Mecánica lagrangiana

La mecánica lagrangiana es una reformulación de la mecánica clásica introducida por Lagrange en 1788 . En la mecánica lagrangiana, la trayectoria de un objeto se obtiene encontrando un camino que minimice la acción : la integral de la función de Lagrange en el tiempo. La función de Lagrange para la mecánica clásica se introduce como la diferencia entre la energía cinética y la energía potencial .

Esto simplifica enormemente muchos problemas físicos. Por ejemplo, considere una cuenta en un aro. Si calculas el movimiento usando la segunda ley de Newton, entonces necesitas escribir un conjunto complejo de ecuaciones que tengan en cuenta todas las fuerzas que actúan sobre el aro desde el lado de la cuenta en cada momento del tiempo. Con el uso de la mecánica lagrangiana, resolver el mismo problema se vuelve mucho más fácil. Es necesario considerar todos los movimientos posibles de la cuenta a lo largo del aro y encontrar matemáticamente el que minimiza la acción. Aquí hay menos ecuaciones, ya que no es necesario calcular directamente el efecto del aro sobre la cuenta en un momento dado. Es cierto que en este problema solo hay una ecuación, y también se puede obtener de la ley de conservación de la energía mecánica.

Esencia de la mecánica lagrangiana

Lagrangiano y el principio de mínima acción

El sistema mecánico se caracteriza por coordenadas generalizadas y velocidades generalizadas . El sistema mecánico está asociado a la función de Lagrange -Lagrangiana , en función de las coordenadas y velocidades generalizadas, y, posiblemente, directamente en el tiempo- . La integral de tiempo del Lagrangiano para una trayectoria dada se llama acción : $q$ ${\ punto {q}}$ $L(q,{\dot {q}},t)$ $S$

S=\int _{{t_{0}}}^{{t_{1}}}L(q,{\dot {q}}),t)dt

Las ecuaciones de movimiento en la mecánica lagrangiana se basan en el principio de acción mínima (estacionaria) (principio de Hamilton) : el sistema se mueve a lo largo de una trayectoria que corresponde a la acción mínima (al menos en una pequeña vecindad del conjunto de trayectorias posibles). Estacionariedad significa que la acción no cambia en el primer orden de pequeñez con un cambio infinitesimal en la trayectoria, con puntos de inicio y final fijos . El principio de Hamilton se puede escribir como $(q_{0},\;t_{0})$ $(q_{1},\;t_{1})$

\deltaS=0.

Cualquier trayectoria de este tipo se denomina camino directo entre dos puntos. Todos los demás caminos se llaman tortuosos .

Hay que tener cuidado y recordar que la igualdad de la primera variación de la acción a cero implica sólo su estacionariedad, pero no la minimalidad de la acción. Es fácil ver que la acción funcional en la mecánica clásica no puede tomar el valor máximo, ya que la partícula puede ir por el mismo camino con mayor velocidad, mientras que su energía cinética será mayor en todo el camino, y la energía potencial no cambiará. , es decir, la acción no está limitada desde arriba (si no impones límites de velocidad). Sin embargo, dos puntos se pueden conectar de varias maneras en las que la acción toma un valor estacionario. El ejemplo más simple es el libre movimiento de un punto sobre una esfera, en el que hay infinitas formas iguales de llegar a un punto diametralmente opuesto. Son posibles casos más complicados, cuando los puntos están conectados por varios caminos directos, pero el valor de la acción sobre ellos es diferente.

Un punto se llama foco cinético conjugado para el punto si hay varios caminos directos a través de y . $M_{2}$ $M_{1}$ $M_{1}$ $M_{2}$

En sentido literal, el principio de acción mínima es válido sólo localmente. Es decir, hay

Teorema de Bobylev [1] : la acción a lo largo del camino directo tiene el valor más pequeño en comparación con los caminos indirectos si no hay conjugado para el foco cinético en el arco. $M_{1}M_{2}$ $M_{1}M_{2}$ $M_{1}$

A partir del principio de Hamilton, procediendo de acuerdo con el cálculo de variaciones , se obtienen las ecuaciones de Euler-Lagrange :

${\frac {d}{dt)){\frac {\parcial L}{\parcial {\dot {q))))-{\frac {\parcial L}{\parcial q))=0$

Si introducimos la siguiente notación

$p={\frac {\parcial L}{\parcial {\dot {q))))$ - impulsos generalizados

$F={\frac {\parcial L}{\parcial q))$ - fuerzas generalizadas

entonces las ecuaciones de Euler-Lagrange toman la forma

${\frac{dp}{dt}}=F$

Es decir, en forma de una segunda ley de Newton generalizada.

