Orientación

Orientación , en el caso clásico: la elección de una clase de sistemas de coordenadas que están interconectados "positivamente" en cierto sentido. Cada sistema especifica una orientación definiendo la clase a la que pertenece.

En matemáticas elementales, la orientación a menudo se describe en términos de "direcciones en sentido horario y antihorario".

La orientación se define solo para ciertas clases especiales de espacios ( variedades , fibrados vectoriales , complejos de Poincaré , etc.). La visión moderna de la orientación se da en el marco de las teorías de cohomología generalizada .

Espacio vectorial de dimensión finita

En el caso de un espacio vectorial de dimensión finita sobre el campo de los números reales, dos sistemas de coordenadas se consideran conectados positivamente si el determinante de la matriz de transición de uno de ellos al otro es positivo.

Notas

Para un campo general, determinar la orientación presenta dificultades. Por ejemplo, en un espacio complejo, una base compleja determina una base real en el mismo espacio, considerada como , y todas esas bases están conectadas en pares por transiciones positivas (en otras palabras, la estructura compleja define una orientación en ). ${\matemáticas C}^{n}$ $e_{1},e_{2},...,e_{n}$ $e_{1},e_{2},...,e_{n},es decir_{1},es decir_{2},...,es decir_{n}$ $\mathbb{R} ^{{2n}}$ $\mathbb{R} ^{{2n}}$

Variaciones y generalizaciones

Espacio afín

En una línea recta, un plano, y en general en un espacio afín real , los sistemas de coordenadas consisten en un punto (origen ) y un marco , la transición está determinada por el vector de transferencia del origen y el reemplazo del marco. Esta transición es positiva si el determinante de la matriz de reemplazo es positivo (por ejemplo, si la permutación de los vectores marco es par). $A$ $O$ $\{e_{i}\}$

Dos sistemas de coordenadas definen la misma orientación si uno de ellos se puede convertir en el otro de forma continua, es decir, existe una familia de sistemas de coordenadas que dependen continuamente del parámetro , , que vinculan los sistemas dados , y , . $t\en[0,1]$ $Antiguo Testamento)$ $\{e_{i}(t)\}$ $O$ $\{e_{i}\}$ $oh$ $\{e'_{i}\}$

Cuando se reflejan en un hiperplano, los sistemas de dos clases pasan entre sí.

La orientación puede especificarse por el orden de los vértices de un símplex -dimensional ( un triángulo en el caso bidimensional, un tetraedro en el caso tridimensional), el Marco está determinado por la condición: el comienzo se coloca en el primer vértice, los vectores del marco se dirigen al resto desde el primero. Dos órdenes definen la misma orientación si y sólo si difieren en una permutación par . Un símplex con un orden fijo de vértices hasta una permutación par se dice que está orientado. Cada -cara de un símplex orientado recibe una orientación inducida: si el primer vértice no pertenece a una cara, entonces se supone que el orden de los demás es positivo para él. $norte$ $(n-1)$

Variedades

En una variedad conexa , el sistema de coordenadas es un atlas , un conjunto de mapas que cubren . Se dice que un atlas está orientando si las transformaciones de coordenadas son todas positivas. Esto significa que sus grados son iguales , y en el caso de una variedad diferenciable , los jacobianos de la transformación son positivos en todos los puntos. Si existe un atlas orientador, se dice que la variedad es orientable . En este caso, todos los atlas de orientación se dividen en dos clases, de modo que la transición de mapas de un atlas a mapas de otro es positiva si y solo si los atlas pertenecen a la misma clase. La elección de tal clase se llama la orientación de la variedad. Esta elección se puede realizar especificando un solo mapa o una orientación local en un punto. En el caso de una variedad diferenciable, la orientación local se puede especificar especificando un marco en el plano tangente en un punto. Si tiene un borde y está orientado, entonces el borde también es orientable, por ejemplo, de acuerdo con la regla: en el punto del borde, se toma un marco que orienta , cuyo primer vector se dirige desde , y los vectores restantes se encuentran en el plano tangente de la arista, estos últimos se toman como marco orientador de la arista. $METRO$ $METRO$ $+1$ $METRO$ $METRO$ $METRO$ $METRO$

Esquema desorientador

Un contorno desorientador es una curva cerrada en una variedad que tiene la propiedad de que cuando se recorre, la orientación local cambia de signo.

