{b_{1},b_{2}\}\subseteq a\to b_{1}\cap b_{2}=\varnada)\\\ \to \existe d\forall b\ (b\in a\to \exists c\ (b\cap d=\{c\})\ )\ )\end{alineado}}

Nota

El “axioma de elección” se puede formular de la siguiente manera: “De cualquier familia de conjuntos disjuntos por pares no vacíos, se puede elegir una “delegación”, es decir, un conjunto que tiene un elemento de cada conjunto de esta familia ”. $d$ $C$ $b$ $a$

Ejemplo Supongamos que la familia está formada por el conjunto de números pares no negativos y el conjunto de números impares no negativos. En este caso, se cumplen todas las condiciones del “axioma de elección”, a saber:

1.\quad \{\{0,2,4,\ldots \},\ \{1,3,5,\ldots \}\}\neq \varnothing

2.\quad \{0,2,4,\ldots \}\neq \varnothing \quad \land \quad \{1,3,5,\ldots \}\neq \varnothing

3.\quad \{0,2,4,\ldots \}\ \cap \ \{1,3,5,\ldots \}=\varnothing

. Por lo tanto, es posible formar al menos una "delegación" compuesta por un "delegado" (por ejemplo, el número cero) del conjunto y un "delegado" (por ejemplo, el número uno) del conjunto . En realidad:

\{0,2,4,\ldots\}

\{1,3,5,\ldots\}

{\displaystyle \{0,2,4,\ldots \}\ \cap \ \{0,1\}=\{0\))

{\displaystyle \{1,3,5,\ldots \}\ \cap \ \{0,1\}=\{1\))

Notas

1. Si ZFC es consistente, entonces su consistencia no se puede demostrar mediante ZFC, según el segundo teorema de Gödel .

Antecedentes históricos

Aparentemente, la versión original de la teoría de conjuntos, deliberadamente llamada doctrina de conjuntos por el matemático alemán Georg Cantor , constaba de dos axiomas, a saber:

1) el axioma del volumen , que nos permite formular un criterio para la igualdad de conjuntos ,

\forall a_{1}\forall a_{2}\ (\forall b\ (b\in a_{1}\leftrightarrow b\in a_{2})\to a_{1}=a_{2} )

2) "axiomas de libertad matemática" , que permite crear conjuntos utilizando el "juicio de libertad" .

\forall a\exists b\forall c\ (c\in b\leftrightarrow \Phi [a,c])

{\ estilo de visualización \ Phi [a, c]}

El "Axioma de la Libertad Matemática" tiene consecuencias racionales, entre ellas las siguientes:

\existe b\forall c\ (c\in b\leftrightarrow c\neq c)

\forall a\exists b\forall c\ (c\in b\leftrightarrow c=a)

\forall a\exists b\forall c\ (c\in b\leftrightarrow c=a\ \lor \ c=x)

\forall a\exists b\forall c\ (c\in b\leftrightarrow c\in a\land \Phi [c])

\forall a\exists b\forall c\ (c\in b\leftrightarrow c\subseteq a)

\forall a\exists b\forall c\ (c\in b\leftrightarrow \exists d\ (d\in a\land c\in d))

En 1903, el filósofo inglés Bertrand Russell llamó la atención sobre lo siguiente:

1) guiado por el “axioma de la libertad matemática”, es imposible distinguir entre “libertad” y “permisividad”, 2) eligiendo como la proposición matemática más trivial , obtenemos un enunciado sobre la existencia de "un conjunto de todos los conjuntos" , desde el cual hay "un paso" hasta la paradoja de Russell .

{\ estilo de visualización \ Phi [a, c]}

{\ estilo de visualización c = c}

\existe b\forall c\ (c\in b\leftrightarrow c=c)

Estas declaraciones críticas sobre la "doctrina alemana [de los conjuntos]" llevaron al matemático alemán Ernst Zermelo a reemplazar el "axioma de la libertad matemática" con sus consecuencias que no provocarían protestas de los matemáticos.

En 1908, en la revista Mathematische Annalen , Ernst Zermelo publicó los siguientes siete axiomas:

1) el axioma del volumen ( alemán Axiom der Bestimmtheit ); 2) un axioma sobre la existencia de "conjuntos elementales" ( en alemán: Axiom der Elementarmengen ) , y que puede escribirse de la siguiente forma:

\varnada

\{a\}

{\ estilo de visualización \ {a_ {1}, a_ {2} \}}

\existe a\forall b\ (b\notin a)\ \land \ \forall a\exists c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b=a)\ \land \ \forall a_{1 }\forall a_{2}\exists c\forall b\ (b\in c\ \leftrightarrow \ b=a_{1}\ \lor \ b=a_{2})

; 3) esquema de selección ( alemán Axiom der Aussonderung ); 4) el axioma del conjunto de subconjuntos ( alemán: Axiom der Potenzmenge ); 5) el axioma de unificación ( alemán: Axiom der Vereinigung ); 6) el axioma de elección ( alemán: Axiom der Auswahl ); 7) el axioma del infinito ( alemán Axiom der Unendlichkeit ) en una formulación diferente a la formulación moderna.