El Lagrangiano del sistema se determina hasta la derivada temporal total de una función arbitraria de coordenadas y tiempo. La adición de tal función al Lagrangiano no afecta la forma de las ecuaciones de movimiento.

Lagrangiano en marcos de referencia inerciales

Una característica fundamentalmente importante del Lagrangiano es la aditividad para los sistemas que no interactúan: el Lagrangiano del conjunto de sistemas que no interactúan es igual a la suma de sus Lagrangianos. Otro principio importante de la mecánica clásica es el principio de relatividad de Galileo: la igualdad de las leyes en diferentes marcos inerciales. Además, se utilizan los supuestos generales de homogeneidad e isotropía del espacio y homogeneidad del tiempo. Estos principios significan la invariancia (hasta la incertidumbre especificada) del Lagrangiano con respecto a ciertas transformaciones.

En particular, para un marco que se mueve libremente (punto material) en un marco inercial, se deduce de los principios de homogeneidad del espacio y el tiempo que el Lagrangiano debe ser una función únicamente de la velocidad. La isotropía del espacio significa que el Lagrangiano depende sólo del valor absoluto de la velocidad, y no de la dirección, es decir, de hecho, . A continuación, usamos el principio de relatividad. La variación del Lagrangiano es . Esta variación será la derivada del tiempo total sólo si , de donde obtenemos que el Lagrangiano es directamente proporcional al cuadrado de la velocidad $L=L(v^{2})$ $\delta L={\frac {\parcial L}{\parcial v^{2))}2v\delta v$ ${\frac {\L parcial}{\v parcial^{2))}=const$

$L={\frac{m}{2}}v^{2}$

El parámetro es, como puede verse a partir de las ecuaciones de movimiento, la masa de la partícula, y el Lagrangiano es esencialmente igual a la energía cinética. $metro$

Entonces se sigue de las ecuaciones de movimiento que la derivada del Lagrangiano con respecto a la velocidad es una constante. Pero esta derivada es igual en base a la forma del Lagrangiano. Por lo tanto, el vector de velocidad de una partícula que se mueve libremente en un marco inercial es constante (primera ley de Newton) $m.v.$

De la aditividad del Lagrangiano se sigue que para un sistema de partículas que no interactúan, el Lagrangiano será igual a

$L=\sum_{i}^{n}{\frac {m_{i}}{2}}v_{i}^{2}$

En el caso de un sistema cerrado de partículas que interactúan, este Lagrangiano debe complementarse con una función de coordenadas (y, a veces, velocidades), que depende de la naturaleza de la interacción.

$L=\sum_{i}{\frac {m_{i}}{2}}v_{i}^{2}-U(r_{1},r_{2},...,r_{n} )$

El Lagrangiano de un sistema abierto en un campo externo tiene una forma similar. En este caso, se supone que las funciones de las coordenadas y velocidades del campo están dadas, por lo que la parte cinética del campo Lagrangiano puede ignorarse como una función del tiempo solamente. Por lo tanto, el Lagrangiano de un sistema grande (incluido un campo externo) se describe mediante el Lagrangiano del sistema dado más la función de campo de las coordenadas y velocidades del sistema, y posiblemente el tiempo.

Para una partícula en un campo externo, el Lagrangiano será igual a

$L=mv^{2}/2-U(r,t)$

A partir de esto es fácil derivar las ecuaciones de movimiento

$m{\punto v}=-{\frac {\U parcial}{\r parcial}}=F$

esta es la segunda ley de newton

Leyes de conservación (integrales de movimiento)

La homogeneidad y la isotropía del espacio y el tiempo conducen a las leyes de conservación más utilizadas: las llamadas. Integrales aditivas de movimiento.

