Diversidad sustancial

Las variedades esenciales son un tipo especial de variedades cerradas. El concepto fue introducido por Gromov en el estudio de la desigualdad sistólica . [una]

Definición

$norte$ Se dice que una variedad cerrada -dimensional es esencial si existe un espacio topológico asférico y un mapeo continuo que lleva la clase fundamental a una clase de homología distinta de cero . $METRO$ $k$ ${\ estilo de visualización M \ a K}$ $METRO$ $k$

En otras palabras, la clase fundamental define un elemento distinto de cero en la homología de su grupo fundamental . Más precisamente, si hay un ptoespacio , entonces el mapeo que induce un isomorfismo de grupos fundamentales da un homomorfismo no trivial ${\ estilo de visualización [M]}$ $\pi_{1}(M)$ $norte$ ${\ estilo de visualización K (\ pi _ {1} (M), 1)}$ ${\ estilo de visualización M \ a N}$

H_{n}(M)\a H_{n}(N).

Aquí la clase fundamental se toma en homología con los coeficientes enteros si la variedad es orientable , y los coeficientes módulo 2 en caso contrario.

Ejemplos

Todas las superficies cerradas (es decir, 2-variedades) son esenciales, con la excepción de la 2-esfera S 2 .
El espacio proyectivo real es esencial porque la inclusión ${\matemáticas {RP}}^{n}$ ${\displaystyle \mathbb {RP} ^{n}\to \mathbb {RP} ^{\infty ))$

es inyectiva en homología y

\mathbb {RP} ^{\infty}=K(\mathbb {Z} _{2},1)

es el espacio K(π,1) de un grupo cíclico finito de orden 2.

Todas las variedades asféricas compactas son esenciales (ya que la asfericidad implica que la variedad ya es un espacio K(G,1) ).
- En particular, todas las variedades hiperbólicas compactas son esenciales.
Todos los espacios de la lente son esenciales.

Propiedades

La suma conexa de una variedad esencial con cualquier variedad cerrada es esencial.
El producto directo de variedades esenciales es fundamental.
Cualquier variedad que pueda mapearse desde un grado distinto de cero a uno esencial también es esencial.
Para variedades esenciales, la desigualdad sistólica se cumple .
- Esta propiedad es la razón principal para introducir esta definición.

Notas

↑ Gromov, M.: Relleno de variedades riemannianas, J. Diff. Geom. 18 (1983), 1–147.