Así, la "doctrina de los conjuntos" se convirtió en la teoría de los conjuntos, es decir, la teoría de ZC [ Z ermelo set theory with the Axiom of C hoice].

El último axioma de la teoría ZC (el axioma del infinito) acercó a los seguidores de Georg Cantor a los seguidores de Leopold Kronecker , quien consideraba el conjunto de los números naturales como el santo grial de las matemáticas. $\matemáticas {N}$

El penúltimo axioma de la teoría ZC (el axioma de elección) se ha convertido en tema de animados debates matemáticos. De hecho, este axioma no es una consecuencia del "axioma de la libertad matemática".

En 1922, el matemático alemán Abraham Frenkel y el matemático noruego Turalf Skolem complementaron la teoría ZC con un esquema de transformación . Como resultado, la teoría ZC se convirtió en la teoría ZFC [ Teoría de conjuntos de Zermelo - Fraenkel con el Axioma de Elección ].

En 1925, el matemático húngaro John von Neumann complementó la teoría ZFC con el axioma de regularidad . Una de las consecuencias de este axioma ( ) "sepultó" tanto "el conjunto de todos los conjuntos" como la " paradoja de Russell ". $\forall a\ (a\notin a)$

Véase también

teorema de zermelo

Literatura

Kolmogorov A. N. , Dragalin A. G. Lógica matemática. — M.: URSS, 2005. — 240 p.
Frenkel A. A. , Bar-Hillel I. Fundamentos de la teoría de conjuntos. — M.: Mir, 1966. — 556 p.
Fraenkel, Abraham ; Bar-Hillel, Yehoshua ; Levi, AzrielFundamentos de la Teoría de Conjuntos (neopr.) . — Holanda Septentrional , 1973.La última palabra de Fraenkel sobre ZF y ZFC.
Hatcher, William. Los fundamentos lógicos de las matemáticas. — Prensa de Pérgamo, mil novecientos ochenta y dos.
Hinman, Peter. Fundamentos de Lógica Matemática. — A. K. Peters, 2005. - ISBN 978-1-56881-262-5 .
Jech, ThomasTeoría de conjuntos: la edición del tercer milenio, revisada y ampliada . — Springer, 2003. - ISBN 3-540-44085-2 .
Kunen, KennethTeoría de conjuntos: unaintroducción a las pruebas de independencia . - Elsevier , 1980. - ISBN 0-444-86839-9 .
Levy, Azriel. Teoría básica de conjuntos. - Publicaciones de Dover , 2002. - ISBN 0486420795 .
Enlace, Godhard. Formalismo y más allá: sobre la naturaleza del discurso matemático (inglés) . -Walter de Gruyter GmbH & Co KG , 2014. -ISBN 978-1-61451-829-7 .
Quine, Willard van Orman. La teoría de conjuntos y su lógica . — Revisado. - Cambridge, Massachusetts y Londres, Inglaterra: Harvard University Press , 1969. - ISBN 0-674-80207-1 .
Montaje, Ricardo . Cierre semántico y axiomatizabilidad no finita // Métodos infinistas. — Londres: Pergamon Press, 1961. - S. 45-69.
Shoenfield, Joseph R. Axiomas de la teoría de conjuntos // Manual de lógica matemática / Barwise, KJ. - 1977. - ISBN 0-7204-2285-X .
Takeuti, Gaisi; Zaring, W M. Introducción a la teoría axiomática de conjuntos. - mil novecientos ochenta y dos.
Tarski, AlfredoSobre subconjuntos bien ordenados de cualquier conjunto // Fundamenta Mathematicae : journal . - 1939. - Vol. 32 . - pág. 176-183 .

Enlaces

Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), ZFC , Enciclopedia de Matemáticas , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4
Versión Metamath de los axiomas ZFC ; Una axiomatización concisa y no redundante. La lógica de fondo de primer orden se define especialmente para facilitar la verificación mecánica de las pruebas.
Una derivación en Metamath
Axiomática de la teoría de conjuntos (inglés) en el sitio web de PlanetMath .

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