Ley de conservación de la energía

De la homogeneidad del tiempo se sigue que el lagrangiano no depende directamente del tiempo, por lo tanto

${\frac {dL}{dt))=\sum_{i}{\frac {\parcial L}{\parcial q_{i))}{\dot {q_{i))}+\sum_{i }{\frac {\parcial L}{\parcial {\dot {q_{i}}}}}{\ddot {q_{i}}}$

Usando las ecuaciones de Euler-Lagrange, obtenemos de aquí

${\frac {dL}{dt}}=\sum _{i}\left({\frac {d}{dt}}{\frac {\parcial L}{\parcial {\dot {q} }_{i))}\right){\dot {q_{i}}}+\sum _{i}{\frac {\parcial L}{\parcial {\dot {q_{i}}}}} {\ddot {q_{i))}=\sum _{i}{\frac {d}{dt))\left({\frac {\parcial L}{\parcial {\dot {q))_{ i))}{\dot {q_{i))}\right)$

De aquí

${\frac {d}{dt}}\left(\sum _{i}{\frac {\parcial L}{\parcial {\dot {q}}_{i}}}{\dot { q_{i}}}-L\derecha)=0$

Así, el valor

$E=\sum_{i}{\frac {\parcial L}{\parcial {\dot q}_{i))}{\dot {q_{i))}-L=\sum_{i}p_ {i}{\punto {q_{i}}}-L$

llamado la energía del sistema no cambia con el tiempo. Esta es la ley de conservación de la energía.

Teniendo en cuenta la forma del Lagrangiano para un sistema cerrado o un sistema ubicado en un campo externo, es igual a

$L=T(q,{\dot q})-U(q)$

donde es una función cuadrática homogénea de velocidades, entonces, con base en el teorema de Euler sobre funciones homogéneas, obtenemos $T(q,{\dot q})$

$E=2T-(TU)=T+U$

Por lo tanto, la energía del sistema consta de dos componentes: energía cinética y potencial.

Ley de conservación de la cantidad de movimiento

La homogeneidad del espacio significa la invariancia del Lagrangiano con respecto a las traslaciones paralelas. Tenemos para la variación del Lagrangiano

$\delta L=\sum _{i}{\frac {\parcial L}{\parcial \mathbf {r} _{i))}\delta \mathbf {r} _{i}=\left( \sum _{i}{\frac {\parcial L}{\parcial \mathbf {r} _{i))}\right)\delta \mathbf {r} =0$

Como es arbitrario, tenemos $\delta {\mathbf{r}}$

$\sum _{i}{\frac {\parcial L}{\parcial \mathbf {r} _{i))}=0$

Esta relación, teniendo en cuenta el concepto introducido de una fuerza generalizada, significa que la suma vectorial de fuerzas es igual a cero (en el caso particular de dos cuerpos, la acción es igual a la reacción, la tercera ley de Newton).

Sustituyendo esta igualdad en las ecuaciones de Euler-Lagrange, obtenemos

${\frac {d}{dt}}\left(\sum _{i}{\frac {\parcial L}{\parcial {\dot {\mathbf {r_{i}} }}}}\ derecha)=0$

Por lo tanto, la expresión entre paréntesis

$P=\sum_{i}{\frac {\parcial L}{\parcial {\mathbf {v}}_{i}}}=\sum_{i}m_{i}{\mathbf {v}} _{i}$

que es una cantidad vectorial llamada cantidad de movimiento, se conserva en el tiempo. Esta es la ley de conservación de la cantidad de movimiento.

La ley de conservación de la cantidad de movimiento de un sistema de partículas se puede formular como la uniformidad y rectitud del movimiento del centro de gravedad del sistema.

Ley de conservación del momento angular

La isotropía del espacio significa la invariancia del Lagrangiano de un sistema mecánico cerrado con respecto a las rotaciones. Si determinamos el vector de rotación infinitesimal según la regla del tornillo , entonces los cambios en el vector de radio y el vector de velocidad serán iguales al producto vectorial del vector de rotación y el vector de radio o el vector de velocidad, respectivamente: $\delta {\mathbf {\phi ))$

$\delta {\mathbf {r}}=[\delta {\mathbf {\phi}},{\mathbf {r}}]$ , $\delta {\mathbf {v}}=[\delta {\mathbf {\phi}},{\mathbf {v}}]$

La invariancia del Lagrangiano significa que

$\delta L=\sum _{i}\left({\frac {\parcial L}{\parcial \mathbf {r} _{i))}\delta \mathbf {r} _{i}+ {\frac {\parcial L}{\parcial \mathbf {v} _{i))}\delta \mathbf {v} _{i}\right)=\sum _{i}\left(\mathbf {\ punto {p} _{i}\delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {p} _{i}\delta \mathbf {v} _{i}\right)=0$