Un contorno desorientador existe solo en una variedad no orientable , y un homomorfismo del grupo fundamental con un núcleo que consta de clases de bucle no desorientadoras se define de forma única . $METRO$ $\pi_{1}(M)$ $\matemáticas Z_2$

A lo largo de cualquier camino, puede elegir una cadena de cartas para que dos cartas adyacentes estén conectadas positivamente. Así, la orientación en el punto determina la orientación en el punto , y esta relación depende de la trayectoria sólo hasta su deformación continua en los extremos fijos. Si es un bucle, es decir , entonces se llama contorno desorientador si estas orientaciones son opuestas. Hay un homomorfismo del grupo fundamental en el grupo de orden : los bucles desorientadores van a , y el resto a . Este homomorfismo se utiliza para construir una cubierta de dos hojas en el caso de una variedad no orientable. Se llama orientar (porque el espacio que cubre será orientable). El mismo homomorfismo se define sobre un paquete unidimensional , que es trivial si y solo si es orientable. Para un diferenciable , se puede definir como un conjunto de formas de orden diferenciales . Una sección distinta de cero en él existe solo en el caso orientable y establece la forma del volumen y al mismo tiempo la orientación. $q:[0,1]\a M$ $q(0)$ $q(1)$ $q$ $q$ $q(0)=q(1)=x_{0}$ $q$ $\pi _{1}(M,x_{0})$ $2$ $-una$ $+1$ $METRO$ $METRO$ $METRO$ $\Omega^{n}(M)$ $n=\nombre del operador {dim}M$ $METRO$

En el lenguaje de la homología

La orientación se puede definir en el lenguaje homológico : para una variedad orientable conectada sin límite, el grupo de homología (con soportes cerrados) es isomorfo , y la elección de uno de los dos generadores establece la orientación: se seleccionan mapas con grados positivos de aplicaciones. Para una variedad conexa con frontera, lo mismo es cierto para . En el primer caso, la orientabilidad es una homotopía invariante de M, y en el segundo caso, pares . Entonces, la tira de Möbius y el anillo tienen el mismo tipo de homotopía absoluta, pero diferente, con respecto al borde. $H^{n}(M,\mathbb{Z})$ $\matemáticas {Z}$ $H^{n}(M,\M parcial,\mathbb{Z } )$ $(M,\M parcial)$

También se puede dar una orientación local de una variedad eligiendo un generador en un grupo que sea isomorfo.La interpretación homológica de la orientación nos permite transferir este concepto a variedades homológicas generalizadas. $H^{n}(M,M\barra invertida x_{0},\mathbb{Z} )$ $\matemáticas {Z}$

Pseudovariedades

Una variedad triangulada (o pseudovariedad ) es orientable si es posible orientar simples de todas las dimensiones de manera que dos simples con una cara de dimensión común induzcan orientaciones opuestas en él. Una cadena cerrada de simples dimensionales, en la que cada dos vecinos tienen una cara común , se denomina desorientadora si estos simples pueden orientarse de tal manera que el primero y el último inducen orientaciones coincidentes en la cara común, y los otros vecinos inducir orientaciones opuestas. $METRO$ $norte$ $(n-1)$ $norte$ $(n-1)$

Paquetes

Deje que se dé un paquete con una fibra estándar sobre el espacio . Si la orientación de todas las fibras se puede elegir de tal manera que cualquier mapeo (adecuado) definido por un camino único hasta la homotopía adecuada conserve la orientación, entonces el haz se llama orientado, y la elección indicada de orientación de las capas se llama orientación del haz. Por ejemplo, la cinta de Möbius , considerada como un haz vectorial sobre un círculo, no tiene orientación, mientras que la superficie lateral de un cilindro sí. $B$ $p:E\a B$ $F$ $B$

Espacios de dimensión infinita

El concepto de orientación admite una generalización natural para el caso de una variedad infinitamente dimensional modelada usando un Banach infinitamente dimensional o espacio vectorial topológico . Al mismo tiempo, se necesitan restricciones sobre los operadores lineales que son diferenciales de las funciones de transición de mapa a mapa: no solo deben pertenecer al grupo lineal general de todos los isomorfismos del espacio de modelado, que es homotopía trivial (en la topología uniforme ) para la mayoría de los espacios vectoriales clásicos , pero debe estar contenido en algún subgrupo linealmente desconectado del grupo lineal general. Luego, el componente conectado de este subgrupo establecerá el "signo" de la orientación. Como tal subgrupo, generalmente se elige el grupo de Fredholm , que consiste en aquellos isomorfismos del espacio de modelado para los cuales la diferencia con el isomorfismo idéntico es un operador completamente continuo .