Interacción giro-órbita

Interacción espín-órbita : en física cuántica , la interacción entre una partícula en movimiento y su propio momento magnético debido al espín de la partícula. El ejemplo más común de tal interacción es la interacción de un electrón ubicado en una de las órbitas de un átomo con su propio espín. Tal interacción, en particular, conduce a la aparición de la llamada estructura fina del espectro de energía del electrón y al desdoblamiento de las líneas espectroscópicas del átomo.

Derivación del giro-órbita hamiltoniano

La interacción espín-órbita es un efecto relativista , por lo tanto, para derivar la parte del hamiltoniano correspondiente a esta interacción, se debe partir de la ecuación de Dirac teniendo en cuenta la contribución del campo electromagnético externo en el hamiltoniano con el vector potencial A y el potencial escalar φ, para el cual, en la ecuación de Dirac, según el formalismo lagrangiano [1] , es necesario reemplazar

{\mathbf {p}}\rightarrow {\mathbf {p}}-(e/c){\mathbf {A}}

E\rightarrow E+e\varphi

Como resultado, la ecuación de Dirac toma la forma:

i\hbar {{\frac {\parcial \psi }{\parcial t}}}=[c{\boldsymbol \alpha }({\mathbf p}-{{\frac {e}{c}}}{\ mathbf A})+\beta mc^{2}+e\varphi]\psi

dónde $\beta ={\begin{pmatrix}{\mathbf 1}&0\\0&-{\mathbf 1}\\\end{pmatrix)),\quad {\boldsymbol \alpha }={\begin{pmatrix}0&{ \boldsymbol \sigma }\\{\boldsymbol \sigma }&0\\\end{pmatrix}}$

$\sigma _{i}$ son las matrices de Pauli

\sigma _{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\\\end{pmatrix)),\quad \sigma _{y}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\\\ end{pmatrix)),\quad \sigma _{z}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\\\end{pmatrix)),\quad \ {\mathbf 1}={\begin{pmatrix }1&0\\0&1\\\end{matriz}}.

De este hamiltoniano se puede ver que la función de onda ψ debe ser de cuatro componentes, y se sabe que dos de sus componentes corresponden a soluciones con energía positiva, y dos, con energía negativa. El papel de las soluciones con energía negativa es pequeño cuando se consideran cuestiones relacionadas con los fenómenos magnéticos, ya que los huecos en el espectro de energía negativa corresponden a los positrones , para cuya formación se genera una energía del orden de , muy superior a la energía asociada a fenómenos magnéticos, es necesario. En relación con lo anterior, es conveniente utilizar la transformación canónica de Foldy y Wouthuizen [2] , que divide la ecuación de Dirac en un par de ecuaciones de dos componentes. Uno de los cuales describe soluciones con energía negativa, y el otro con energía positiva, y tiene el hamiltoniano de la siguiente forma: $mc^{2}$

{\mathcal H}=\left[mc^{2}+{\frac {1}{2m}}\left(({\mathbf p}}-{\frac {e}{c}}{{\mathbf A}}\right)^{2}-{\frac {p^{4}}{8m^{3}c^{2}}}\right]+{e\varphi }-{\frac {e\ hbar }{2mc)){{\boldsymbol \sigma }}\cdot {{\mathbf H}}+\left\{-i({\frac {e\hbar ^{2}}{8m^{2}c ^{2)))){{\boldsymbol \sigma }}\cdot {\nabla }\times {{\mathbf E}}-{{\frac {e\hbar }{4m^{2}c^{2 }}}}{{\boldsymbol \sigma }}\cdot {{\mathbf E}}\times {{\mathbf p}}\right\}-{\frac {e\hbar ^{2}}{8m^ {2}c^{2}}}{\nabla }\cdot {{\mathbf E}}.

Los términos encerrados entre corchetes caracterizan la interacción espín-órbita. En particular, si el campo eléctrico es centralmente simétrico, entonces tenemos , y el hamiltoniano de la interacción espín-órbita toma la forma: $\nabla \times {\mathbf E}=0$

{\mathcal H}_{{so}}=-{{\frac {e\hbar }{4m^{2}c^{2}}}}{{\boldsymbol \sigma }}\cdot {{\mathbf E}}\times {{\mathbf p}}={{\frac {\hbar }{4m^{2}c^{2}}}}{{\frac {1}{r}}{\frac { \V parcial}{\r parcial}}}{{\boldsymbol \sigma }}\cdot {{\mathbf r}}\times {{\mathbf p}}={{\frac {\hbar }{4m^{ 2}c^{2)))){{\frac {1}{r}}{\frac {\V parcial}{\r parcial}}}{{\boldsymbol \sigma }}\cdot {{\mathbf L}},

donde es el operador del momento angular del electrón. ${\mathbf L}={\mathbf r}\times {\mathbf p}$

Este resultado es consistente con la expresión clásica que describe la interacción del espín del electrón con el campo debido al movimiento orbital del electrón. Expliquemos esto.