Sustituyendo aquí las expresiones para cambios en el vector de radio y el vector de velocidad, obtenemos:

$\sum_{i}\left({\dot {\mathbf {p} }}_{i}[\delta \mathbf {\phi},\mathbf {r}_{i}]+\mathbf {p} _{i}[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {v} _{i}]\right)=\delta \phi \sum _{i}\left([\mathbf {r} _{i},{\dot {\mathbf {p} }}_{i}]+[\mathbf {v}_{i},\mathbf {p}_{i}]\right)=\delta \ phi \sum _{i}{\frac {d[\mathbf {r} _{i},\mathbf {p} _{i}]}{dt}}=0$

Teniendo en cuenta la arbitrariedad del vector de rotación, finalmente podemos escribir

${\frac{d}{dt}}\sum_{i}[{\mathbf {r}}_{i},{\mathbf {p}}_{i}]=0$

Esto significa que la cantidad vectorial

${\mathbf {M}}=\sum_{i}[{\mathbf {r}}_{i},{\mathbf {p}}_{i}]$

se guarda Esta cantidad se llama el momento angular o simplemente el momento.

Derivación de las ecuaciones de Lagrange a partir de la mecánica newtoniana

Considere una sola partícula con vector de masa y radio . Suponemos que el campo de fuerza , en el cual y bajo la influencia del cual realiza su movimiento, puede expresarse como un gradiente de una función escalar: energía potencial (esta condición se cumple, por ejemplo, por campos gravitatorios y eléctricos, y no por campos magnéticos): $metro$ $\mathbf{r}$ $\mathbf {F}$ $V({\mathbf{r)),\;t)$

{\mathbf {F}}=-\nabla V.

Tal fuerza no depende de derivadas , por lo que la segunda ley de Newton forma 3 ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden . El movimiento de una partícula se puede describir completamente mediante tres variables independientes llamadas grados de libertad . El conjunto obvio de variables es (componentes cartesianos en un momento dado). $\mathbf{r}$ $\{r_{j},\;r'_{j}\mid j=1,\;2,\;3\}$ $\mathbf{r}$

Generalizando, podemos trabajar con coordenadas generalizadas , y sus derivadas, velocidades generalizadas . El radio vector está relacionado con las coordenadas generalizadas por alguna ecuación de transformación: $q_{j}$ $q'_{j}$ $\mathbf{r}$

{\mathbf {r}}={\mathbf {r}}(q_{i},\;t),\quad i=1,\;\ldots,\;N,

donde es el número de grados de libertad del sistema. $norte$

Por ejemplo, para un movimiento plano de un péndulo matemático con una longitud, la elección lógica de la coordenada generalizada será el ángulo de desviación de la vertical de la suspensión, para el cual las ecuaciones de transformación tienen la forma $yo$ $\ theta$

{\mathbf {r}}(\theta ,\;\theta ',\;t)=(l\sin \theta ,\;l\cos \theta ).

El término coordenadas generalizadas proviene del período en que las coordenadas cartesianas eran el sistema de coordenadas predeterminado.

Considere un desplazamiento de partículas arbitrario. El trabajo realizado por la fuerza aplicada es igual a . Usando la segunda ley de Newton, escribimos: $\delta {\mathbf{r}}$ $\mathbf {F}$ $\delta W={\mathbf {F}}\cdot \delta {\mathbf {r}}$

m{\mathbf {{\ddot r}}}\cdot \delta {\mathbf {r}}={\mathbf {F}}\cdot \delta {\mathbf {r}}.

Reescribamos esta ecuación en términos de coordenadas y velocidades generalizadas. En el lado derecho de la igualdad,

{\begin{matriz}{\mathbf {F}}\cdot \delta {\mathbf {r}}&=&-{\mathrm {grad}}\,V\cdot \sum \limits _{i}\displaystyle {\parcial {\mathbf {r}} \over \parcial q_{i}}\delta q_{i}\\\\&=&-\sum \limits_{{i,\;j}}\displaystyle { \parcial V \sobre \parcial r_{j}}\displaystyle {\parcial r_{j} \sobre \parcial q_{i}}\delta q_{i}\\\\&=&-\sum \limits_{ i}\displaystyle {\V parcial \sobre \q_{i}}\delta q_{i}.\\\end{matriz}}