La expresión clásica para la energía de interacción espín-órbita de un electrón atómico

Supongamos que un electrón se mueve uniforme y rectilíneamente con una velocidad v en el campo de un núcleo situado en el origen del sistema de coordenadas 1 y que crea un campo de Coulomb . En el cuadro 2, asociado con el electrón en movimiento, el observador verá un núcleo en movimiento, que crea un campo eléctrico y magnético, con intensidades E' y H' , respectivamente. Como sigue de la teoría de la relatividad, E' y H' están relacionados con E por las siguientes relaciones: $e{\mathbf E}=-{{\frac {{\mathbf r}}{r}}{\frac {\parcial V}{\parcial r}}}$

{\mathbf E}'={\mathbf E},\quad {\mathbf H}'\approx -{\frac {1}{c)){\mathbf v}\times {\mathbf E}=-{\ fracción {1}{mc)){\mathbf p}\times {\mathbf E}.

Cuando se descartan los términos del pedido $v^{2}/c^{2}.$

Entonces la ecuación para el cambio en el momento de espín del momento (asociado, según la hipótesis de Uhlenbeck-Goudsmit, por la relación giromagnética con el momento magnético como ) en el sistema de coordenadas 2 tendrá la forma: ${\mathbf S}={\frac {\hbar }{2}}{\boldsymbol \sigma }{}$ ${\ símbolo de negrita \ mu }$ ${\frac {|{\boldsymbol \mu}|}{|{\mathbf S}|}}={\frac {|e|}{mc}}{}$

{\frac {d{\mathbf S}}{dt}}=\mu \times {\mathbf H}'=-{\frac {e\hbar }{2m^{2}c^{2}}}{ \boldsymbol \sigma }\times \left[{\mathbf p}\times {\mathbf E}\right].

Esta ecuación corresponde a la interacción del espín del electrón con el campo electromagnético, la cual es descrita por el hamiltoniano de la siguiente forma:

{\mathcal H}'_{{so}}={\frac {e\hbar }{2m^{2}c^{2}}}{\boldsymbol \sigma }\cdot {\mathbf p}\times { \mathbf E}.

Tenga en cuenta que la forma del hamiltoniano, hasta un factor de 1/2, coincide con la forma de la parte del orbital de espín del hamiltoniano obtenida de la ecuación de Dirac utilizando las transformaciones de Foldy y Wouthuysen. La ausencia de este factor se debe al hecho de que la ecuación para cambiar el momento magnético de un electrón será verdadera solo si el sistema 2 no está girando, de lo contrario, esta ecuación, debido a la precesión de Thomas , debería verse como

{\frac {d{\mathbf S}}{dt}}={\frac {e\hbar }{2mc}}{\boldsymbol \sigma }\times {\mathbf H}'-\omega _{{T} }\veces {\mathbf S},

donde es la velocidad angular de rotación de Tomos . $\omega _{{T}}$

Un electrón en un átomo es acelerado por un campo de Coulomb apantallado; por lo tanto, la velocidad angular de Tomos se describe mediante la relación

\omega _{{T))\approx {\frac {1}{2m^{2}c^{2))}({\frac {1}{r)){\frac {\V parcial}{\ r parcial))}[{\mathbf r}\times {\mathbf p}]

Así, el hamiltoniano de la interacción espín-órbita tendrá la forma:

{\mathcal H}_{{so}}={\frac {\hbar }{2m^{2}c^{2}}}{\frac {1}{r}}{\frac {dV}{dr )){\boldsymbol \sigma }\cdot {\mathbf r}\times {\mathbf p}-{\frac {\hbar }{4m^{2}c^{2))}{{\frac {1} {r}}{\frac {\V parcial}{\r parcial}}}{\boldsymbol \sigma }\cdot {\mathbf r}\times {\mathbf p}={\frac {\hbar }{4m^ {2}c^{2))}{{\frac {1}{r)){\frac {\V parcial}{\r parcial))}{\boldsymbol \sigma }\cdot {\mathbf r}\ veces {\ mathbf p},

Que es exactamente igual al resultado anterior.

Véase también

efecto rashba

Notas

↑ Landau L. D. , Lifshitz E. M. Teoría de campos. - 7ª edición, revisada. — M .: Nauka , 1988. — 512 p. - (" Física Teórica ", Tomo II). — ISBN 5-02-014420-7 .
↑ LLFoldy, SAWouthuysen. Sobre la teoría de Dirac de las partículas de espín 1/2 y su límite no relativista // Phys.Rev . : revista. - 1950. - Vol. 78 . — pág. 29-36 . -doi : 10.1103 / PhysRev.78.29 .

Literatura

Stepanov N. F. Mecánica cuántica y química cuántica. -M.:Mir, 2001. - S. 391-398. — 519 pág. -5000 copias. -ISBN 5-03-003414-5.
White R. Teoría cuántica del magnetismo / Per. De inglés. — 2ª ed., corregida. y. agregar. — M.: Mir , 1985. — 304 p.
Björken JD , Drell S.D. Teoría cuántica relativista. Tomo 2. - IO NFMI, 2000. - 296 p.
Jackson J. Electrodinámica clásica. — M.: Mir , 1965. — 703 p.