El lado izquierdo de la igualdad es más complicado, pero después de algunas permutaciones obtenemos:

m{\mathbf {{\ddot r}}}\cdot \delta {\mathbf {r}}=\sum _{i}\left[{d \over dt}{\parcial T \over \parcial q'_ {i}}-{\T parcial \sobre \q_{i}}\right]\delta q_{i},

donde es la energía cinética de la partícula. La ecuación para el trabajo se escribirá en la forma $T={\frac {m}{2}}{{\dot {{\mathbf {r}}}}}^{2}$

\sum _{i}\left[{d \over dt}{\partial {T} \over \partial {{\dot q}_{i}}}-{\partial {(TV)} \over \partial q_{i}}\right]\delta q_{i}=0.

Esta expresión debe ser verdadera para cualquier cambio , por lo que $\deltaq_{i}$

\left[{d \over dt}{\parcial {T} \over \parcial {{\dot q}_{i}}}-{\parcial {(TV)} \over \parcial q_{i}}\ derecho]=0

para cada coordenada generalizada . Podemos simplificar aún más esta expresión si notamos que es una función de solo y , y es una función de coordenadas generalizadas y . Entonces no depende de las velocidades generalizadas: $\deltaq_{i}$ $V$ $\mathbf{r}$ $t$ $\mathbf{r}$ $t$ $V$

{d \over dt}{\parcial {V} \over \parcial {{\dot q}_{i))}=0.

Insertando esto en la ecuación anterior y reemplazando , obtenemos las ecuaciones de Lagrange : $L=TV$

{\parcial {L} \over \parcial q_{i}}={d \over dt}{\parcial {L} \over \parcial {{\dot q}_{i}}}.

Al igual que las ecuaciones de Newton, las ecuaciones de Lagrange son ecuaciones de segundo orden, como se deduce de su derivación. Hay una ecuación de Lagrange para cada coordenada generalizada . Cuando (es decir, las coordenadas generalizadas son solo coordenadas cartesianas), se puede verificar fácilmente que las ecuaciones de Lagrange se reducen a la segunda ley de Newton. $q_{yo}$ $q_{i}=r_{i}$

La derivación anterior se puede generalizar a un sistema de partículas. Luego habrá coordenadas generalizadas asociadas con las coordenadas de posición mediante ecuaciones de transformación. En cada una de las ecuaciones de Lagrange, es la energía cinética total del sistema y la energía potencial total. $norte$ $3N$ $3N$ $3N$ $T$ $V$

En la práctica, a menudo es más fácil resolver un problema utilizando las ecuaciones de Euler-Lagrange en lugar de las leyes de Newton, porque se pueden elegir las coordenadas generalizadas apropiadas para dar cuenta de las simetrías del problema. $q_{yo}$

Ejemplos de problemas

Problema 1. Considere una cuenta puntual de masa que se mueve sin fricción a lo largo de un anillo vertical fijo. El sistema tiene un grado de libertad. Elijamos como coordenada el ángulo de desviación del radio dirigido a la bolita del vector gravedad . La energía cinética se escribirá en la forma $metro$ $\varphi$ $m{\ vec {g}}$

T={\frac{señor^{2}{\punto\varphi}^{2}}{2}},

y la energía potencial es

U=-mgr\cos\varphi.

Función de Lagrange para este sistema

L=TU={\frac {mr^{2}{\dot \varphi }^{2}}{2}}+mgr\cos \varphi .

Las ecuaciones de Lagrange tomarán la forma:

{\frac {d}{dt}}{\frac {\parcial L}{\parcial {\dot \varphi }}}-{\frac {\parcial L}{\parcial \varphi }}={\frac { d}{dt))(mr^{2}{\dot \varphi })+mgr\sin \varphi =mr^{2}{\ddot \varphi }+mgr\sin \varphi =0.

Esta ecuación también se puede obtener derivando la ley de conservación de la energía mecánica con respecto al tiempo. Para ángulos pequeños , el seno del ángulo es igual al ángulo mismo: . En este caso, obtenemos $\varphi$ $\sin \varphi \approx \varphi$

mr^{2}{\ddot\varphi}=-mgr\,\varphi

eso es

{\ddot \varphi}=-{\frac {g}{r}}\,\varphi

Esta ecuación diferencial se conoce a partir de las ecuaciones de movimiento de Newton y tiene una solución

\varphi (t)=A\cos \omega t+B\sin \omega t

donde las constantes y dependen de las condiciones iniciales, y $A$ $B$ $\omega ={\sqrt {{\frac {g}{r))))$

Problema 2. Considere una cuenta puntual de masa que se mueve sin fricción a lo largo de un anillo vertical que gira alrededor de su eje vertical con una velocidad angular constante . El sistema tiene un grado de libertad. Elijamos como coordenada el ángulo de desviación del radio dirigido a la bolita del vector gravedad . La energía cinética se escribirá en la forma $metro$ $\omega$ $\varphi$ $m{\ vec {g}}$

T={\frac {m}{2}}(r^{2}{\dot \varphi }^{2}+r^{2}\sin ^{2}\varphi \,{\dot \theta } ^{2}),

donde es el ángulo de rotación del anillo. La energía potencial es $\ theta$

U=-mgr\cos\varphi.

Función de Lagrange para este sistema

L=TU={\frac {m}{2}}(r^{2}{\dot \varphi }^{2}+r^{2}\sin ^{2}\varphi \,{\dot \ theta }^{2})+mgr\cos\varphi .

Las ecuaciones de Lagrange toman la forma

{\frac {d}{dt}}{\frac {\parcial L}{\parcial {\dot {\varphi }}}}-{\frac {\parcial L}{\parcial \varphi }} ={\frac {d}{dt}}(mr^{2}{\dot {\varphi }})-mr^{2}\sin \varphi \cos \varphi \,{\dot {\theta }} ^{2}+mgr\sin \varphi =mr^{2}{\ddot {\varphi }}-{\frac {mr^{2}\omega ^{2}}{2}}\sin 2\varphi +mgr\sin\varphi=0,

puesto que es una función dada del tiempo (no una coordenada generalizada). $\theta =\theta _{0}+\omega t$

Problema 3. Si la velocidad de rotación del anillo no se nos diera, sino que estuviera determinada por el movimiento del sistema (digamos, un anillo ligero que gira sin fricción), entonces en lugar de una ecuación de Lagrange, obtendríamos dos (ecuaciones para y para ): $\varphi$ $\ theta$

{\frac {d}{dt}}{\frac {\parcial L}{\parcial {\dot \varphi }}}-{\frac {\parcial L}{\parcial \varphi }}=0,\quad {\frac {d}{dt}}{\frac {\parcial L}{\parcial {\dot \theta }}}-{\frac {\parcial L}{\parcial \theta }}=0,

mr^{2}{\ddot {\varphi }}-{\frac {mr^{2}{\dot {\theta }}^{2}}{2}}\sin 2\varphi +mgr \sin \varphi =0,\quad {\frac {d}{dt}}(mr^{2}\sin ^{2}\varphi \,{\dot {\theta }})=0.

Estas ecuaciones también se pueden obtener diferenciando con respecto al tiempo la ley de conservación de la energía mecánica y la ley de conservación del momento angular.

Mecánica lagrangiana relativista

El postulado básico de la teoría de la relatividad: la constancia de la velocidad de la luz en todos los marcos de inercia conduce a un valor invariante llamado intervalo s , que es una métrica específica en el espacio-tiempo de cuatro dimensiones:

$s^{2}=c^{2}t^{2}-{\mathbf{x}}^{2}$

Para un sistema que se mueve arbitrariamente (es decir, no necesariamente de manera uniforme y rectilínea), se pueden considerar intervalos de tiempo infinitesimales durante los cuales el movimiento puede considerarse uniforme. Deje que un objeto en movimiento recorra una distancia dx en un intervalo de tiempo de acuerdo con un reloj estacionario. Entonces para el intervalo tenemos la expresión $dt$

$ds^{2}=c^{2}dt^{2}-dx^{2}=c^{2}dt^{2}(1-dx^{2}/c^{2}dt^{ 2})=c^{2}dt^{2}(1-v^{2}/c^{2})$

Como consecuencia,

$ds=cdt{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}$

Integrando, obtenemos

$S=\int _{{t_{1}}}^{{t_{2}}}cdt{\raíz cuadrada {1-v^{2}/c^{2}}}$

Por lo tanto, si aceptamos el Lagrangiano de una partícula relativista como proporcional al integrando de la velocidad, entonces la integral indicada será una acción invariante con respecto a los sistemas inerciales.

Por razones de coincidencia con la mecánica clásica a bajas velocidades, el Lagrangiano de una partícula relativista libre en un marco inercial es en última instancia igual a

$L=-mc^{2}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}$

En consecuencia, el momento relativista es igual a

${\mathbf {p}}={\frac {\parcial L}{\parcial {\mathbf {v}}}}={\frac {m{\mathbf {v}}}{{\sqrt {1-v ^{2}/c^{2}}}}}}$

la energía relativista es

$E={\mathbf {pv}}-L={\frac {mc^{2}}{{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}}$

Se puede ver que incluso a velocidad cero la partícula tiene energía (en contraste con la mecánica clásica), que se llama energía en reposo.

A partir de aquí es fácil obtener la relación relativista entre energía y cantidad de movimiento.

$E ^ 2 = p ^ 2c ^ 2 + m ^ 2c ^ 4$

El formalismo lagrangiano en la teoría de campos

En la teoría de campos, la suma de los lagrangianos de las partículas de un sistema mecánico se reemplaza por una integral sobre un cierto volumen de espacio de la denominada densidad lagrangiana (en teoría de campos, la densidad lagrangiana a veces se denomina lagrangiana):

$L=\int _{V}{\mathcal {L}}d^{3}r$

En consecuencia, la acción es

$S=\int_{{t_{0}}}^{{t}}\int_{V}{\mathcal {L}}d^{3}rdt=\int_{X}{\mathcal {L }}d^{4}x$

donde la última fórmula asume la integración sobre un espacio-tiempo de cuatro dimensiones.

Se supone que la densidad lagrangiana no depende directamente de las coordenadas, sino de la función de campo y sus primeras derivadas. Las ecuaciones de Euler-Lagrange en este caso tienen la forma:

${\frac {\parcial {\mathcal {L}}}{\parcial u_{a}(x)))-\parcial _ {{\nu}}\left({\frac {\parcial {\mathcal {L }}}{\parcial (\parcial _ {{\nu }}u_{a}(x)))}}\right)=0$

Extensiones de la mecánica lagrangiana

El hamiltoniano, denotado , se obtiene realizando transformaciones de Legendre en la función de Lagrange. El hamiltoniano es la base de una formulación alternativa de la mecánica clásica conocida como mecánica hamiltoniana . Esta función es especialmente común en la mecánica cuántica (ver hamiltoniano (mecánica cuántica) ). $\mathbf {H}$

En 1948, Feynman inventó la fórmula de la integral de trayectoria y extendió el principio de mínima acción a la mecánica cuántica. En esta formulación, las partículas viajan a lo largo de todos los caminos posibles entre los estados inicial y final ; la probabilidad de un determinado estado final se calcula sumando (integrando) todas las posibles trayectorias que conducen a él. En el caso clásico, la formulación de la integral de trayectoria reproduce completamente el principio de Hamilton.

Obras clásicas

Lagrange J. Mecánica analítica, volumen 1. - M.-L.: GITTL, 1950.
Lagrange J. Mecánica analítica, volumen 2. - M.-L.: GITTL, 1950.
Principios variacionales de la mecánica. Colección de artículos de los clásicos de la ciencia. Editado por Polak L. S. - M.: Fizmatgiz, 1959.

Véase también

Notas

↑ Bobylev D.K. Sobre el comienzo de Hamilton u Ostrogradsky y sobre el comienzo de la acción de Lagrange menor / Apéndice al volumen LXI Zap. Alaska. Ciencias. - San Petersburgo. , 1889.

Literatura

Gantmakher F. R. Lectures on Analytical Mechanics: Textbook for High Schools / Ed. E. S. Pyatnitsky . - 3ra ed. — M .: Fizmatlit , 2005. — 264 p. — ISBN 5-9221-0067-X .
Goldstein H. Mecánica Clásica. — 2ª edición. - Addison-Wesley, 1980. - págs. dieciséis.
Dinámica aplicada de Moon FC con aplicaciones a sistemas multicuerpo y mecatrónicos. - Wiley, 1998. - págs. 103-168.

Enlaces

Rychlik, Marek. " Mecánica lagrangiana y hamiltoniana: una breve introducción "
Tong, David. Conferencias de dinámica clásica de la Universidad de Cambridge
Aslanov V. S., Timbay I. A. Movimiento de cuerpo rígido en el caso de Lagrange generalizado